Liczby zespolone - Zespół Szkół Nr 2 im. Mikołaja Reja w Kraśniku

Tomasz Gr bski
Liczby zespolone
Kra nik 2001
-
Spis Tre ci:
Wst p ……………………………………………………………………….
3
Podstawowe wiadomo ci o liczbie zespolonej ……………………………..
4
Interpretacja geometryczna liczby zespolonej ……………………………...
4
Moduł liczby zespolonej. Liczby sprz one. ……………………………….
5
Posta trygonometryczna liczby zespolonej ………………………………..
7
Wzór de Moivre’a …………………………………………………………..
9
Pierwiastek stopnia n z liczby zespolonej ………………………………….
10
Rozwi zywanie równa kwadratowych w zbiorze liczb zespolonych ……..
12
Pierwiastek pierwotny n-tego stopnia z jedno ci …………………………...
13
Zadania ……………………………………………………………………... 14
Odpowiedzi do zada ………………………………………………………. 18
Bibliografia ………………………………………………………...……….
2
23
-
Wst p
Jestem nauczycielem matematyki i informatyki w Zespole Szkół Nr 2 im. Mikołaja Reja
w Kra niku. Pragn przedstawi Pa stwu referat dotycz cy liczb zespolonych. Zamierzeniem
moim było zebranie najwa niejszych wiadomo ci o tych liczbach, omówienie ich własno ci
oraz przedstawienie przykładowych zada z ich zastosowaniem. Jako uzupełnienie podałem
kilkadziesi t zada wraz z odpowiedziami.
Omówione w referacie zagadnienia osobi cie stosuj podczas kółka matematycznego
oraz jako dodatkowe lekcje w klasach o profilu matematyczno – fizycznym i informatycznym.
Ciesz si one du ym zainteresowaniem, rozwijaj wyobra ni uczniów i s pomocne w
przygotowaniu si do egzaminu na wy sze uczelnie.
Mam nadziej , e i Pa stwo wykorzystaj ten referat w swojej pracy jak równie Pa stwa
uczniowie.
Referat dost pny jest równie w formie elektronicznej na mojej stronie internetowej pod
adresem: www.matma.krasnik.com.pl.
Tomasz Gr bski
3
-
Podstawowe wiadomo ci o liczbie zespolonej
Liczb zespolon nazywamy wyra enie a + bi, gdzie a i b s liczbami rzeczywistymi , i2 = -1
Dla dowolnych liczb zespolonych (a + bi), i (c + di) mamy:
1. (a + bi) = (c + di) ⇔ a = c i b = d .
2. (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,
3. (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i,
4. (a + bi)·(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac - bd) + (ad + bc)i,
5. (a + bi) : (c + di) =
gdy i2 = -1
(ac + bd) + (bc - ad)i
c2 + d2
Wzór 5 otrzymamy mno c dzieln i dzielnik przez c – di
a + bi (a + bi)(c - di) ac + bd + (bc - ad)i
ac + bd
bc - ad
i
=
=
+ 2
+ 2
2
2
2
c + di (c + di)(c - di)
c +d
c +d
c + d2
przyjmuj c i2= -1
W zbiorze liczb zespolonych nie mo na okre li nierówno ci.
Poj cie pot gi o wykładniku naturalnym, zerowym i ujemnym liczby zespolonej okre lamy
tak samo jak pot g liczby rzeczywistej. Je li „z” jest liczb zespolon n, p i q liczb
naturaln , to:
z1 = z,
zn + 1 = zn · z,
z0 = 1,
z -n =
1
,
zn
z p · z q = z p + q,
z p : z q = z p – q,
(z p)q = z pq
Interpretacja geometryczna liczby zespolonej z = a + bi
rys. 1.
4
-
Mi dzy punktami płaszczyzny a liczbami zespolonymi zachodzi odpowiednio , na
mocy której punktowi M o współrz dnych (a,b) piszemy M (a,b) odpowiada liczba zespolona
a + bi i liczbie a + bi, gdzie a i b s
liczbami rzeczywistymi odpowiada punkt
o współrz dnych (a, b) rys. 1. Dla dowolnej liczby zespolonej z = a + bi liczby a i b
nazywamy odpowiednio jej cz ci rzeczywist i cz ci urojon . Oznaczamy je rez oraz
imz, zatem
re z = a, im z = b
Liczb zespolon i nazywamy jednostk urojon .
