Ile rozwiązań może mieć układ równań?

Ile rozwiązań może mieć
układ równań?
Opracowanie: Beata Szabat
Ile rozwiązań może mieć układ równań?
Przypomnienie.
Przy rozwiązywaniu równań liniowych z jedną niewiadomą
możemy wyróżnić następujące przypadki:
1.
równanie spełnia każda liczba- równanie jest wtedy
nazywane tożsamościowym i ma nieskończenie wiele
rozwiązań;
2.
równanie nie spełnia żadna liczba- równanie jest
nazywane sprzecznym i nie ma rozwiązania;
3.
równanie spełnia jedna liczba – równanie jest nazywane
oznaczonym i ma jedno rozwiązanie.
Ile rozwiązań może mieć układ równań?
Przyjrzyj się następującemu układowi:
x  y  1

x  y  2
Czy znasz takie liczby, których różnica jednocześnie jest równa
1 i równa 2?
Oczywiście nie ma takiej pary liczb, która spełniałaby ten układ.
Taki układ nie ma rozwiązania i go nazywamy sprzecznym.
Ile rozwiązań może mieć układ równań?
Przyjrzyj się następującemu układowi:
x  y  2

3 x  3 y  6
Czy widzisz związek między tymi równaniami?
Każda para liczb, która spełnia pierwsze równanie
spełnia również równanie drugie.
Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań i nazywa się
układem nieoznaczonym.
Uwaga!
Nie oznacza to jednak, że każda para spełnia ten
układ.
Ile rozwiązań może mieć układ równań?
Przykłady rozwiązań układu:
x  y  2

3 x  3 y  6
Niech x=1, to 1-y=2, stąd y=-1
x=5, to 5-y=2, stąd y=3
y=0, to x-0=2, stąd x=2.
Zauważ, że dla dowolnie wybranej
niewiadomej, drugą spełniającą równanie
można odpowiednio dobrać
Ile rozwiązań może mieć układ równań?
Rozwiązaniami układu
są między innymi:
x  1

 y  1
x  5

y  3
y  0

x  2
x  y  2

3 x  3 y  6
Ile rozwiązań może mieć układ równań?
Jak rozpoznać, że układ równań jest sprzeczny?
Po czym rozpoznać, że układ jest nieoznaczony?
Rozwiązanie układów:
 x  y  2 / (3)

x

y

1
/

(

1
)

3 x  3 y  6

x  y  2
  x  y  1

x  y  2
0 1
Równanie sprzeczne
 3 x  3 y  6

3 x  3 y  6
00
Równanie nieoznaczone
Ile rozwiązań może mieć układ równań?
Podsumowanie:
Ze względu na ilość rozwiązań wyróżniamy
układy:
- oznaczone- ma jedno rozwiązanie;
- nieoznaczone- ma nieskończenie wiele
rozwiązań;
- sprzeczne – nie mają rozwiązania.
Zadania