MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIA£Y DO WYKŁADU

Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAY DO WYKŁADU
OSZACOWANIA ASYMPTOTYCZNE
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT
Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
DEFINICJA
Funkcję f : N → R nazywamy asymptotycznie dodatnią, gdy
istnieje liczba n0 ∈ N taka, że dla wszystkich liczb naturalnych
n ­ n0 zachodzi nierówność f (n) > 0.
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT
Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
DEFINICJA
Funkcję f : N → R nazywamy asymptotycznie dodatnią, gdy
istnieje liczba n0 ∈ N taka, że dla wszystkich liczb naturalnych
n ­ n0 zachodzi nierówność f (n) > 0.
W ciągu całego wykładu zakładamy, że rozważamy dowolne
funkcje asymptotycznie dodatnie o argumentach będących liczbami
naturalnymi. Założenia tego nie będziemy powtarzać w dalszej
części.
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT
Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
Notacja ”o-małe”
DEFINICJA
Mówimy, że
f (n) = o(g (n)),
gdy dla dowolnej liczby rzeczywistej c > 0 istnieje liczba n0 ∈ N
taka, że
f (n) ¬ cg (n)
dla wszystkich liczb naturalnych n ­ n0 .
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT
Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
Notacja ”o-małe”
DEFINICJA
Mówimy, że
f (n) = o(g (n)),
gdy dla dowolnej liczby rzeczywistej c > 0 istnieje liczba n0 ∈ N
taka, że
f (n) ¬ cg (n)
dla wszystkich liczb naturalnych n ­ n0 . Mówimy wówczas, że
f (n) jest pomijalna względem g przy n dążącym do
nieskończoności.
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT
Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
Notacja ”o-małe”
DEFINICJA
Mówimy, że
f (n) = o(g (n)),
gdy dla dowolnej liczby rzeczywistej c > 0 istnieje liczba n0 ∈ N
taka, że
f (n) ¬ cg (n)
dla wszystkich liczb naturalnych n ­ n0 . Mówimy wówczas, że
f (n) jest pomijalna względem g przy n dążącym do
nieskończoności.
TWIERDZENIE
f (n)
n→∞ g (n)
Jeżeli lim
= 0, to f (n) = o(g (n)).
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT
Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
Notacja ”O-duże”
DEFINICJA
Mówimy, że
f (n) = O(g (n)),
gdy istnieją liczby c ∈ R, c > 0 i n0 ∈ N takie, że
f (n) ¬ cg (n)
dla wszystkich liczb naturalnych n ­ n0 .
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT
Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
Notacja ”O-duże”
DEFINICJA
Mówimy, że
f (n) = O(g (n)),
gdy istnieją liczby c ∈ R, c > 0 i n0 ∈ N takie, że
f (n) ¬ cg (n)
dla wszystkich liczb naturalnych n ­ n0 . Mówimy wówczas, że f
jest co najwyżej rzędu g przy n dążącym do nieskończoności.
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT
Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
Notacja ”O-duże”
DEFINICJA
Mówimy, że
f (n) = O(g (n)),
gdy istnieją liczby c ∈ R, c > 0 i n0 ∈ N takie, że
f (n) ¬ cg (n)
dla wszystkich liczb naturalnych n ­ n0 . Mówimy wówczas, że f
jest co najwyżej rzędu g przy n dążącym do nieskończoności.
TWIERDZENIE
f (n)
n→∞ g (n)
Jeżeli lim
= k i k ∈ h0, +∞), to f(n)=O(g(n)).