Liczby postaci bi, gdzie b jest liczb rzeczywist nazywamy liczbami urojonymi.
O OX nazywa si osi rzeczywist , o OY osi urojon .
Moduł liczby zespolonej. Liczby sprz one.
Wła ciwo ci modułu i liczb spr onych.
rys. 2.
Definicja
Modułem liczby zespolonej z = a + bi nazywamy liczb rzeczywist nieujemn i oznaczamy
j
z = a + bi = a 2 + b 2
Moduł liczby z równa si odległo ci punktu z od pocz tku układu współrz dnych.
Wniosek: Dla ka dego z jest
rez ≤ z ,
imz ≤ z
Przykład
Oblicz moduł liczby zespolonej z = 3 – 4i
z = 3 - 4i = 9 + 16 = 5
5
Niech z = a + bi
Przyjmijmy oznaczenie
z = a – bi
(1)
Definicja
Liczb z okre lon wzorem (1) nazywamy liczb sprz on do danej liczby z.
rys. 3.
Liczby z i z s symetryczne wzgl dem osi rzeczywistej.
Własno ci:
Dla ka dej liczby zespolonej z :
z = z
z ·z = z
2
Twierdzenie
Dla dowolnych liczb zespolonych z1 i z2 jest
z1 ± z 2 = z1 ± z 2 ;
z1 ⋅ z 2 = z1 · z 2 ;
Twierdzenie
Dla dowolnych liczb zespolonych z1 i z2
a)
z 1 ⋅ z 2 = z1 · z 2 ,
b)
z
z1
= 1 ,
z2
z2
c)
z1 + z 2 ≤ z1 + z 2 ,
d) z1 + z 2 ≥ z1 - z 2 .
6
z1
z2
=
z1
z2
z2 ≠ 0
-
Posta trygonometryczna liczby zespolonej
Definicja
Argumentem liczby zespolonej z = a + bi
0 nazywamy ka d liczb rzeczywist
okre lon równaniami:
cos
=
a
i sin
z
b
z
=
Argument liczby zespolonej z oznaczamy arg z. Jest ona miar k ta, jaki tworzy wektor Oz
z osi rzeczywist .
rys. 4.
Ka da liczba z ≠ 0 ma niesko czenie wiele argumentów, je eli ϕ jest jednym z nich, to
ka dy inny wyra a si wzorem
arg z = ϕ + 2kπ , k=0, ± 1, ± 2, …
Spo ród argumentów tej samej liczby dokładnie jeden spełnia warunek − π < ϕ ≤ π ;
nazywamy go argumentem głównym i oznaczamy Argz.
− π < Argz. ≤ π ∨ ϕ ∈ (0,2π
Je li liczba jest rzeczywista, to
Argz. =
0,
π
je eli
z>0
z<0
Argumentem liczby 0 nazywamy ka d liczb rzeczywist .
Przykład 1.
Dla liczby z = 1 − 3 i mamy
cos ϕ =
z = 1+ 3 = 2
(
)
arg 1 − 3i = −
π
3
+ 2kπ ,
1
− 3
, sin ϕ =
st d
2
2
(
)
k ∈ CArg 1 − 3i = −
π
3
Przykład 2.
Arg1=2k π ,
arg(-1)=(2k+1) π ,
argi =
7
π
2
+ 2kπ , k ∈ C
Twierdzenie
Ka da liczba zespolona z daje si przedstawi w postaci nast puj cej:
z = z (cos ϕ + i sin ϕ )
Zwanej postaci trygonometryczn liczby z.
Dowód: Je li z=0 to twierdzenie jest oczywiste.
Niech z=a+bi ≠ 0
wtedy
a
z = a2 + b2
a +b
2
2
b
+i
= a + bi
a + b2
2
c.n.d.
Przykład 3.
1=1(cos0+isin0), i = 1 cos
1 − i = 2 cos −
1 − 3i = 2 cos
π
4
π
+ i sin
2
+ i sin −
π
4
π
2
= 2 cos
π
4
− i sin
π
4
−π
−π
π
π
+ i sin
= 2 cos − i sin
3
3
3
3
Przykład 4.
