1. Sumy i iloczyny. Indukcja matematyczna.

1. Sumy i iloczyny. Indukcja matematyczna.
Zad. 1.1 W podanych wyrażeniach podstaw wartości w miejsce n zgodnie z tabelką.
Wyrażenie
n − 35n + sin(πn)
√
(n − 3)3 − n + 2
n := 2k + 1
(2n + 1)3 − log(3n)
n := n + 2
2
1
1·2
1
1·2
1
1·2
Podstawienie
n := 2
n(n + 1)(n + 2)
3
1 + 2 + 3 + ... + n
n := 7
1 + 2 + 3 + ... + n
n := 2
1 + 2 + 3 + ... + n
1
1
+
+ ... +
2·3
n(n + 1)
1
1
+
+ ... +
2·3
n(n + 1)
1
1
+
+ ... +
2·3
n(n + 1)
n := n + 1
n := n + 1
n := 3
n := 1
n := n + 1
Zad. 1.2 Zapisz bez używania symbolu Σ następujące sumy:
a)
n
P
k2,
k=1
b)
c)
n (k + 3)!
P
k=1
n P
k=1
d)
2k
n
k
,
an−k bk ,
1
(−1)k−1 · .
k
k=1
n
P
Zad. 1.3 Zapisz przy użyciu symbolu Σ następujące sumy:
a) 1 + 2 + 3 + . . . + (n − 1) + n,
b) 1 − 2 + 3 − 4 + . . . + (−1)n−1 · n,
c) 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + . . . + (n − 1)n,
d) 1 · 1! + 2 · 2! + 3 · 3! + . . . + n · n!,
0
1
2
n−1
e)
+ + + ... +
,
1! 2! 3!
n!
3
5
2n + 1
f) 2 2 + 2 3 + . . . + 2
.
1 ·2
2 ·3
n (n + 1)2
1
Zad. 1.4 Zapisz bez używania symbolu Π następujące iloczyny:
a)
n k3 − 1
Q
k=1
k3 + 1
,
1
4
n (2k − 1) −
Q
4,
b)
k=1
1
4
(2k)4 +

c)


n 
1
Q


1 −
.

