Lista nr 5 - odpowiedzi ZADANIE. 1 (5 pkt) Ania zgubiła sześcienną

Lista nr 5 - odpowiedzi
ZADANIE. 1 (5 pkt) Ania zgubiła sześcienną kostkę do gry i samodzielnie
wykonała inną kostkę w taki sposób, że sumy oczek na parach ścianek
przeciwległych tworzą trzy kolejne liczby naturalne (w typowej kostce do gry
sumy oczek na ścianach przeciwległych są równe). Okazało się, że suma oczek na
pewnych trzech ściankach mających wspólny wierzchołek jest równa 14. Ile oczek
jest na ściance przeciwległej do ścianki z trzema oczkami?
Rozwiązanie: Ponieważ 1+2+3+4+5+6=21 i liczba 21 jest sumą kolejnych liczb
naturalnych (21=6+7=8), więc pierwszą część zadanie spełniają dwa rozkłady
oczek:
(1+5)+(3+4)+(2+6), (2+4)+(1+6)+(3+5),
gdzie w nawiasach wpisano ilości oczek na ściankach przeciwległych. Ponieważ
14=5+3+6, i jest to jedyny sposób otrzymania liczby 14 jako sumy trzech liczb po
jednej z każdego nawiasu, więc na kostce Ani musi być pierwszy z możliwych
rozkładów, a zatem na ściance przeciwległej do ścianki z trzema oczkami są
cztery oczka.
Odp: 4 oczka.
ZADANIE. 2 (5 pkt) W trójkącie ABC o polu 10 cm2 leżący na boku AC punkt P
 4 . Jakie pole ma trójkąt BCP ?
spełnia warunek: AP
PC
Rozwiązanie: Wysokość trójkąta ABC opuszczona z B jest zarazem wysokością
trójkąta BCP. Podstawą jest wówczas w trójkącie ABC bok AC, a w BCP - bok PC,
a ponieważ AC = AP + PC = 4 PC + PC = 5 PC, pole trójkąta ABC (jako połowa
iloczynu długości wysokości i podstawy) jest 5 razy większe od pola BCP. To
ostatnie wynosi zatem 2 cm2.
Odp: 2 cm2.
ZADANIE. 3 (5 pkt) Z ośmiu patyczków o długościach odpowiednio 3, 4, 5, 7, 9,
10, 12 i 14 cm (lub z siedmiu patyczków o długościach 3, 5, 8, 10, 11, 13 i 14 cm)
należy zbudować prostokąt.
Ile różnych prostokątów (o różnych wymiarach) można zbudować używając
za każdym razem wszystkich patyczków pierwszego lub odpowiednio drugiego
zestawu?
Uwaga. Patyczki tworzące bok prostokąta nie mogą zachodzić jeden na drugi i nie
można ich łamać.
Rozwiązanie: Oznaczmy długości boków prostokąta przez x i y . Wynik
otrzymuje się z analizy rozwiązań równania x  y  26 (lub odpowiednio x  y  32 )
przy warunku, że x i y można przedstawić jako sumy długości różnych patyczków
rozważanego układu.
W pierwszym przypadku jest tylko jedno rozwiązanie zadania. Boki
prostokąta są wtedy złożone z patyczków 3 cm i 10 cm, 4 cm i 9 cm oraz 7 cm i
12 cm.
W drugim przypadku są trzy prostokąty spełniające warunki zadania, a
mianowicie prostokąty o bokach 8 cm i 24 cm, 13 cmi 19 cm oraz o bokach 14 cm i
18 cm.
ZADANIE. 4 (5 pkt) W państwie Hogo-Hogo numery rejestracyjne są liczbami
pięciocyfrowymi. Ile najwyżej samochodów da się tam zarejestrować?
Rozwiązanie: Liczby pięciocyfrowe to te spośród liczb od 1 do 99999, które są
większe od 9999, jest ich więc 90000.
Odp: 90000.
ZADANIE. 5 (5 pkt) Marek wybiera się w odwiedziny do kolegi. Wychodząc z
domu po śniadaniu zauważył, że jego zegarek elektroniczny wskazuje godzinę
symetryczną (może to być na przykład 15:51 lub 20:02). Kiedy wrócił do domu po
350 minutach zauważył, że jego zegarek znów wskazuję godzinę symetryczną. O
której godzinie Marek wyszedł z domu i o której wrócił?
Rozwiązanie: Marek wyszedł z domu o godzinie 10:01 i wrócił o godzinie 15:51.
Przyjmujemy, że godzina 05:50 jest zbyt wczesna na śniadanie.