Liczby zespolone
advertisement
Liczby zespolone Zadanie 1 Oblicz . Wskazówka Rozwiązanie Oblicz . Uwagi Dodawanie i mnożenie. Zadanie 2 Znajdź [Error parsing LaTeX formula. Error 2: ], [Error parsing LaTeX formula. Error 2: ], . Wskazówka Skorzystaj z poprzedniego zadania. Rozwiązanie [Error parsing LaTeX formula. Error 2: ] [Error parsing LaTeX formula. Error 2: ] Uwagi Część rzeczywista, część urojona, moduł Zadanie 3 Zapisz , w postaci , gdzie Znajdź [Error parsing LaTeX formula. Error 2: ], [Error parsing LaTeX formula. Error 2: ], . Wskazówka Pomnóż licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do mianownika podanej liczby. Rozwiązanie [Error parsing LaTeX formula. Error 2: ] [Error parsing LaTeX formula. Error 2: ] Uwagi Dzielenie. Liczba sprzężona do danej. Wydrukować na tablicy, , , Zadanie 4 Znajdź [Error parsing LaTeX formula. Error 2: ], [Error parsing LaTeX formula. Error 2: ]. Wskazówka . Rozwiązanie Oznaczmy [Error parsing LaTeX formula. Error 2: ] przez . Mamy , , gdzie . Czyli [Error parsing LaTeX formula. Error 2: ], [Error parsing LaTeX formula. Error 2: ]. Uwagi Argument. Umiejętność odczytywania argumentu z rysunku (położenia punktu na płaszczyźnie ). Zadanie 5 Znajdź postać trygonometryczną i wykładniczą następujących liczb zespolonych , , , , , , , , , . Wskazówka W ostatnim przykładzie przypomnieć sobie wzory wiążące sinus i cosinus kąta z tangensem połowy kąta. Rozwiązanie , , , Uwagi Uwaga! Wzór Eulera pełni w tym momencie jedynie rolę wygodnego oznaczenia . Wygodnego bo . Zadanie 6 Wyraź przy pomocy wielomianu od i funkcje Wskazówka Użyj wzoru Eulera. Rozwiązanie Mamy Ostatecznie otrzymujemy , . Uwagi Wzór de Moivre'a. , Zadanie 7 Udowodnij, że gdzie , . Wskazówka [Error parsing LaTeX formula. Error 2: ] Rozwiązanie Zgodnie ze wskazówką mamy (używając wzoru Eulera) [Error parsing LaTeX formula. Error 2: ] Gdzie użyliśmy wzoru na sumę n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego. Uwagi Wzór de Moivre'a. Pokazać, że ciąg , gdzie , jest ograniczony. Zadanie 8 Niech . Pokazać że stronie są pierwiastkami arytmetycznymi. Wskazówka Rozwiązanie gdzie pierwiastki po prawej Szukamy liczb takich, że czyli rozwiązać musimy układ równań . Załóżmy, że wtedy zachodzi również . . Pamiętając o tym, że d jest liczbą rzeczywistą otrzymujemy . Usuwając niewymierność z mianownika otrzymujemy . Przypadek zostawiamy jako proste ćwiczenie. Uwagi Pierwiastek kwadratowy arytmetyczny ( z liczby rzeczywistej dodatniej a): dodatnia liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu daje a. W przypadku pierwiastków algebraicznych symbol pierwiastka oznacza zbiór wszystkich pierwiastków algebraicznych. W szczególnych przypadkach zamieniamy na postać wykładniczą np. obliczyć . Zadanie 9 Rozwiąż równania a) , b) c) Wskazówka , , Rozwiązanie a) , b) tzn. c) Zapisując nasze równanie w postaci . , znajdujemy Zbiór rozwiązań to gdzie czyli Uwagi Zadanie 10 Rozłóż wielomian co najwyżej drugiego. na iloczyn wielomianów o współczynnikach rzeczywistych stopnia Wskazówka Skorzystaj z wyników poprzedniego zadania. Rozwiązanie Zapisujemy dany wielomian w postaci ilorazowej grupując czynniki zawierające pierwiastki wzajemnie sprzężone. . Wymnażając czynniki pierwszy z drugim, trzeci z czwartym i piąty z szóstym otrzymujemy ostatecznie . Uwagi Zadanie 11 Czy liczba jest całkowita. Wskazówka Rozwiązanie Tak bo Uwagi Zadanie 12 Udowodnij, że a) , b) . Wskazówka Rozwiązanie a) Połóżmy co kończy dowód. b) oraz otrzymujemy Uwagi