III Liceum Ogólnokształcące im. Unii Lubelskiej w Lublinie Plac Wolności 4, 20-005 Lublin Tel./Fax: 81 532 09 47, e-mail: [email protected] V Konkurs Matematyczny UniMat etap I 11 lutego 2016 r. czas: 90 min. Przed Tobą do rozwiązania test składający się z 20 zadań. Do każdego zadania podano 4 odpowiedzi, z których co najmniej jedna jest prawdziwa. Twoim zadaniem jest wypełnienie tabeli odpowiedzi wpisując T (tak) lub N (nie) w zależności od tego, czy odpowiedź jest prawdziwa czy fałszywa. Za każdą prawidłową odpowiedź otrzymasz 3 punkty, za brak odpowiedzi 0 punktów, za złą odpowiedź stracisz 1 punkt. UWAGA 1 Jeśli w zadaniu udzielisz cztery odpowiedzi N lub trzy odpowiedzi N i nie udzielisz odpowiedzi T, otrzymasz za to zadanie minus 12 punktów. UWAGA 2 Podczas konkursu nie możesz korzystać z kalkulatora. Na kartę odpowiedzi wpisz wyraźnie swoje imię, nazwisko oraz gimnazjum. Oto przykład wypełniania karty odpowiedzi: Nr Zad. a) 1 2 T N ODPOWIEDZI b) c) d) N N T N Punkty N T Powodzenia! 1. Jeśli zwiększymy podstawę trójkąta o 60%, a wysokość zmniejszymy o 40%, to: a) jego pole zwiększymy o 20% b) jego pole nie wzrośnie c) jego pole zmaleje co najmniej o 8% d) jego pole zmaleje co najwyżej o 6% 2. Punkt S jest środkiem okręgu, kąt DSA ma miarę 80o, zaś kąt DBC ma miarę 70o. Z tego wynika, że miara kąta zaznaczonego na rysunku wynosi: a) 60o b) 70o c) 75o d) 80o 3. Istnieje taki graniastosłup, który ma a) parzystą liczbę ścian i nieparzystą liczbę krawędzi b) krawędzi dwa razy tyle, co wierzchołków c) krawędzi dwa razy tyle, co ścian d) krawędzi cztery razy tyle, co ścian 4. Pewne pary liczb dwucyfrowych mają tę własność, że ich iloczyn jest równy iloczynowi liczb otrzymanych w wyniku przestawienia cyfr, na przykład 31 26 13 62 . Wskaż ile dokładnie jest dodatnich liczb dwucyfrowych n takich, że 21 n 12 n , gdzie n oznacza liczbę powstałą poprzez przestawienie cyfr liczby n. a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 5. Liczby na rysunku oznaczają pola trójkątów. Wobec tego pole x trójkąta BDE jest równe: a) 9 b) 12 c) 15 d) 30 6. Jeśli a i b są pewnymi liczbami całkowitymi spełniającymi równanie a) b) c) d) 7. 3a b 2 , to 2a 5b 3 może być taka sytuacja, że obie liczby a i b są parzyste może być taka sytuacja, że jedna z liczb jest parzysta, a druga nieparzysta liczba b musi być podzielna przez 5 liczba a musi być podzielna przez 5 Kartkę w kształcie półkola o promieniu 10 cm zwinięto otrzymując powierzchnię boczną stożka, potem dorobiono do niej podstawę. a) Powierzchnia boczna tego stożka jest dwa razy większa od powierzchni podstawy. b) Powierzchnia boczna tego stożka jest cztery razy większa od powierzchni podstawy. c) Objętość stożka jest równa 125 3 d) Objętość stożka jest równa 125 3 8. Liczby a i b spełniają równania: a b 5 oraz ab 3 . Wobec tego: a) a 2 b2 20 b) c) d) 9. 