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT
Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
Własności notacji ”O-duże”
TWIERDZENIE
1 Jeżeli f (n) = O(g (n)) i c > 0,
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT
Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
Własności notacji ”O-duże”
TWIERDZENIE
1 Jeżeli f (n) = O(g (n)) i c > 0, to cf (n) = O(g (n)).
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT
Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
Własności notacji ”O-duże”
TWIERDZENIE
1 Jeżeli f (n) = O(g (n)) i c > 0, to cf (n) = O(g (n)).
2
Jeżeli f (n) = O(g (n)) i h(n) = O(g (n)),
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT
Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
Własności notacji ”O-duże”
TWIERDZENIE
1 Jeżeli f (n) = O(g (n)) i c > 0, to cf (n) = O(g (n)).
2
Jeżeli f (n) = O(g (n)) i h(n) = O(g (n)), to
f (n) + h(n) = O(g (n)).
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT
Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
Własności notacji ”O-duże”
TWIERDZENIE
1 Jeżeli f (n) = O(g (n)) i c > 0, to cf (n) = O(g (n)).
2
Jeżeli f (n) = O(g (n)) i h(n) = O(g (n)), to
f (n) + h(n) = O(g (n)).
3
Jeżeli f (n) = O(g (n)) i h(n) = O(z(n)),
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT
Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
Własności notacji ”O-duże”
TWIERDZENIE
1 Jeżeli f (n) = O(g (n)) i c > 0, to cf (n) = O(g (n)).
2
Jeżeli f (n) = O(g (n)) i h(n) = O(g (n)), to
f (n) + h(n) = O(g (n)).
3
Jeżeli f (n) = O(g (n)) i h(n) = O(z(n)), to
f (n) · h(n) = O(g (n) · z(n)).
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT
Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
Własności notacji ”O-duże”
TWIERDZENIE
1 Jeżeli f (n) = O(g (n)) i c > 0, to cf (n) = O(g (n)).
2
Jeżeli f (n) = O(g (n)) i h(n) = O(g (n)), to
f (n) + h(n) = O(g (n)).
3
Jeżeli f (n) = O(g (n)) i h(n) = O(z(n)), to
f (n) · h(n) = O(g (n) · z(n)).
4
Jeżeli f (n) = O(g (n)) i g (n) = O(z(n)),
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT
Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
Własności notacji ”O-duże”
TWIERDZENIE
1 Jeżeli f (n) = O(g (n)) i c > 0, to cf (n) = O(g (n)).
2
Jeżeli f (n) = O(g (n)) i h(n) = O(g (n)), to
f (n) + h(n) = O(g (n)).
3
Jeżeli f (n) = O(g (n)) i h(n) = O(z(n)), to
f (n) · h(n) = O(g (n) · z(n)).
4
Jeżeli f (n) = O(g (n)) i g (n) = O(z(n)), to
f (n) = O(z(n)).
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT
Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
Własności notacji ”O-duże”
TWIERDZENIE
1 Jeżeli f (n) = O(g (n)) i c > 0, to cf (n) = O(g (n)).
2
Jeżeli f (n) = O(g (n)) i h(n) = O(g (n)), to
f (n) + h(n) = O(g (n)).
3
Jeżeli f (n) = O(g (n)) i h(n) = O(z(n)), to
f (n) · h(n) = O(g (n) · z(n)).
4
Jeżeli f (n) = O(g (n)) i g (n) = O(z(n)), to
f (n) = O(z(n)).
5
Jeżeli f (n) = O(g (n)) i h(n) = O(z(n)),
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT
Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
Własności notacji ”O-duże”
TWIERDZENIE
1 Jeżeli f (n) = O(g (n)) i c > 0, to cf (n) = O(g (n)).
2
Jeżeli f (n) = O(g (n)) i h(n) = O(g (n)), to
f (n) + h(n) = O(g (n)).
3
Jeżeli f (n) = O(g (n)) i h(n) = O(z(n)), to
f (n) · h(n) = O(g (n) · z(n)).
4
Jeżeli f (n) = O(g (n)) i g (n) = O(z(n)), to
f (n) = O(z(n)).
