1. Zagadnienia teoretyczne.

Zajęcia nr 4 (TM5). – Rozwinięcie dziesiętne liczby.
Robert Malenkowski
1. Zagadnienia teoretyczne.
1.1.
Zamiana ułamka zwykłego na dziesiętny.
Ułamki o mianownikach 10, 100, 1000, … (czyli mianownikach będących
potęgami liczby 10) nazywamy ułamkami dziesiętnymi.
Aby zamienić ułamek zwykły na dziesiętny należy podzielić licznik przez
mianownik. (oczywiście nie bierzemy pod uwagę trywialnych przykładów,
w których mianownik da się rozszerzyć do potęgi liczby 10 – stosowny przykład
poniżej)
Np.
rozwinięcie dziesiętne
skończone
3 25

 0,25
4 100
7
56

 0,056
125 1000
26
 26 : 8  3,25
8
Rozwinięcie dziesiętne
to wynik dzielenia
licznika przez mianownik
w ułamku zwykłym.
ułamek
okresowy
1
 1 : 6  0,166666.....  0,1(6)
6
rozwinięcie dziesiętne
nieskończone
Nawias oznacza powtarzanie się nieskończenie wiele razy zapisanej w nim
grupy cyfr w rozwinięciu dziesiętnym. Powtarzająca się grupa cyfr to okres,
liczba cyfr w okresie to jego długość.
4
 0,571428571428571428........  0, (571428)
7
rozwinięcie dziesiętne
nieskończone
okres o długości 6
Zajęcia nr 4 (TM5). – Rozwinięcie dziesiętne liczby.
Robert Malenkowski
Zapamiętaj!
Każda liczba wymierna ma rozwinięcie dziesiętne
skończone lub nieskończone okresowe.
Każde rozwinięcie dziesiętne okresowe przedstawia liczbę wymierną.
Przykład. Która z poniższych liczb ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone
nieokresowe?
8 – jest to liczba niewymierna więc jej rozwinięcie dziesiętne jest
a)
nieskończone nieokresowe.
1
1
– jest to liczba wymierna
więc jej rozwinięcie jest skończone
2
4
b)
lub nieskończone ale okresowe. W tym wypadku
c)
3
1
 0,5 .
2
16 – analogicznie do podpunktu a) jest to liczba niewymierna, więc
jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone nieokresowe.
W związku uwagą z poprzedniej strony każdy ułamek dziesiętny
można zamienić na ułamek zwykły.
1.2.
Zamiana ułamka dziesiętnego na zwykły.
Uwaga!
Jeżeli ułamek ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone nieokresowe to
przedstawia liczbę niewymierną.
Zajęcia nr 4 (TM5). – Rozwinięcie dziesiętne liczby.
Robert Malenkowski
Przykład. Przedstaw liczby w postaci ułamka zwykłego.
125 1

1000 8
36
9
3,36  3
3
100
25
0,125 
0, (2) 
Licznik zawiera cyfry z okresu
2
9
W mianowniku tyle
dziewiątek ile liczb w okresie
Okres o
długości jeden
Bazując na poprzednim przykładzie:
0, (12) 
12
99
0, (234) 
234
999
0, (0052) 
52
9999
Inny ciekawy przykład:
0,3(25)  0,32525252525....
sposób zamiany:
0,3(25)  0,3  0,1 0, (25) 
3 1 25 3
25 297 25 322
 
 



10 10 99 10 990 990 990 990
Przykład. Jaka cyfra znajduje się na 10 miejscu, a jaka na 23 miejscu po
przecinku w rozwinięciu dziesiętnym liczby 2, (435) ?
Aby obliczyć, jaka liczba znajduje się na 10 miejscu, wystarczy podzielić
10 przez liczbę cyfr w okresie. Reszta z dzielenia równa 1 oznacza, że będzie to
pierwsza cyfra występująca w okresie, itd. Przy czym reszta 0 oznacza ostatnią
cyfrę okresu. Więc:
10  3  3 reszta 1, więc 10 cyfra w rozwinięciu to 4
23  3  7 reszta 2, więc 23 cyfra to 3
Zajęcia nr 4 (TM5). – Rozwinięcie dziesiętne liczby.
Robert Malenkowski
2. Zadania do samodzielnego rozwiązania:
1. Która z poniższych liczb jest większa od
1
?
6
a. 0,06
b.
1
0, 6
c. 0, (6)2
d. 0, (285714)
2. Suma liczb:  0, (9) i 2,1(2) jest równa:
21
90
101
b.
90
3
c.
90
11
d.
9
a.
3. Wskaż najmniejszą spośród liczb: 0, (27) , 0,2(7) , 0,2(27) , 0,2(727)
a. 0, (27)
b. 0,2(27)
c. 0,2(7)
d. 0,2(727)
4. Wyznacz i podaj cyfry x i y w rozwinięciu dziesiętnym okresowym
0, (1x 2 y3) , jeśli cyfra znajdująca się na miejscu 23 po przecinku jest
dwukrotnie większa od cyfry znajdującej się na miejscu 22 i trzykrotnie
mniejsza od cyfry znajdującej się na miejscu 24.
5. Wskaż cyfry a i b liczby o rozwinięciu dziesiętnym 1,24(1ab603) , jeśli w tej
liczbie na jedenastym miejscu po przecinku występuje 3, a na dwudziestym
drugim cyfra 6.
a. a  6, b  6
b. a  3, b  6
c. a  6, b  3
d. a  3, b  3