Liczby pierwsze Fermata
advertisement
Liczby pierwsze Fermata Witold Tomaszewski Instytut Matematyki Politechniki l¡skiej e-mail: [email protected] Pierre de Fermat Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 2 / 13 Pierre de Fermat Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 3 / 13 Pierre de Fermat ur. 17 sierpnia 1601 w Beaumont-de-Lomagne Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 3 / 13 Pierre de Fermat Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 4 / 13 Pierre de Fermat zm. 12 stycznia 1665 w Castres Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 4 / 13 Pierre de Fermat Wikipedia: Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 5 / 13 Pierre de Fermat Wikipedia: Matematyk (samouk) francuski, z wyksztaªcenia prawnik i lingwista Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 5 / 13 Pierre de Fermat Wikipedia: Matematyk (samouk) francuski, z wyksztaªcenia prawnik i lingwista Od 1631 radca parlamentu (ówczesna nazwa s¡du) w Tuluzie Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 5 / 13 Pierre de Fermat Wikipedia: Matematyk (samouk) francuski, z wyksztaªcenia prawnik i lingwista Od 1631 radca parlamentu (ówczesna nazwa s¡du) w Tuluzie Wi¦kszo±¢ jego prac opublikowaª dopiero po jego ±mierci syn (1679). Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 5 / 13 Pierre de Fermat Wikipedia: Matematyk (samouk) francuski, z wyksztaªcenia prawnik i lingwista Od 1631 radca parlamentu (ówczesna nazwa s¡du) w Tuluzie Wi¦kszo±¢ jego prac opublikowaª dopiero po jego ±mierci syn (1679). Dokonaª wielu odkry¢ w teorii liczb Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 5 / 13 Pierre de Fermat Wikipedia: Matematyk (samouk) francuski, z wyksztaªcenia prawnik i lingwista Od 1631 radca parlamentu (ówczesna nazwa s¡du) w Tuluzie Wi¦kszo±¢ jego prac opublikowaª dopiero po jego ±mierci syn (1679). Dokonaª wielu odkry¢ w teorii liczb Sformuªowaª sªynne wielkie twierdzenie Fermata Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 5 / 13 Pierre de Fermat Wikipedia: Matematyk (samouk) francuski, z wyksztaªcenia prawnik i lingwista Od 1631 radca parlamentu (ówczesna nazwa s¡du) w Tuluzie Wi¦kszo±¢ jego prac opublikowaª dopiero po jego ±mierci syn (1679). Dokonaª wielu odkry¢ w teorii liczb Sformuªowaª sªynne wielkie twierdzenie Fermata Przed Kartezjuszem opracowaª i stosowaª metod¦ wspóªrz¦dnych w geometrii Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 5 / 13 Pierre de Fermat Wikipedia: Matematyk (samouk) francuski, z wyksztaªcenia prawnik i lingwista Od 1631 radca parlamentu (ówczesna nazwa s¡du) w Tuluzie Wi¦kszo±¢ jego prac opublikowaª dopiero po jego ±mierci syn (1679). Dokonaª wielu odkry¢ w teorii liczb Sformuªowaª sªynne wielkie twierdzenie Fermata Przed Kartezjuszem opracowaª i stosowaª metod¦ wspóªrz¦dnych w geometrii Wykazaª, »e wszystkie krzywe drugiego stopnia da si¦ uzyska¢ przez odpowiednie przecinanie pªaszczyzn¡ powierzchni sto»ka Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 5 / 13 Pierre de Fermat Wikipedia: Matematyk (samouk) francuski, z wyksztaªcenia prawnik i lingwista Od 1631 radca parlamentu (ówczesna nazwa s¡du) w Tuluzie Wi¦kszo±¢ jego prac opublikowaª dopiero po jego ±mierci syn (1679). Dokonaª wielu odkry¢ w teorii liczb Sformuªowaª sªynne wielkie twierdzenie Fermata Przed Kartezjuszem opracowaª i stosowaª metod¦ wspóªrz¦dnych w geometrii Wykazaª, »e wszystkie krzywe drugiego stopnia da si¦ uzyska¢ przez odpowiednie przecinanie pªaszczyzn¡ powierzchni sto»ka Podaª metod¦ znajdowania ekstremum funkcji Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 5 / 13 Pierre de Fermat Wikipedia: Matematyk (samouk) francuski, z wyksztaªcenia prawnik i lingwista Od 1631 radca parlamentu (ówczesna nazwa s¡du) w Tuluzie Wi¦kszo±¢ jego prac opublikowaª dopiero po jego ±mierci syn (1679). Dokonaª wielu odkry¢ w teorii liczb Sformuªowaª sªynne wielkie twierdzenie Fermata Przed Kartezjuszem opracowaª