Ci3kaw0stk1 mat3matyczne

Ci3kaw0stk1 mat3matyczne
Marta Pociecha
Trójkąt Pascala i jego właściwosci
•
W pierwszym rzędzie ukośnym znajdują się same jedynki. W kolejnych rzędach odpowiednio: kolejne liczby
naturalne; trójkątne (różnica między kolejnymi liczbami wynosi n+1, dla n 1=2); piramidalne (takie które da się
przedstawić za pomocą figur w przestrzeni trójwymiarowej, określane wzorem p=[n(n 2-1)]:6 , gdzie n to liczba
naturalna np. 1, 4 , 10, 25)
Trójkąt Pascala pozwala wyprowadzić wzory
skróconego mnożenia:
•
•
•
•
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
Spostrzeżenia Pitagorasa
•
Suma kolejnych liczb nieparzystych daje pełny kwadrat
1+3=22
1+3+5=32
1+3+5+7=42
1+3+5+7+9=52
• Każdy taki gnomon jest różnicą dwu
kwadratów:
22-12=3
32-22=5
42-32=7
52-42=9
62-52=11 (jak na rysunku)
O liczbie 100
100 można zapisać na kilka sposobów:
100=12+20+4+64
Na każdym ze składników tak zapisanej liczby 100 można wykonać działanie uzyskując liczbę 16:
12+4= 16
20-4 = 16
4*4 = 16
64:4 = 16
Można ją też zapisać w postaci sześcianów kolejnych liczb naturalnych:
100 = 1+8+27+64 = 13+23+33+43
Albo za pomocą samych piątek:
5x5x5-5x5 = 100
albo
5x(5+5+5+5) = 100
lub samych jedynek:
111-11 = 100 ; czy też samych trójek: 3x33+(3:3) = 100
Albo dziewiątek:
99+99/99 = 100
Albo za pomocą kolejnych cyfr:
1+2+3+4+5+6+7+8x9 = 100
Dookoła świata
Nie wielu ludzi zdaje sobie z tego sprawę, ale każdy z
nas, w ciągu naszego życia kilkakrotnie odbywa podróż
dookoła świata! Jak? Ano tak:
Małe dziecko w ciągu godziny przebywa ok. 4 km. W
ciągu dnia porusza się średnio przez 5 godzin, co
oznacza 20 km dziennie. Czyli przez cały rok pokonuje
7200 km. Długość równika to ok. 40 000 km. Łatwo, więc
policzyć, że w przeciągu 5 lat i kilku miesięcy odbywa
podróż dookoła świata. Wynika z tego, iż 60-cio letni
człowiek przebył mniej więcej 384 000 kilometrów, czyli
odległość od Ziemi do Księżyca.
Problemat Leonarda z Pizy
•
Dwie wieże, jedna wysokości 30 stóp, druga 40 stóp, oddalone od siebie o 50 stóp. Pomiędzy niemi znajduje się
wodotrysk. Z wierzchołków wież zlatują dwa ptaki w stronę wodotrysku. Lecą z jednakową prędkością i przybywają
tam w tym samym czasie. Jakie są odległości poziome wodotrysku od wież?
•
|AE| = |CE| ponieważ są to drogi przebyte przez
ptaki z tą samą prędkością i w tym samym czasie.
|AE|2 = 402+ x2
|CE|2 = 302 +(50-x)2
402 + x2 = 302 +(50-x)2
1600 + x2 = 900 + 2500 – 100x + x2
100x = 1800
x = 18
|BE| = 18
|ED| = 50 – 18=32
Pająk i mucha
•
Pokój ma 30 stóp długości, 12 stóp szerokości i 12 stóp wysokości. Na linii pionowej przechodzącej przez środek
jednej z krótszych ścian, w odległości jednej stopy od sufitu znajduje się pająk, na prostopadłej ścianie znajduje
się mucha. Pająk dosięga muchy, która obezwładniona strachem, nie próbuje nawet ucieczki.
Zadanie polega na tym, by znaleźć najkrótsza drogę, jaką ma przebyć pająk do swej zdobyczy.
Najszybciej to zadanie można rozwiązać metodą graficzną.
Prostokąt a oznacza podłogę, B i D dłuższe ściany boczne, C sufit, E i F punkty, w których znajdowały się
początkowo pająk i mucha na dwóch krótszych ścianach.
Jeśli linię EF, po której przebiega pająk, przyjmiemy za przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym EFN, to
oczywiście EF2 = NF2 + NE2
|EN| = 30 + 3 = 32
|FN| = 12 + 6 + 6 = 24
|EF|2 = |EN|2 + |FN|2
|EF|2 = 242 + 322
|EF|2 = 576 + 1024
|EF|2 = 1600
|EF| = 40
Pająk przebiegł drogę 40 stóp.
Bibliografia:
•
•
Szczepan Jeleński: Śladami Pitagorasa , Lilavati
Internet : www.pi.polcom.net