n - if univ rzeszow pl

Analiza matematyczna
II. Ciągi
WYKŁAD 3
Ciągi – podstawowe informacje
Krzysztof Kucab
Rzeszów, 2012
Plan wykładu
•
•
•
definicja ciągu liczbowego,
definicje granic ciągu liczbowego,
własności ciągów zbieżnych.
Definicja ciągu liczbowego
Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję
odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb
rzeczywistych.
•Wartość tej funkcji dla liczby naturalnej n
nazywamy n-tym wyrazem ciągu i oznaczamy
przez an, bn, ... .
•Ciągi o takich wyrazach oznaczamy odpowiednio
przez (an), (bn), ... .
•Zbiór wyrazów ciągu (an) , tj. an : n  N 
oznaczamy przez {an}.
Definicja ciągu liczbowego
Ciągi przedstawiamy na płaszczyźnie jako zbiór
punktów o współrzędnych (n, an), gdzie n  N .
an
a3
a4
a1
1
2
3
4
a6
a5
a2
Ciąg (an)
5
6
n
Ciągi liczbowe
Ciągi liczbowe możemy zdefiniować poprzez:
- podanie wzoru ogólnego:
1
n
an  , an  cos n , an  e , ...
n
- w sposób rekurencyjny:
a1  1, an1  an  2
- w sposób opisowy:
an jest n-tą cyfrą po przecinku rozwinięcia
dziesiętnego liczby e.
Ciągi liczbowe
Ciąg ograniczony
Ciąg (an) jest ograniczony z dołu, gdy zbiór {an} jest
ograniczony z dołu, tzn.:
m  R n  N : an  m
an
1
m
2
3
4
5
6
n
Ciągi liczbowe
Ciąg ograniczony
Ciąg (an) jest ograniczony z góry, gdy zbiór {an} jest
ograniczony z góry, tzn.:
M  R n  N : an  M
an
M
1
2
3
4
5
6
n
Ciągi liczbowe
Ciąg ograniczony
Ciąg (an) jest ograniczony, gdy zbiór {an} jest
ograniczony, tzn.:
m, M  R n  N : m  an  M
an
M
1
m
2
3
4
5
6
n
Ciągi liczbowe
Monotoniczność ciągu
Ciąg (an) jest rosnący, gdy: n  N : an1  an
Ciąg (an) jest niemalejący, gdy: n  N : an1  an
Ciąg (an) jest malejący, gdy: n  N : an1  an
Ciąg (an) jest nierosnący, gdy: n  N : an1  an
Ciągi liczbowe
Monotoniczność ciągu
Ciąg nazywamy monotonicznym, gdy jest rosnący,
malejący, nierosnący lub niemalejący.
Monotoniczność ciągu (an) możemy ustalić badając
znak różnicy an+1-an a ciągu (bn) o wyrazach
dodatnich porównując iloraz bn+1/bn z 1:
an+1-an
>0
<0
0
0
bn+1/bn
>1
<1
1
1
Ciąg
rosnący
malejący
niemalejący
nierosnący
Ciągi liczbowe
Granica ciągu
Ciąg (an) jest zbieżny do granicy właściwej g  R
co zapisujemy:
lim an  g
n 
wtedy i tylko wtedy, gdy:
  0 n0  N n  N : n  n0    an  g   
Każdy ciąg zbieżny ma dokładnie jedną granicę.
Ciągi liczbowe
Granica ciągu
Ciąg (an) jest zbieżny do granicy niewłaściwej 
co zapisujemy:
lim an  
n 
wtedy i tylko wtedy, gdy:
  0 n0  N n  N : n  n0   an   
Ciągi liczbowe
Granica ciągu
Ciąg (an) jest zbieżny do granicy niewłaściwej  
co zapisujemy:
lim an  
n 
wtedy i tylko wtedy, gdy:
  0 n0  N n  N : n  n0   an   
Ciągi liczbowe
Granica ciągu
Ciąg (an) nazywamy rozbieżnym, gdy nie ma granicy
właściwej ani niewłaściwej.
Przykłady ciągów rozbieżnych:
n
an   1 , an  sin , ...
2
Granica ciągu zbieżnego do granicy właściwej lub
niewłaściwej nie zależy od wartości skończenie
wielu jego wyrazów.
n
Ciągi liczbowe
Granica ciągu
Granice ciągu geometrycznego:
dla q  1
 0
1
dla q  1
n
lim q 
n 


