Liczby zespolone

Matematyka – Liczby zespolone i funkcja zmiennej zespolonej
Liczby zespolone.
1. Elementarne pojęcie liczby zespolonej.
Liczbą zespoloną nazywamy zbiór liczb rzeczywistych w postaci z=x+iy gdzie i2= -1.
x=Re(z) - część rzeczywista
y=Im(z) - część urojona
2. Działania na zbiorze liczb zespolonych.
2.1 Suma liczb zespolonych.
(x+iy)(x'+iy')=xx'+i(yy')
(2-i)+(1+3i)=3+2i
2.2 Iloczyn liczb zespolonych.
(x+iy)(x'+iy')=xx'-yy'+i(xy'+x'y)
(1+i)2(1-3i)=(1+2i-1)(1-3i)=6+2i
2.3 Dzielenie liczb zespolonych.
Uwaga: aby podzielić dwie liczby zespolone należy pomnożyć je przez liczbę
sprzężoną z dzielną
z*zsp=x2+y2
(1  3i) (1  3i)(1  i) (1  i  3i  3) (2  4i)



 1  2i
(1  i)
11
2
2
3. Interpretacja geometryczna liczby zespolonej.
Dla każdej liczby zespolonej istnieje punkt o współrzędnych (x, y). Obrazem liczby
zespolonej jest wektor w=[x, y].
Modułem liczby zespolonej nazywamy długość wektora w.
w  x2  y 2
Argumentem liczby zespolonej nazywamy kąt  zawarty między wektorem w a osią X.
arg z= -    
Argumentem liczby z nazywamy = + 2k
Arg z = arg z + 2k
x
 cos 
z
x  z cos
-1-
k<-, ... , -2, -1, 0, 1, 2, ... ,>.
Matematyka – Liczby zespolone i funkcja zmiennej zespolonej
y
 sin 
z
y  z sin 
z  z cos  i z sin   z (cos   i  sin  )
4. Potęga, wzory MOIVRE'a.
4.1 Własności modułu i argumentu liczby zespolonej.
z1  z2  z1  z2
z
z1
 1
z2
z2
argz1  z2   arg z1  arg z2
z
arg 1  arg z1  arg z2
z2
z1  r1 (cos  i sin  )
  arg z1
r1  z1
z2  r2 (cos   i sin  )
r2  z2
  arg z2
z1  z2  r1  r2 cos cos   sin  sin    icos sin   sin  cos   
r1  r2 cos     i sin    
z n  z cosn   i sin n 
n
cos 2  cos 2   sin 2 
sin 2  2 sin  cos 
5. Pierwiastek liczby zespolonej.
Założenie: z n  z cosn   i sin n 
n
zn  C
C   cos  2k  i sin   2k
z=?
zn C
z 
z n
n    2k

n
n
z n
  2k
k = 0, 1, 2, ... , n-1.
n
    2k 
   2k  
z  cos
  i sin 
  , dla k=0 pierwiastek główny.
n
n



 
6. Postać wykładnicza liczby zespolonej (EULER'a).
eiy  cos   i sin 
C  e z  e xiy  e x (cos   i sin  )
C  C (cos   i sin  )
C  ex  R
-2-
Matematyka – Liczby zespolone i funkcja zmiennej zespolonej
C  C ei
0    2
- postać wykładnicza liczby zespolonej.
C n  C e ni
n
Korzystając z postaci wykładniczej obliczyć
1  i 4
z3 
3
3 i


1  i  2e

i
4
3  i  2e

 2 e


i
6
4 i
4ei
4
i
3
1   2 
 2  
  cos 
  i sin  
 
2  3 
 3 
2e
8e
  2

 2

 2k 

 2k  
 

1
  i sin  3

z  3  cos 3
3
3
2 






 



 
1   2 
 2  
zk  0  3  cos 
  i sin  
 
2  9 
 9 
z
3

3 3i

 3 i
1
 e
2
1   4 
 4  
 cos
  i sin 
 
2  9 
 9 
zk 1 
3
z k 2 
3
1   8 
 8  
 cos 
  i sin  
 
2  9 
 9 
Graficzne rozwiązanie zadania.
-3-
Matematyka – Liczby zespolone i funkcja zmiennej zespolonej
Funkcja zmiennej zespolonej.
f(z)= z 2  ( x  iy )2  x 2  2 xiy  y 2
u( xy)  x 2  y 2 - część rzeczywista funkcji f(z)
v( xy)  2 xy - część urojona funkcji f(z)
Funkcję f(z) nazywamy analityczną jeżeli posiada pochodną, tzn. istnieje funkcja
f ( z  z )  f ( z )
lim
 f ( z )
z  0
z
Przykłady.
1. f ( z )  z 2 f ( z )  2 z
2. f(z)=z*
(z* - funkcja sprzężona)
( z  z ) *  z *
z *  z *  z *
z *
x  iy
lim
 lim
 lim
 lim
z  0
z  0
z  0 z
z  0 x  iy
z
z
x  iy
dla x=0 lim
 1
z  0 x  iy
x  iy
dla y=0 lim
1
z  0 x  iy
Funkcja f(z*) nie jest analityczna.
2
f ( z )  z  z*  z
3. f ( z )  z 2  1
( z  z ) 2  1  z 2  1
z 2  2 zz  z 2  1  z 2  1
 lim
 lim (2 z  z )  2 z
z  0
z  0
z  0
z
z
Funkcja wykładnicza zmiennej zespolonej
de z
 ez
dt
e z1  z 2  e z1 e z 2
e z  2i  e z e2i  e z (cos 2  i sin 2)  e z (1  i0)  e z
f ( z )  lim
eix  eix cos x  i sin x  cos x  i sin x 2 cos x


 cos x
2
2
2
eix  eix cos x  i sin x  cos x  i sin x 2i sin x


 sin x
2i
2i
2i
de az
 ae az
dt

 ei z  e  iz  i ei z  je iz   2i  ei z  e  iz   0 ei z  e  iz
 
(sin x)  

 cos z
4
2
 2i 
(cos x)  sin z
Logarytm funkcji zmiennej zespolonej
r – moduł liczby zespolonej z
ln z  ln( rei )  ln ei  ln r  i  ln r

ln( 1  i1)  i  ln 2
4
Całkowanie funkcji zmiennej zespolonej
 ( z )dz   zdz
C ( z 0 , z1 )
-4-
Matematyka – Liczby zespolone i funkcja zmiennej zespolonej
 zdz  lim
n
z  
 f ( z )z
i 0
n
z=x+iy
dz=dx+idy
d(uv)=(du)v+u(dv)
1
1
d     2 du
u
u
v
 1
d   dv  
u
 u
i
z  re
dz  d (rei )  d (r )ei  rie i d
dla r=1
dz  ie i d

2
2
f ( z )dz   rei ie i d  i  e2i d  i
0
e
ax
dx 
r 1
0
1 2i 2 1
e
 (1  1)  0
0
2i
2
1 ax
e
a
-5-