5
Jeżeli f (n) = O(g (n)) i h(n) = O(z(n)), to
f (n) + h(n) = O(max{g (n), z(n)}),
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT
Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
Własności notacji ”O-duże”
TWIERDZENIE
1 Jeżeli f (n) = O(g (n)) i c > 0, to cf (n) = O(g (n)).
2
Jeżeli f (n) = O(g (n)) i h(n) = O(g (n)), to
f (n) + h(n) = O(g (n)).
3
Jeżeli f (n) = O(g (n)) i h(n) = O(z(n)), to
f (n) · h(n) = O(g (n) · z(n)).
4
Jeżeli f (n) = O(g (n)) i g (n) = O(z(n)), to
f (n) = O(z(n)).
5
Jeżeli f (n) = O(g (n)) i h(n) = O(z(n)), to
f (n) + h(n) = O(max{g (n), z(n)}),
f (n) + h(n) = O(g (n) + z(n)).
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT
Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
Notacja asymptotyczna Θ
DEFINICJA
Mówimy, że f (n) = Θ(g (n)), gdy istnieją c1 , c2 ∈ R,
c1 > 0, c2 > 0, n0 ∈ N, takie że
c1 g (n) ¬ f (n) ¬ c2 g (n)
dla wszystkich liczb naturalnych n ­ n0 .
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT
Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
Notacja asymptotyczna Θ
DEFINICJA
Mówimy, że f (n) = Θ(g (n)), gdy istnieją c1 , c2 ∈ R,
c1 > 0, c2 > 0, n0 ∈ N, takie że
c1 g (n) ¬ f (n) ¬ c2 g (n)
dla wszystkich liczb naturalnych n ­ n0 . Mówimy wtedy, że g (n)
jest asymptotycznie dokładnym oszacowaniem funkcji f (n) lub że
f jest dokłanie rzędu g przy n dążącym do nieskończoności.
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT
Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
Notacja asymptotyczna Θ
DEFINICJA
Mówimy, że f (n) = Θ(g (n)), gdy istnieją c1 , c2 ∈ R,
c1 > 0, c2 > 0, n0 ∈ N, takie że
c1 g (n) ¬ f (n) ¬ c2 g (n)
dla wszystkich liczb naturalnych n ­ n0 . Mówimy wtedy, że g (n)
jest asymptotycznie dokładnym oszacowaniem funkcji f (n) lub że
f jest dokłanie rzędu g przy n dążącym do nieskończoności.
TWIERDZENIE
f (n)
n→∞ g (n)
Jeżeli lim
= k i k ∈ (0, +∞), to f(n)=Θ(g (n)).
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT
Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
Notacja asymptotyczna ω
DEFINICJA
Mówimy, że f (n) = ω(g (n)), gdy dla dowolnej stałej c ∈ R, c > 0
istnieje n0 ∈ N, takie że
cg (n) ¬ f (n)
dla wszystkich liczb naturalnych n ­ n0 .
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT
Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
Notacja asymptotyczna ω
DEFINICJA
Mówimy, że f (n) = ω(g (n)), gdy dla dowolnej stałej c ∈ R, c > 0
istnieje n0 ∈ N, takie że
cg (n) ¬ f (n)
dla wszystkich liczb naturalnych n ­ n0 .
TWIERDZENIE
f (n)
n→∞ g (n)
Jeżeli lim
= +∞, to f (n) = ω(g (n)).
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT
Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
Notacja asymptotyczna Ω
DEFINICJA
Mówimy, że f (n) = Ω(g (n)), gdy istnieją c ∈ R, c > 0, n0 ∈ N,
takie że
cg (n) ¬ f (n)
dla wszystkich liczb naturalnych n ­ n0 . Mówimy wówczas, że f
jest co najmniej rzędu g przy n dążącym do nieskończoności.
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT
Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
Notacja asymptotyczna Ω
DEFINICJA
Mówimy, że f (n) = Ω(g (n)), gdy istnieją c ∈ R, c > 0, n0 ∈ N,
takie że
cg (n) ¬ f (n)
dla wszystkich liczb naturalnych n ­ n0 . Mówimy wówczas, że f
jest co najmniej rzędu g przy n dążącym do nieskończoności.
