twierdzenie pitagorasa

TWIERDZENIE
PITAGORASA
Opracowała: Małgorzata Polkowska
OPIS PRZYCISKÓW
Następny slajd
Poprzedni slajd
Koniec
Spis treści
SPIS TREŚCI
1. Pitagoras
2. Trójkąt prostokątny
3. Twierdzenie Pitagorasa
4. Dowody tw.Pitagorasa
5. Zastosowanie tw. Pitagorasa w
zadaniach
6. Własność trójkąta prostokątnego o
kątach ostrych 30° i 60°.
PITAGORAS
PITAGORAS z SAMOS, żył w
latach 570-496 p.n.e. Pozostawił po
sobie prąd filozoficzno-religijny
związany ze swoim imieniem,
trwający przez dwa wieki. Trudno
jest stwierdzić co dokonał sam
Pitagoras, a co jego uczniowie, więc
raczej należy mówić o pitagoreizmie.
Elementami pitagoreizmu są:
muzyka, harmonia i liczba,
rozpatrywane przede wszystkim
jako czynniki wychowawcze, służące
zbliżeniu do boga.
Matematyka i mistyka liczb tworzyły w pitagoreizmie dziwny konglomerat, z
którego wyrosło ścisłe poznanie matematyczne późnych pitagorejczyków,
ceniących tylko to, co mogło być dowiedzione na drodze rozumowej. W
dziedzinie geometrii opracowali oni teorię równoległych wraz z twierdzeniem
o sumie kątów trójkąta, czworokąta i wielokątów foremnych. Badali koło,
wielościany foremne i kulę. Odkryli pięciokąt foremny, wiedzieli, że
płaszczyznę można pokryć tylko następującymi wielokątami foremnymi:
trójkątami równobocznymi, kwadratami albo sześciokątami. Udowodnili
twierdzenie samego Pitagorasa, które głosi: "W trójkącie prostokątnym,
suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi
przeciwprostokątnej" . Zajmowali się także liczbami doskonałymi, to jest
takimi, których suma dzielników od niej mniejszych jest równa danej liczbie,
o ile liczba 1 jest dzielnikiem tej liczby. Takimi liczbami są np. 6, 28, 496,
8128. Szukali także par liczb zaprzyjaźnionych, tj. takich, których suma
dzielników jednej z nich jest równa drugiej, np. 220 i 284..
przyprostokątna
TRÓJKĄT PROSTOKĄTNY
.
przyprostokątna
Oblicz pola kwadratów zbudowanych na bokach trójkąta.
Pc
Pa=32=9
Pb=42=16
Pa
a= 3
Pc=52=25
b=4
Pb
Długości boków trójkąta prostokątnego i pola kwadratów
zbudowanych na bokach tego trójkąta. Jaki wyciągniesz
wniosek?
Długości boków
trójkąta prostokątnego
a
6
7
9
21
b
8
24
40
20
c
10
25
41
29
Pola kwadratów
zbudowanych na bokach
trójkąta prostokątnego
Pa
36
49
81
441
Pb
64
576
1600
400
Pc
100
625
1681
841
TWIERDZENIE PITAGORASA
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to pole kwadratu
zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól
kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych.
Dowód tw. Pitagorasa
Dowód tw. Pitagorasa
Zadanie
Podaj wzór na obliczanie długości odcinków a, b i c.
c2=a2+b2
c  a b
a2=c2-b2
a  c b
b2=c2-a2
b  c a
2
2
2
2
c
a
b
2
2
Zadanie
Oblicz długość przekątnej kwadratu o boku 6 cm.
d
d=a
a
a
Odp.: d = 6
2
2
Zadanie
Posługując się twierdzeniem Pitagorasa, oblicz długość
przekątnej prostokąta o bokach 10 cm i 5cm.
d  a 2  b2
d
a
b
d  10 2  52
d  100  25
d  125
Odp. : d  5 5cm.
d  25  5
d  5 5cm
Zadanie
Oblicz wysokość w trójkącie równobocznym
o boku 6 cm.
a
h
1 
a2  h2   a 
2 
1 2
2
2
h a  a
4
3 2
h
a
4
h
1
a
2
3
2
a 3
h
2
a2
4
Odpowiedź:
6 3
h
2
h  3 3cm
30°
c
c 3
b
2
60°
a
1
c
2
W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym 30° i
przeciwprostokątnej c ,
przyprostokątna leżąca
naprzeciw kąta 30° jest równa a  1 c (połowa
2
przeciwprostokątnej), a druga przyprostokątna b  a 2 3
(wysokość trójkąta równobocznego o boku c).
Czy chcesz zakończyć?
TAK
NIE