Oblicz zanim pomy*lisz
advertisement
Oblicz zanim pomyślisz, czyli o nabieraniu doświadczenia Maria Mędrzycka Gimnazjum 43/IX LO im. K. Hoffmanowej, Warszawa Rozgrzewka Zadania tekstowe Znajdź taką liczbę dwucyfrową, żeby suma jej cyfr wynosiła 9 i żeby po przestawieniu jej cyfr otrzymać liczbę mniejszą od szukanej. d + j = 9; 10j + d < 10d + j Odp. 81, 72, 63, 54 Znajdź taką liczbę dwucyfrową, żeby suma jej cyfr wynosiła 9 i żeby po przestawieniu jej cyfr otrzymać liczbę o połowę mniejszą od szukanej. (Okręgowe zawody matematyczne, Mazowsze, 1968) d+j=9 10d + j = 10d + 9 – d = 9d + 9 = szukana liczba 10j + d = 10(9 – d) + d = 90 – 9d = liczba po przestawieniu cyfr 90 – 9d = ½(9d + 9), stąd d =… Istnieje taka? Zadania tekstowe W gospodarstwie rolnym w 1967 roku zebrano jęczmień z 36ha. Na rok 1968 zaplanowano wzrost wydajności plonów z 1ha o 8% a wzrost całego zbioru jęczmienia o 20% w stosunku do roku 1967. O ile ha trzeba zwiększyć obszar uprawy jęczmienia, aby wykonać ten plan? x = plon z 1ha w 1967, 36x = łączny plon 36 + y = areał w 1968 (36 + y)x*1,08 = 36x*1,2 (36 + y)*1,08 = 36*1,2 y=4 Zadania tekstowe Podwieczorek, na którym było dwa razy więcej chłopców niż dziewcząt kosztował 1584zł. Każdy chłopiec zapłacił 8 razy tyle groszy, ilu było chłopców, a każda dziewczyna 12 razy tyle groszy, ile było dziewcząt. Ilu było chłopców, a ile dziewcząt? c = 2d 0,08c2 + 0,12d2 = 1584 0,08*4d2 + 0,12d2 = 1584 0,44d2 = 1584 d2 = 3600 d = 60, c = 120 Zadania tekstowe Znaleźć liczbę o tej własności, że średnia geometryczna liczb otrzymanych przez zwiększenie szukanej liczby o 3 i przez zmniejszenie jej o 1, jest o ½ większa niż szukana liczba. x = 3,25 Liczby - klasyka parzyste i nieparzyste: Czy n(n+1) czy to jest to samo co n(n-1)? Jaka jest parzystość tego działania? Czy iloczyn liczby podzielnej przez 2 i podzielnej przez 3 zawsze daje liczbę podzielną przez 6? Liczby - podzielność Wykaż, że liczba n3 – n jest podzielna przez 6. n3 – n = n(n2 - n) = n(n – 1)(n + 1) Przez jaką największą liczbę jest podzielny iloczyn czterech kolejnych liczb naturalnych? n(n + 1)(n + 2)(n + 3) – jedna przez 2, jedna przez 3, jedna przez 4, zatem 24 Przez jaką największą liczbę jest zawsze podzielny iloczyn trzech kolejnych liczb parzystych? Uczeń: trzy kolejne parzyste 2*4*6 = 48, a każde kolejne trójki takich liczb też będą przez 48 podzielne, czyli odpowiedź to 48. Liczby - potęgi Klasyka zadań: Wykaż, że n5 – n dzieli się przez 5. Sposób 1: n5 – n = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) Sprawdzamy reszty z dzielenia przez 5. Sposób 2: n5 – n = n(n – 1)(n + 1)(n2 + 1) = = n(n – 1)(n + 1)(n2 - 4 + 5) = = n(n – 1)(n + 1)(n2 - 4) + n(n – 1)(n + 1)5 = = n(n – 1)(n + 1)(n - 2)(n + 2) + 5n(n – 1)(n + 1) Liczby - reszty Pewna liczba przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2 Ta sama liczba przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1. Jaką resztę da ta liczba przy dzieleniu przez 12? (Pazdro, kl. 1) Uczeń gimnazjum: poszukajmy przykładu… Może 17? A jak tak, to reszta 5. Uczeń liceum: jak to zrobić? My nauczyciele: algebra bez zastanowienia (prawie): a = 3x + 2 oraz a = 4y + 1 4a = 12x + 8 oraz 3a = 12y + 3 a = 4a – 3a = 12x – 12y + 5. Odp. Reszta to 5. Liczby - reszty No to napiszmy szablon zadania: Pewna liczba przy dzieleniu przez … daje resztę … Ta sama liczba przy dzieleniu przez … daje resztę …. Jaką resztę da ta liczba przy dzieleniu przez …? A co, jeśli reszta wyjdzie ujemna? Pewna liczba przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1. Ta sama liczba przy dzieleniu przez 6 daje resztę 5. Jaką resztę da ta liczba przy dzieleniu przez 30? A co, jeśli dzielniki tej liczby nie są względnie pierwsze? A co, jeśli dzielniki tej liczby różnią się o więcej niż 1? Czy taka liczba istnieje? Liczby - potęgi Zacznijmy od zadania z egzaminu gimnazjalnego 2015: Liczby - potęgi Wstęp do zajęć: ostatnia cyfra konkretnej liczby, ostatnia cyfra jakiejś sumy potęg, reszta z dzielenia Jaka jest ostatnia cyfra liczby a = 512 + 1015 + 911? Czy liczba 351 - 526 jest podzielna przez 2? A przez 4? VIII OMG, etap 1: Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej n, liczby n, n5 , n9 , n13, n17 ,... mają jednakowe cyfry jedności. Geometria Oblicz długość trzeciego boku trójkąta prostokątnego: Geometria Czy 10 kół o r = 1 ma większy obwód niż koło o średnicy 20r? Księżyce Hipokratesa Trójkąt, kwadrat, prostokąt, a sześciokąt? A takie obrazki? Księżyce 1 Wykaż, że pole niebieskiej figury jest równe sumie pól żółtych figur Księżyce 2 Wykaż, że S = S1 + S2 + S3 Geometria - bryły Przekrój sześcianu ABCDA’B’C’B’ o krawędzi a zawiera wierzchołek A oraz środki krawędzi BB’ oraz DD’. Oblicz pole tego przekroju. Geometria - bryły Sześcian o krawędzi długości 3 przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i tworzącą z płaszczyzną podstawy kąt . Oblicz pole otrzymanego przekroju dla: a) 45o; b) 60o. Dziękuję za uwagę [email protected]