k(k + 2) 
k=1
2
Zad. 1.5 Zapisz, używając znaku Π, następujące iloczyny:
a) 1 · 3 · 5 · . . . · (2n − 1),
b) 11 · 22 · 33 · . . . · nn ,
c) (11 · 1!)(22 · 2!)(33 · 3!) · . . . · (nn · n!),
d)
22 − 1 32 − 1
n2 − 1
·
·
.
.
.
·
.
22
32
n2
Zad. 1.6 Oblicz sumę
n
X
1
.
k=1 k(k + 1)
Zad. 1.7 Oblicz sumę
n
X
k · k!.
k=1
Zad. 1.8 Oblicz iloczyn
n
Y
(k k · k!).
k=1
Zad. 1.9 Oblicz iloczyn
n
Y
k3 − 1
k=1
k3 + 1
.
Zad. 1.10 (*) Oblicz iloczyn
n
Y
(2k − 1)!!,
k=1
gdzie dla dowolnej liczby naturalnej k
(2k)!! = 2 · 4 · 6 · . . . · 2k,
(2k − 1)!! = 1 · 3 · 5 · . . . · (2k − 1).
2
Zad. 1.11 Oblicz sumę
1 + 2 + 3 + . . . + n.
Zad. 1.12 Niech n będzie liczbą naturalną nieparzystą. Oblicz sumę
n
X
v !
u
u
k t n
(−1) ·
.
k
k=0
Zad. 1.13 Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi równość
n−1
X
ctg
k=1
kπ
= 0.
n
Zad. 1.14 Udowodnij równość
n
X
!
n
k·
= n · 2n−1 .
k
k=0
Zad. 1.15 Uzupełnij:
a)
100
P
k=
k=1
b)
99
P
99
P
k=0
,
k=0
c)
n
P
(k + 1)! =
n
k
=
P
k=1
n k(k + 2)
P
2
k=1
f)
P
k=2
n−1
P k=0
e)
k2,
k=
k=0
d)
P
(k + 3)2 =
,
,
P
=
k=l
,
n+1
2k
P
=
.
k=0 k!
k=
n−1
P
Zad. 1.16 Stosując zasadę indukcji matematycznej, udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej
n zachodzą równości:
n(n + 1)
,
2
k=1
n
n(n + 1)(2n + 1)
P
b)
k2 =
,
6
k=1
a)
c)
n
P
n
P
k=1
k=
k 3 = (1 + 2 + . . . + n)2 =
n2 (n + 1)2
,
4
d) 12 − 22 + 32 − 42 + . . . + (−1)n−1 · n2 = (−1)n−1 ·
3
n(n + 1)
,
2
e) 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + . . . + n(n + 1) =
f)
g)
n(n + 1)(n + 2)
,
3
n
1
=
,
n+1
i=1 i(i + 1)
n
P
n
P
i · 2i = 2 + (n − 1) · 2n+1 ,
i=1
n P
n
h) (x + y)n =
k=0
i)
j)
n P
n
k=0
n
P
k
xn−k y k , dla dowolnych x, y ∈ R,
= 2n ,
(−1)k
k=0
k
n
k
= 0,
k) 1 + 11 + 111 + . . . + |11 {z
. . . 1} =
n
10n+1 − 9n − 10
.
81
Zad. 1.17 Wykaż, że jeżeli n ­ 0, to liczba
2n+2 + 32n+1
jest podzielna przez 7.
Zad. 1.18 Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n prawdziwe są podzielności:
a) 2 | n2 + n,
b) 6 | n3 − n,
c) 43 | 6n+2 + 72n+1 ,
d) (*) p | np − n, gdzie p — liczba pierwsza,
e) 6 | n3 + 5n,
f) 133 | 11n+2 + 122n+1 ,
g) 25 | 2n+2 · 3n + 5n − 4,
h) 64 | 32n+1 + 40n − 67.
Zad. 1.19 Udowodnij przy pomocy zasady indukcji matematycznej, że dla każdej liczby
naturalnej n zachodzą nierówności:
a) 2n > n,
b) 2 + 3n ­ 2n + 3,
c) 3n > n2 − 1,
n
√
1
P
√ > n, dla n ­ 2,
d)
k=1
k
4
n 1
P
< 1, dla n ­ 2,
k2
f) (1 + x)n ­ 1 + nx dla dowolnej liczby rzeczywistej x > −1.
e)
k=2
Zad. 1.20 Dla jakich liczb naturalnych n prawdziwe są nierówności:
a) 2n + 1 < 2n ,
b) n3 < 2n ,
c) 3n < n2 + 2n − 4?
Zad. 1.21 Udowodnij, że dla dowolnych liczb naturalnych n i k prawdziwa jest nierówność
| sin(nk)| ¬ k| sin n|.
Zad. 1.22 Udowodnij, że dla dowolnych liczb naturalnych m, n, k prawdziwa jest nierówność
(m + n)k < 2k (mk + nk ).
Zad. 1.23 Udowodnij, że dla każdego naturalnego n
n5 n3 7n
+
+
5
3
15
jest liczbą naturalną.
Zad. 1.24 Udowodnij, że jeśli wyrazy ciągu (an ) spełniają warunki
a0 = 2,
a1 = 3,
an+1 = 3an − 2an−1 ,
to
an = 2n + 1.
Zad. 1.25 Udowodnij, że jeśli wyrazy ciągu (an ) spełniają warunki
a0 = 1,
an =
to
an =
an−1
,
2an−1 + 1
1
.
2n + 1
Zad. 1.26 Udowodnij, że każdy n–kąt można podzielić na n−2 trójkąty nieprzecinającymi
się prostymi.
Zad. 1.27 Udowodnij, że n kwadratów można zawsze pociąć prostymi w ten sposób, by
z uzyskanych kawałków można było złożyć nowy kwadrat.
5
Zad. 1.28 Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n liczba wszystkich podzbiorów
zbioru n–elementowego jest równa 2n .
Zad. 1.29 Udowodnij, że suma kątów wewnętrznych w n-kącie wypukłym wynosi (n−1)π.
Zad. 1.30 (*) Definiujemy ciąg Fibonacciego:
a1 = 1,
a2 = 2,
an+2 = an+1 + an .
Udowodnij,że dla każdego naturalnego n
a) 2 | a3n ,
3 | a4n , 5 | a5n ,
√ !n
√ !n #
1
1+ 5
1− 5
b) an = √
−
.
2
2
5
"
Zad. 1.31 Ciąg (cn ) definiujemy następująco:
c0 = c1 = 1,
cn = c0 cn−1 + c1 cn−2 + . . . + cn−1 c0 .
Pokaż, że liczba cn jest nieparzysta wtedy i tylko wtedy, gdy n = 2k − 1, gdzie k ∈ N.
Zad. 1.32 (*) Udowodnij lemat:
Lemat: Dla każdej liczby naturalnej n oraz dowolnych liczb nieujemnych a1 , a2 , . . . , an
takich, że
a1 + a2 + . . . + an = n,
zachodzi nierówność
a1 · a2 · . . . · an ¬ 1.
Z lematu wywnioskuj twierdzenie:
Nierówność Cauchy’ego: Jeżeli n jest dowolną liczbą naturalną, a x1 , x2 , . . . , xn
dowolnymi liczbami nieujemnymi, to
√
x1 + x2 + . . . + xn
­ n x1 · x2 · . . . · xn ,
n
przy czym równość ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy x1 = x2 = . . . = xn .
6