wielka rodzina liczb

WIELKA RODZINA LICZB
Co to naprawdę jest liczba? Co to jest „dwa”? Nie „dwa jabłka”, czy „dwa tramwaje”
– ale po prostu przedmiot (?) oznaczamy symbolem 2…
Prawda, że to wcale nie takie proste? A przecież takie liczby jak 1, 2, 3… noszą nazwę
„naturalnych” dlatego właśnie, iż są nam najbliższe, najlepiej – wydawałoby się – znane. Co
dopiero mówić o ułamkach, czy liczbach tzw. niewymiernych.
Zanim zacznę mówić o tych innych, „trudniejszych” jeszcze liczbach, wrócę do liczb
naturalnych, aby postarać się choć w przybliżeniu odpowiedzieć na kłopotliwe pytanie. Aby
tego dokonać, spróbuję najpierw udzielić odpowiedzi na inne zagadnienie, pozornie nie
mające z tym nic wspólnego. Na przykład – jak zdefiniować pojęcie „czerwień”? Wiemy co
to jest czerwone jabłko, czerwony sweter, czerwona flaga; możemy precyzyjnie określić
fizycznie, że kolor czerwony widzimy wówczas, gdy nasze oko odbiera promieniowanie
świetlne o takiej a takiej długości fali – wszystko to jednak nie odpowiada na nasze pytanie,
ponieważ mowa w nim nie o konkretnych przedmiotach, ale o pewnej abstrakcji.
Wyjście z sytuacji jest takie. Umówmy się najpierw, że pewien konkretny przedmiot
nazwiemy „czerwonym” (jeśli chcemy być w zgodzie ze zdrowym rozsądkiem, to
wybierzemy taki przedmiot, który istotnie ludzie uznają za czerwony!). teraz skonstruuję takie
urządzenie, które pozwoli nam ustalić, że jakiś inny, dowolny przedmiot jest (albo: nie jest)
tego samego koloru co inny – na przykład, będzie to aparat porównujący długość fali odbitych
od obu przedmiotu światła. Na koniec, porównujemy wszystkie możliwe przedmioty, jakie
tylko istnieją (mniejsza z tym, że praktycznie jest to dość trudne do przeprowadzenia)
z naszym „wzorcem”. Okaże się, że owo „wszystko” rozpadło się na dwie klasy – jedną,
zawierającą te i tylko te przedmioty, które mają identyczną barwę z wzorcem, i drugą,
zawierającą całą resztę. I otóż teraz „czerwień” możemy określić jako tę jedną jedyną cechę,
która jest wspólna wszystkim przedmiotom, zaliczanym do pierwszej klasy…
Podobnie można zrobić z liczbami. Na przykład – bardzo łatwo „skonstruować”
aparat, który odpowie nam na pytanie, czy dwa zbiory (złożone z czegokolwiek) mają tyle
samo elementów: nasz aparat po prostu połączy elementy tych zbiorów w pary, i jeśli element
któregoś z tych zbiorów nie zostaną w trakcie tej operacji wyczerpane – to zbiory nie były,
jak to się fachowo mówi, „równoliczne”.
Z kolei wybierzmy zbiór, który nazwiemy zbiorem „jednoelementowym”. Niech to
będzie np. jakiś konkretny człowiek. Rozważając teraz wszystkie możliwe zbiory
(uprzedzam, że w tym miejscu jest pewna trudność – ale o niej chętni dowiedzą się dopiero na
wyższej uczelni) i porównując je co do liczności ze wzorcem. I znów – powiemy, że liczba
„jeden” to jest ta jedyna wspólna cecha, która przysługuje i pojedynczemu człowiekowi,
i pojedynczemu jabłku, sweterkowi, i tak dalej… podobnie określimy pojęcia „dwa”, „trzy”
i w ogóle dowolną liczbę naturalną.
Z kolei z liczb naturalnych możemy zbudować liczby wymierne, czyli ułamki
(właściwe lub nie), określając je jako pary liczb naturalnych (licznik i mianownik).
I jeślibyśmy teraz nanieśli na oś liczbową punkty, które odległe są od początku osi o długości,
będące właśnie liczbami wymiernymi – oto okaże się, że na osi pozostaną pewne luki: nie
wszystkie punkty zostaną w ten sposób wyczerpane. Te właśnie luki nazywamy (a ściślej: ich
odległości od początku osi) liczbami niewymiernymi.
Taką liczbą niewymierną (czyli, innymi słowy taką, która nie da się w żaden sposób
przedstawić w postaci ułamka) jest np. pierwiastek kwadratowy z dwóch. Uczniowie
słynnego Pitagorasa, którzy przypisywali liczbom znaczenie magiczne, do pewnego momentu
nie wiedzieli, że liczby niewymierne w ogóle istnieją. Podobno stwierdzenie przez jednego
z nich, że przekątna kwadratu o boku jeden nie ma długości wymiernej (jest ona równa,
oczywiście, właśnie pierwiastkowi z 2) tak nimi wstrząsnęło, że odkrywca tego faktu został
natychmiast zamordowany!
Obie wymienione ostatnio rodziny liczb – wymiernych i niewymiernych – noszą
wspólną nazwę liczb rzeczywistych. Tak więc: każda liczba naturalna jest wymierna (bo
można ją przedstawić jako ułamek o mianowniku 1) – ale nie na odwrót: istnieją liczby
wymierne, które nie są naturalne (np. ½). Podobnie, każda liczba wymierna jest rzeczywistą.
Wielką rodzinę liczb rzeczywistych można podzielić jeszcze inaczej: na liczby, zwane
algebraicznymi i liczbami zwane przestępnymi. Liczby algebraiczne są to liczby, które
otrzymujemy, rozwiązując równania algebraiczne o współczynnikach wymiernych. Liczb
przystępnych w ten sposób otrzymać nie można – a przykładem takiej liczby przystępnej jest
liczba  = 3,14159265… Nawiasem mówiąc, przestępność liczby  jest przyczyną
niemożności rozwiązania słynnej kwadratury koła, czyli zbudowania za pomocą cyrkla
i linijki kwadratu o polu, równym polu danego koła…
Na rysunku przedstawione jest „drzewo genealogiczne” wielkiej rodziny liczb. Literą
R oznaczyłam na nim liczby rzeczywiste, literą W – wymierne, literą C – całkowite (czyli
naturalne, zero i liczby całkowite ujemne), Literą N – liczby naturalne. Litery NW oznaczają
liczby niewymierne, zaś kreskowane prostokąty wyznaczają liczby algebraiczne (do których
należą wszystkie liczby wymierne i niektóre niewymierne) oraz przestępne, zawierające tylko
część liczb niewymiernych.
R
W
NW
C
N
A
P
Opracowała:
Zofia Tryzubiak