dla
q

1

nie istnieje dla q  1
Ciągi liczbowe
Podciągi
Niech (an) będzie dowolnym ciągiem oraz niech (kn)
będzie rosnącym ciągiem liczb naturalnych.
Podciągiem ciągu (an) nazywamy ciąg (bn)
określony wzorem:
def
bn  ak , gdzie n  N
n
Każdy podciąg ciągu zbieżnego do granicy właściwej
lub niewłaściwej jest zbieżny do tej samej granicy.
Ciągi liczbowe
Ciągi – podstawowe twierdzenia
1. Jeśli ciąg jest zbieżny do granicy właściwej, to jest
ograniczony.
2. (tw. o trzech ciągach)
Jeżeli ciągi (an), (bn), (cn) spełniają warunki:
n  n0 : an  bn  cn , lim an  lim cn  b
n 
n 
to:
lim b  b
n 
n
3. Jeżeli ciąg (an) jest niemalejący dla nn0 oraz
ograniczony z góry to jest zbieżny do granicy
właściwej supan : n  n0 .
Ciągi liczbowe
Ciągi – podstawowe twierdzenia
4. (określenie liczby e)
n
1

Ciąg en  1   jest rosnący i ograniczony
 n
z góry, a zatem jest zbieżny*.
1

e  lim1  
n 
 n
def
n
e  2.71828182845905
*dowód na monotoniczność i ograniczoność: skorzystać z faktu, że
(1+x)p>1+px (przy odp. warunkach) oraz n!>2n-1 dla n>2.
Ciągi liczbowe
Ciągi – podstawowe twierdzenia
Jeżeli ciąg (an) o wyrazach dodatnich jest zbieżny do
granicy niewłaściwej , to:
an

1
lim1    e
n 
 an 
Ciągi liczbowe
Ciągi – podstawowe twierdzenia
liman  bn   lim an  lim bn
n 
n 
n 
limcan   c lim an , c  R
n 
n 


liman  bn   lim an  lim bn
n 
n 
n 

an
an lim
lim  n , lim bn  0
n  b
n 
lim
b
n
n
n 

liman   lim an
p
n 
n 

p
, p  Z \ 0
lim k an  k lim an , k  N \ 1
n 
n 
Ciągi liczbowe
Ciągi – podstawowe twierdzenia
Twierdzenia dotyczące granic niewłaściwych
1. (tw. o dwóch ciągach)
Jeżeli ciągi (an), (bn) spełniają warunki:
n  n0 : an  bn , lim an  
n 
to:
lim bn  
n 
Prawdziwe jest także analogiczne stwierdzenie dla
ciągów zbieżnych do granicy niewłaściwej -.
Ciągi liczbowe
Ciągi – podstawowe twierdzenia
a+=
a/ = 0
a = 0
b = 0
;
;
;
;
<a
<a<
0+  a < 1
b<0
a=
a/0+ = 
a = 
b = 
;
;
;
;
0<a
0<a
1<a
0<b
Skróconą notację z tabeli odczytujemy wg wzorca:
a     dla    a   :
lim an  a,    a   
n 
 liman  bn   

n 
lim bn  

n 
Ciągi liczbowe
Ciągi – podstawowe twierdzenia
Wyrażenia nieoznaczone:

0
0/0
/
1
0
00
Wartości powyższych wyrażeń zależą od postaci
ciągów je tworzących.