i stosowaª metod¦ wspóªrz¦dnych w geometrii Wykazaª, »e wszystkie krzywe drugiego stopnia da si¦ uzyska¢ przez odpowiednie przecinanie pªaszczyzn¡ powierzchni sto»ka Podaª metod¦ znajdowania ekstremum funkcji Jego prace stworzyªy te» podstawy pod pó¹niejszy rozwój rachunku prawdopodobie«stwa Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 5 / 13 Osi¡gni¦cia Fermata liczby Fermata Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 6 / 13 Osi¡gni¦cia Fermata liczby Fermata twierdzenie Fermata Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 6 / 13 Osi¡gni¦cia Fermata liczby Fermata twierdzenie Fermata algorytm Fermata Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 6 / 13 Osi¡gni¦cia Fermata liczby Fermata twierdzenie Fermata algorytm Fermata zasada Fermata Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 6 / 13 Osi¡gni¦cia Fermata liczby Fermata twierdzenie Fermata algorytm Fermata zasada Fermata Maªe twierdzenie Fermata Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 6 / 13 Osi¡gni¦cia Fermata liczby Fermata twierdzenie Fermata algorytm Fermata zasada Fermata Maªe twierdzenie Fermata Wielkie twierdzenie Fermata Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 6 / 13 Liczby pierwsze Denicja Liczb¦ naturaln¡ p nazywamy pierwsz¡ je±li ma dokªadnie 2 dzielniki 1 i p. Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 7 / 13 Liczby pierwsze Denicja Liczb¦ naturaln¡ p nazywamy pierwsz¡ je±li ma dokªadnie 2 dzielniki 1 i p. Przykªady 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 , , , , s¡ liczbami pierwszymi, a 4 6 8 9 12 nie. Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 7 / 13 Liczby pierwsze Denicja Liczb¦ naturaln¡ p nazywamy pierwsz¡ je±li ma dokªadnie 2 dzielniki 1 i p. Przykªady 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 , , , , s¡ liczbami pierwszymi, a 4 6 8 9 12 nie. Stwierdzenie n+1 Je±li liczba 2 jest pierwsza to n = 2m . Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 7 / 13 Liczby Fermata Denicja Liczby postaci 2 m 2 +1 nazywamy liczbami Fermata Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 8 / 13 Liczby Fermata Denicja Liczby postaci 2 Oznaczmy F m 2 m= 2 +1 m 2 nazywamy liczbami Fermata + 1. Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 8 / 13 Liczby Fermata Denicja Liczby postaci 2 Oznaczmy F m 2 m= 2 +1 m 2 nazywamy liczbami Fermata + 1. Fermat policzyª (i udowodniª): Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 8 / 13 Liczby Fermata Denicja Liczby postaci 2 Oznaczmy F m 2 m= 2 +1 m 2 nazywamy liczbami Fermata + 1. Fermat policzyª (i udowodniª): m = 0, F0 0 = 22 + 1 = 21 + 1 = 3 - pierwsza Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 8 / 13 Liczby Fermata Denicja Liczby postaci 2 Oznaczmy F m 2 m= 2 +1 m 2 nazywamy liczbami Fermata + 1. Fermat policzyª (i udowodniª): m m = 0, = 1, F0 F1 0 = 22 + 1 = 21 + 1 = 3 21 =2 + 1 = 22 + 1 = 5 - pierwsza - pierwsza Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 8 / 13 Liczby Fermata Denicja Liczby postaci 2 Oznaczmy F m 2 m= 2 +1 m 2 nazywamy liczbami Fermata + 1. Fermat policzyª (i udowodniª): m m m = 0, = 1, = 2, F0 F1 F2 0 = 22 + 1 = 21 + 1 = 3 21 + 1 = 22 + 1 = 5 22 4 =2 =2 - pierwsza - pierwsza + 1 = 2 + 1 = 17 - pierwsza Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 8 / 13 Liczby Fermata Denicja Liczby postaci 2 Oznaczmy F m 2 m= 2 +1 m 2 nazywamy liczbami Fermata + 1. Fermat policzyª (i udowodniª): m m m m = 0, = 1, = 2, = 3, F0 F1 F2 F3 0 = 22 + 1 = 21 + 1 = 3 21 + 1 = 22 + 1 = 5 22 4 =2 =2 23 =2 - pierwsza - pierwsza + 1 = 2 + 1 = 17 8 - pierwsza + 1 = 2 + 1 = 257 - pierwsza Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 8 / 13 Liczby Fermata Denicja Liczby postaci 2 Oznaczmy F m 2 m= 2 +1 m 2 nazywamy liczbami Fermata + 1. Fermat policzyª (i udowodniª): m m m m m = 0, = 1, = 2, = 3, = 4, F0 F1 F2 F3 F4 0 = 22 + 1 = 21 + 1 = 3 21 + 1 = 22 + 1 = 5 22 4 =2 =2 23 =2 24 =2 - pierwsza - pierwsza + 1 = 2 + 1 = 17 8 - pierwsza + 1 = 2 + 1 = 257 +1=2 16 - pierwsza + 1 = 65537 - pierwsza Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 8 / 13 Liczby Fermata Denicja Liczby postaci 2 Oznaczmy F m 2 m= 2 +1 m 2 nazywamy liczbami Fermata + 1. Fermat policzyª (i udowodniª): m m m m m m = 0, = 1, = 2, = 3, = 4, = 5, F0 F1 F2 F3 F4 F5 0 = 22 + 1 = 21 + 1 = 3 21 + 1 = 22 + 1 = 5 22 4 =2 =2 23 =2 24 =2 25 =2 - pierwsza - pierwsza + 1 = 2 + 1 = 17 8 - pierwsza + 1 = 2 + 1 = 257 - pierwsza +1=2 16 + 1 = 65537 +1=2 32 + 1 = 4294967297 - pierwsza - Fermat nie wiedziaª Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 8 / 13 Przypuszczenie Fermata Fermat wysnuª takie przypuszczenie: Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 9 / 13 Przypuszczenie Fermata Fermat wysnuª takie przypuszczenie: Dla ka»dego m liczba F m= 2 m 2 +1 jest pierwsza. Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 9 / 13 Rozwi¡zanie Eulera Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 10 / 13 Rozwi¡zanie Eulera Rozwi¡zanie podaª matematyk szwajcarski Leonhard Euler (1707-1783) Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 10 / 13 Rozwi¡zanie Eulera Twierdzenie (L. Euler) Liczba F5 5 = 22 + 1 = 232 + 1 = 4294967297 nie jest pierwsza. Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 11 / 13 Rozwi¡zanie Eulera Twierdzenie (L. Euler) Liczba F5 F5 5 = 22 + 1 = 232 + 1 = 4294967297 nie jest pierwsza. = 4294967297 = 641 · 6700417 Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 11 / 13 Kryterium Theophile'a Pépina Oznaczmy n m = Fm2−1 = 22 −1 Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 12 / 13 Kryterium Theophile'a Pépina Oznaczmy n m = Fm2−1 = 22 −1 Twierdzenie (T. Pépin, 1887) Liczba F m n+1 jest pierwsza wtedy i tylko wtedy gdy liczba 3 m podzielna przez F jest . Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 12 / 13 Kryterium Theophile'a Pépina Oznaczmy n m = Fm2−1 = 22 −1 Twierdzenie (T. Pépin, 1887) Liczba F m m podzielna przez F Przykªad n+1 jest pierwsza wtedy i tylko wtedy gdy liczba 3 jest . We¹my liczb¦ F2 2 = 22 + 1 = 24 + 1 = 17. Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 12 / 13 Kryterium Theophile'a Pépina Oznaczmy n m = Fm2−1 = 22 −1 Twierdzenie (T. Pépin, 1887) Liczba F m m podzielna przez F Przykªad n+1 jest pierwsza wtedy i tylko wtedy gdy liczba 3 We¹my liczb¦ F2 Obliczmy n jest . = Fm2−1 = 16 2 2 = 22 + 1 = 24 + 1 = 17. = 8. Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 12 / 13 Kryterium Theophile'a Pépina Oznaczmy n m = Fm2−1 = 22 −1 Twierdzenie (T. Pépin, 1887) Liczba F m m podzielna przez F Przykªad 8 jest . We¹my liczb¦ F2 Obliczmy n 3 n+1 jest pierwsza wtedy i tylko wtedy gdy liczba 3 = Fm2−1 = 16 2 2 = 22 + 1 = 24 + 1 = 17. = 8. + 1 = 812 + 1 = 6562 = 17 · 386. Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 12 / 13 Kryterium Theophile'a Pépina Oznaczmy n m = Fm2−1 = 22 −1 Twierdzenie (T. Pépin, 1887) Liczba F m m podzielna przez F Przykªad 8 jest . We¹my liczb¦ F2 Obliczmy n 3 n+1 jest pierwsza wtedy i tylko wtedy gdy liczba 3 = Fm2−1 = 16 2 2 = 22 + 1 = 24 + 1 = 17. = 8. + 1 = 812 + 1 = 6562 = 17 · 386. A wi¦c zgodnie z kryterium T. Pépine'a liczba F2 jest pierwsza. Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 12 / 13 Pytanie otwarte Wiadomo, »e dla 5 ≤ m ≤ 19 m liczby F nie s¡ pierwsze. Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 13 / 13 Pytanie otwarte Wiadomo, »e dla 5 ≤ m ≤ 19 m liczby F nie s¡ pierwsze. m Nieznane s¡ »adne liczby pierwsze Fermata oprócz F dla m = 0, 1, 2, 3, 4. Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 13 / 13 Pytanie otwarte Wiadomo, »e dla 5 ≤ m ≤ 19 m liczby F nie s¡ pierwsze. m Nieznane s¡ »adne liczby pierwsze Fermata oprócz F dla m = 0, 1, 2, 3, 4. Pytanie Czy liczb pierwszych Fermata jest sko«czenie czy niesko«czenie wiele? Witold Tomaszewski (Instytut Matematyki Politechniki Liczbyl¡skieje-mail: pierwsze Fermata [email protected]) 13 / 13