TWIERDZENIE
Jeżeli lim gf (n)
= k gdzie k ∈ (0, +∞) lub k = +∞,
n→∞ (n)
to f(n)=Ω(g (n)).
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT
Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
Podstawowe zależności między notacjami
Jeżeli f (n)=o(g (n)), to f (n) = O(g (n)).
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT
Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
Podstawowe zależności między notacjami
Jeżeli f (n)=o(g (n)), to f (n) = O(g (n)).
Jeżeli f (n) = ω(g (n)), to f (n) = Ω(g (n)).
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT
Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
Podstawowe zależności między notacjami
Jeżeli f (n)=o(g (n)), to f (n) = O(g (n)).
Jeżeli f (n) = ω(g (n)), to f (n) = Ω(g (n)).
f (n) = Ω(g (n)) i f (n) = O(g (n)) wtedy i tylko wtedy, gdy
f (n) = Θ(g (n)).
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT
Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
Warto zapamiętać
Można wykazać, że
2
ak · nk + ak−1 · nk−1 + ... + a1 · n + a0 = θ(nk ), gdzie ai ∈ R,
i = 0, 1, ..., k, ak > 0, k ∈ N;
√
(lg n)m = o( k n); m, k ∈ N;
3
nk = o(an ); k ∈ N, a ∈ R, a > 1;
4
an = o(n!);
5
n! = o(nn ).
1
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT
Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
TWIERDZENIE
Niech dane będą liczby a, b ∈ R, m, n ∈ N, a ¬ m − 1 < n + 1 ¬ b
oraz funkcja ciągła f : [a, b] → R+ .
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT
Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
TWIERDZENIE
Niech dane będą liczby a, b ∈ R, m, n ∈ N, a ¬ m − 1 < n + 1 ¬ b
oraz funkcja ciągła f : [a, b] → R+ . Wówczas
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT
Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
TWIERDZENIE
Niech dane będą liczby a, b ∈ R, m, n ∈ N, a ¬ m − 1 < n + 1 ¬ b
oraz funkcja ciągła f : [a, b] → R+ . Wówczas
1
jeżeli f jest funkcją rosnącą to
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT
Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
TWIERDZENIE
Niech dane będą liczby a, b ∈ R, m, n ∈ N, a ¬ m − 1 < n + 1 ¬ b
oraz funkcja ciągła f : [a, b] → R+ . Wówczas
1
jeżeli f jest funkcją rosnącą to
Rn
m−1
f (x)dx ¬
n
P
f (k) ¬
k=m
n+1
R
f (x)dx
m
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT
Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
TWIERDZENIE
Niech dane będą liczby a, b ∈ R, m, n ∈ N, a ¬ m − 1 < n + 1 ¬ b
oraz funkcja ciągła f : [a, b] → R+ . Wówczas
1
jeżeli f jest funkcją rosnącą to
Rn
m−1
2
f (x)dx ¬
n
P
f (k) ¬
k=m
n+1
R
f (x)dx
m
jeżeli f jest funkcją malejącą to
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT
Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
TWIERDZENIE
Niech dane będą liczby a, b ∈ R, m, n ∈ N, a ¬ m − 1 < n + 1 ¬ b
oraz funkcja ciągła f : [a, b] → R+ . Wówczas
1
jeżeli f jest funkcją rosnącą to
Rn
f (x)dx ¬
f (k) ¬
k=m
m−1
2
n
P
n+1
R
f (x)dx
m
jeżeli f jest funkcją malejącą to
n+1
R
m
f (x)dx ¬
n
P
k=m
f (k) ¬
Rn
f (x)dx
m−1
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT
Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
DEFINICJA
Funkcją podłogi nazywamy funkcję R 3 x 7→ bxc ∈ Z
przyporządkowującą liczbie rzeczywistej x największą liczbę
całkowitą, nie większą niż x.