1 1 5 a b 3 (a 1)2 (b 1)2 31 a b 6 b a Jaką część sześciokąta foremnego zajmuje trójkąt ABG? a) 1 3 b) 1 4 c) 5 12 d) 3 8 10. Bryła ABCDEFGH jest sześcianem, którego krawędź ma długość a. Punkty K, L są środkami boków. Wobec tego: 1 3 7 b) objętość bryły DBCKLG jest równa a 3 12 2 a 6 c) pole trójkąta KLG jest równe 4 2 a 5 d) pole trójkąta KLG jest równe 4 11. Liczba 20162016 a) objętość bryły DBCKLG jest równa a 3 a) b) c) d) jest podzielna przez 42016 jest podzielna przez 34032 jest podzielna przez 271008 4 jest równa 10081008 2 12. Trójkąt ABC jest równoboczny. |AB|=8, |AE|=3. Wobec tego a) | BE | 4 3 b) | BE | 7 c) d) 15 3 4 | BE | 4 3 | BE | 13. Samochód jechał z miasta A do miasta B ze stałą szybkością 80 km/h, zaś wracał tą samą drogą ze stałą szybkością 60 km/h. Średnia szybkość na całej trasie A-B-A a) jest równa 70 km/h b) jest mniejsza niż 70 km/h c) jest większa niż 70 km/h. d) Nie da się obliczyć średniej szybkości, jeśli nie znamy długości drogi z A do B. 14. Ile jest liczb całkowitych n, dla których liczba a) b) c) d) tylko jedna są dokładnie 4 takie liczby jest dokładnie 6 takich liczb jest nieskończenie wiele takich liczb 15. Liczba a 327 323 612 4 610 a) b) c) d) jest podzielna przez jest podzielna przez jest podzielna przez jest podzielna przez 40 80 310 327 n7 jest całkowita? n3 16. Czy istnieje 2016 takich różnych liczb pierwszych, że: a) b) c) d) ich suma jest liczbą nieparzystą? ich suma jest liczbą parzystą? ich iloczyn jest liczbą nieparzystą? ich iloczyn jest liczbą parzystą? 17. Każdy z dwóch boków trójkąta ostrokątnego ma długość 2. Wynika z tego, że a) b) c) d) każda wysokość tego trójkąta ma długość mniejszą od 2 pole tego trójkąta jest mniejsze od 2 trzeci bok tego trójkąta ma długość mniejszą od 2 trzeci bok tego trójkąta ma długość mniejszą od 3 18. Janek idzie z prędkością x km/h pokonując 1km w ciągu x kwadransów. a) b) c) d) Trasę 8 km pokona w czasie nie dłuższym niż 3,5 godziny Gdyby szedł dwa razy szybciej, to trasę 8 km pokonałby w czasie o 2 godziny krótszym Gdyby szedł dwa razy wolniej, to trasę 8 km pokonałby w czasie o 3 godziny dłuższym Gdyby szedł dwa razy wolniej, to trasę 7 km pokonałby w czasie dwa razy dłuższym 19. W pewnym mieście mieszkają tylko prawdomówni i kłamcy. Kłamcy zawsze kłamią, a prawdomówni zawsze mówią prawdę. Pewnego razu w domu jednego z nich zebrało się kilku mieszkańców. Trzech z nich powiedziało: Pierwszy: "Jest nas tutaj nie więcej niż trzech. Każdy z nas jest kłamcą" Drugi: "Jest nas tutaj nie więcej niż czterech. Nie wszyscy z nas są kłamcami." Trzeci: "W domu jest pięć osób. Trzej z nas to kłamcy" Ile osób było w pokoju i ilu z nich to kłamcy? a) 3 osoby, 1 kłamca b) 4 osoby, 1 kłamca c) 4 osoby, 2 kłamców d) 5 osób, 2 kłamców 20. Na rysunku mamy 9-kąt foremny. Jaka jest miara kąta ? a) b) c) d) 55o 57,5o 60o 62,5o