Funkcja liniowa

Funkcja liniowa
Jarosław Drzeżdżon
Funkcja liniowa
Definicja
Funkcję określoną wzorem ( )
, gdzie a i b są stałymi, nazywamy funkcję liniową.
Współczynnik kierunkowy prostej
Twierdzenie
Jeśli prosta
przechodzi przez dwa różne punkty (
kierunkowy jest równy:
)i (
), to współczynnik
Zadanie 1
Znajdź współczynnik kierunkowy i wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty:
a)
(
b)
(√
),
(
)
)
( √
)
Wniosek z zadania
Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty (
)i(
(
):
)
Strona 1 z 4
Funkcja liniowa
Jarosław Drzeżdżon
Układy równań liniowych
Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi:
{
Metody rozwiązywania układu równań:




metoda podstawienia
metoda przeciwnych współczynników
metoda graficzna
metoda wyznacznikowa
Metoda wyznacznikowa
Obliczamy wyznaczniki:
|
|
|
|
Obliczamy
i
(wyznacznik główny)
|
i
|
(wyznaczniki boczne)
ze wzorów Cramera.
Zadanie
Rozwiąż układ równań:
a) {
b) {
c) {
Definicja
Układ równań liniowych, którego rozwiązaniem jest jedna para liczb, nazywamy układem
oznaczonym (niezależnym).
Układ równań liniowych, który ma nieskończenie wiele rozwiązań, nazywamy układem
nieoznaczonym (zależnym).
Układ równań liniowych, który nie ma rozwiązań, nazywamy układem sprzecznym.
Zadanie
Który z poniższych układów jest układem oznaczonym, nieoznaczonym, sprzecznym?
a) {
b) {
c) {
Strona 2 z 4
Funkcja liniowa
Jarosław Drzeżdżon
Interpretacja geometryczna układu równań liniowych
Twierdzenie
1) Układ równań liniowych jest układem oznaczonym wtedy i tylko wtedy, gdy proste
opisane równaniami tego układu przecinają się w jednym punkcie
2) Układ równań liniowych jest układem sprzecznym wtedy i tylko wtedy, gdy proste
opisane równaniami tego układu to dwie różne proste równoległe.
3) Układ równań liniowych jest układem nieoznaczonym wtedy i tylko wtedy, gdy proste
opisane równaniami tego układu pokrywają się.
Twierdzenie
1) Układ równań liniowych jest układem oznaczonym wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik
główny jest różny od zera.
2) Układ równań liniowych jest układem sprzecznym wtedy i tylko wtedy, gdy
(
)
3) Układ równań liniowych jest układem nieoznaczonym wtedy i tylko wtedy,
Zadanie
Dla jakiego parametru
a) {
układ równań jest oznaczony, nieoznaczony sprzeczny?
(
b) {
)
c) {
(
)
Twierdzenie
Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych jest:
a) Para liczb dodatnich, gdy {
b) Para liczb ujemnych, gdy {
c) Para liczb o jednakowych znakach, gdy
d) Para liczb o różnych znakach, gdy
Strona 3 z 4
Funkcja liniowa
Jarosław Drzeżdżon
1. Dla jakich wartości parametru m rozwiązaniem układu równań
{
Jest para liczb dodatnich.
2. Dla jakich wartości parametru m rozwiązaniem układu równań
{
Jest para liczb ujemnych.
3. Dla jakich wartości parametru m rozwiązaniem układu równań
{
jest para liczb rzeczywistych o różnych znakach.
4. Dla jakich wartości parametru m rozwiązaniem układu równań
{
jest para liczb rzeczywistych o jednakowych znakach.
5. Dla jakich wartości parametru k rozwiązaniem układu równań
{
a) jest para liczb ujemnych?
b) jest para liczb dodatnich?
c) jest para liczb o przeciwnych znakach?
(
) i
(
). Prosta
6. Prosta l przechodzi przez punkty
ma równanie
0. Znajdź takie wartości parametru m, aby punkt przecięcia prostych l i k
należał do wnętrza prostokąta o wierzchołkach:
(
)
(
)
( )
( ).
Strona 4 z 4