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT
Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
DEFINICJA
Funkcją podłogi nazywamy funkcję R 3 x 7→ bxc ∈ Z
przyporządkowującą liczbie rzeczywistej x największą liczbę
całkowitą, nie większą niż x.
DEFINICJA
Funkcją sufitu nazywamy funkcję R 3 x 7→ dxe ∈ Z
przyporządkowującą liczbie rzeczywistej x najmniejszą liczbę
całkowitą, nie mniejszą niż x.
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT
Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
Podstawowe własności
TWIERDZENIE
Dla dowolnych liczb x ∈ R oraz n, a, b ∈ Z takich, że a 6= 0 i b 6= 0
zachodzą następujące zależności:
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT
Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
Podstawowe własności
TWIERDZENIE
Dla dowolnych liczb x ∈ R oraz n, a, b ∈ Z takich, że a 6= 0 i b 6= 0
zachodzą następujące zależności:
1
x − 1 < bxc ¬ x ¬ dxe < x + 1.
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT
Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
Podstawowe własności
TWIERDZENIE
Dla dowolnych liczb x ∈ R oraz n, a, b ∈ Z takich, że a 6= 0 i b 6= 0
zachodzą następujące zależności:
1
x − 1 < bxc ¬ x ¬ dxe < x + 1.
2
bxc = n wtedy i tylko wtedy, gdy n ¬ x < n + 1.
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT
Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
Podstawowe własności
TWIERDZENIE
Dla dowolnych liczb x ∈ R oraz n, a, b ∈ Z takich, że a 6= 0 i b 6= 0
zachodzą następujące zależności:
1
x − 1 < bxc ¬ x ¬ dxe < x + 1.
2
bxc = n wtedy i tylko wtedy, gdy n ¬ x < n + 1.
3
dxe = n wtedy i tylko wtedy, gdy n − 1 < x ¬ n.
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT
Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
Podstawowe własności
TWIERDZENIE
Dla dowolnych liczb x ∈ R oraz n, a, b ∈ Z takich, że a 6= 0 i b 6= 0
zachodzą następujące zależności:
1
x − 1 < bxc ¬ x ¬ dxe < x + 1.
2
bxc = n wtedy i tylko wtedy, gdy n ¬ x < n + 1.
3
dxe = n wtedy i tylko wtedy, gdy n − 1 < x ¬ n.
4
n
2
+
n
2
= n.
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT
Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
Podstawowe własności
TWIERDZENIE
Dla dowolnych liczb x ∈ R oraz n, a, b ∈ Z takich, że a 6= 0 i b 6= 0
zachodzą następujące zależności:
1
x − 1 < bxc ¬ x ¬ dxe < x + 1.
2
bxc = n wtedy i tylko wtedy, gdy n ¬ x < n + 1.
3
dxe = n wtedy i tylko wtedy, gdy n − 1 < x ¬ n.
4
n
5
ddn/ae /be = dn/(ab)e .
2
+
n
2
= n.
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT
Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
Podstawowe własności
TWIERDZENIE
Dla dowolnych liczb x ∈ R oraz n, a, b ∈ Z takich, że a 6= 0 i b 6= 0
zachodzą następujące zależności:
1
x − 1 < bxc ¬ x ¬ dxe < x + 1.
2
bxc = n wtedy i tylko wtedy, gdy n ¬ x < n + 1.
3
dxe = n wtedy i tylko wtedy, gdy n − 1 < x ¬ n.
4
n
5
ddn/ae /be = dn/(ab)e .
6
bbn/ac /bc = bn/(ab)c .
2
+
n
2
= n.
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT
Notacje asymptotyczne
Szacowanie sum za pomocą całek
Funkcje całkowitoliczbowe
MOŻNA SIĘ OBUDZIĆ! :)
MATEMATYKA DYSKRETNA - MAT