Przykłady Zastosowania Średnich W Geometrii

Przykłady
Zastosowania
Średnich
W Geometrii
Opracowanie:
Katarzyna Wróbel kl. Id
Średnia Arytmetyczna
Średnią arytmetyczną liczb x , x , ..., x
nazywamy liczbę
1
n
x
Sa  n 
 xi
i 1
n
2
xi  R
n  N
n
Średnia Kwadratowa
Średnią kwadratową liczb x , x , ..., x
nazywamy liczbę
1
2
n
S
k

x  x  x

n
2
1
2
2
2
n
x
i 1
n
2
i
n
Średnia Geometryczna
Średnią geometryczną liczb x , x , ..., x
nazywamy liczbę
1

iN
2
xi  0
n
n x  x   x  n  x

1
2
n
i
Sg
i 1
n
Średnia Harmoniczna
Średnią harmoniczną liczb x , x , ..., x
nazywamy liczbę
1
S
h

n
1 1
1
 
x1 x2
xn

n
n
1

i 1 xi
2
n
Twierdzenie
Jeżeli x1 , x2 ,..., xn są rzeczywistymi liczbami
dodatnimi, to S  S  S  S , przy czym równość
występuje tylko wtedy, gdy x1 = x2 =...= xn .
h
g
a
k
Spróbujmy podstawić do nich liczby 2,4 a potem 3,4,5,6:
24
3
2
S g  2  4  2,828
Sa 
Sh 
Sk 
2
1 1

2 4
 2,667
22  42
 3,162
2
3 45 6
 4,5
4
S g  4 3  4  5  6  4,356
Sa 
Sh 
Sk 
4
1 1 1 1
  
3 4 5 6
 4,211
32  4 2  5 2  6 2
 4,637
4
Średnia arytmetyczna
Odcinek łączący środki ramion trapezu ma długość równą średniej
arytmetycznej długości jego podstaw.
Średnia geometryczna
Odcinek równoległy do podstaw i dzielący trapez ABCD na dwa
trapezy podobne ma długość średniej geometrycznej długości jego
podstaw.
Średnia harmoniczna
Odcinek równoległy do podstaw i przechodzący przez punkt przecięcia
przekątnych trapezu ma długość równą średniej harmonicznej długości
jego podstaw.
Średnia kwadratowa
Odcinki i okrąg to jedna z geometrycznych interpretacji średnich.
Średnia geometryczna
Odcinek stycznej zawarty między punktami styku stycznej z kołami ma
długość równą podwojonej średniej geometrycznej długości promieni kół.
x 2  r  R   R  r 
2
2
x 2  r 2  2rR  R 2  R 2  2 Rr  r 2
x 2  4rR
x  2 rR
Średnia geometryczna
W trójkącie prostokątnym wysokość spuszczona z kąta prostego jest
równa średniej geometrycznej z odcinków przeciwprostokątnej, na które
dzieli ją ta wysokość
x h

h y
h 2  xy
h  xy
Średnia harmoniczna
Odcinek CD leżący na dwusiecznej kąta prostego C, gdzie D należy do
przeciwprostokątnej AB, jest przekątną kwadratu o boku równym
ab
a  b 
(średnia harmoniczna a i b)
Średnia kwadratowa
Odcinek CE leżący na dwusiecznej kąta prostego C o długości równej
połowie przeciwprostokątnej AB jest przekątną kwadratu, którego bok
ma długość będącą połową średniej kwadratowej przyprostokątnych.
1 a 2b 2
2
2