Przedstawi w postaci trygonometrycznej liczb
z = 1 − cos α + i sin α gdzie 0 < α < 2π
z = (1 − cos α ) 2 + sin 2 α = 1 − 2 cos α + cos 2 α + sin 2 α = 2(1 − cos α ) = 2 sin
cos ϕ =
rez 1 − cos α
α
=
= sin ,
α
z
2
2 sin
2
st d ϕ =
π
2
−
α
2
sin ϕ =
α
2
imz
sin α
α
=
= cos ,
α
z
2
2 sin
2
+ 2kπ k ∈ C
1 − cos α + i sin α = 2 ⋅ sin
α
2
cos
π
2
−
α
2
+ i sin
π
2
−
α
2
Dwie liczby zespolone ró ne od zera s równe wtedy i tylko wtedy, gdy maj równe moduły
i ich argumenty ró ni si o całkowit wielokrotno
Twierdzenie
Dla dowolnych liczb zespolonych z1 i z2
1) arg( z1 ⋅ z 2 ) = arg z1 + arg z 2
8
2π .
2) arg
z1
= arg z1 − arg z 2
z2
3) arg
1
= − arg z
z
4) arg z k = k arg z k ∈ C.
Wzór de Moivre’a
Dla ka dej liczby rzeczywistej ϕ i ka dej liczby całkowitej n
(cos ϕ + i sin ϕ )n
= cos nϕ + i sin nϕ
(1)
Wzór de Moivre’a dla n naturalnego jest równowa ny wzorom:
cos nϕ = cos n ϕ −
sin nϕ =
n
1
n
2
cos n − 2 ϕ sin 2 ϕ +
cos n −1 ϕ sin ϕ −
n
3
n
4
cos n −4 ϕ sin 4 ϕ +
cos n −3 ϕ sin 3 ϕ +
które otrzymujemy stosuj c do lewej strony wzór Newtona na pot g dwumianu oraz
porównuj c cz ci rzeczywiste i urojone obu stron równo ci (1).
Stosuj c wzór (1) mo emy w prosty sposób otrzyma znane nam wzory
(cos ϕ + i sin ϕ )2 = cos 2ϕ + i sin 2ϕ = cos 2 ϕ + 2i sin ϕ cos ϕ + i 2 sin 2 ϕ
st d
cos 2ϕ = cos 2 ϕ − sin 2 ϕ bo i 2 = −1
sin 2ϕ = 2 sin ϕ cos ϕ
analogicznie
cos 3ϕ = cos 3 ϕ − 3 cos ϕ sin 2 ϕ
sin 3ϕ = 3 cos 2 ϕ sin ϕ − sin 3 ϕ
Przykład 1.
Korzystaj c ze wzoru Moivre’a oblicz
1
3
+i
2
2
Liczb z =
z =
20
1
3
+i
przedstawiamy w postaci trygonometrycznej
2
2
1
3
π
1 3
+ = 1, cos ϕ = , sin ϕ
, st d ϕ =
4 4
2
2
3
9
-
z = cos
z
10
π
3
+ i sin
= cos
π
π
3
+ i sin
3
20
π
= cos
3
20π
20π
= i sin
=
3
3
2
2π
2π
2π
1
3
= cos 6π + π + i sin 6π +
= cos
+ i sin
= − +i
3
3
3
3
2
2
Przykład 2.
Obliczy
(1 + i )
10
=
2 cos
= 32 cos 2π +
π
π
4
+ i sin
π
= 32(0 + i ) = 32i.
= 2 5 cos
4
+ i sin 2π +
2
10
π
2
10π
10π
+ i sin
=
4
4
= 32 cos
π
2
+ i sin
π
2
=
Przykład 3.
1
3
− −i
2
2
Obliczy
Niech z = −
−3
1
1
3
1 3
, | z |=
+ = 1 , cos = −
i sin = −
, st d
2
4 4
2
2
1
3
− −i
2
2
−3
2π
2π
= cos −
+ i sin −
3
3
= −
2π
3
−3
= cos 2π + i sin 2π = 1
Pierwiastek stopnia n z liczby zespolonej
Definicja
Ka d liczb zespolon w spełniaj c równanie
wn = z
n∈ N
nazywamy pierwiastkiem stopnia n z liczby zespolonej z i oznaczamy
n
z.
Twierdzenie
Istnieje dokładnie n ró nych pierwiastków n-tego stopnia z liczby zespolonej z ≠ 0 , które
oznaczamy przez wk, gdzie k = 0, 1, 2, 3, ..., k –1.
je eli
Z = |z|(cos +isin ) to
(A) Wk = n z cos
gdzie
n
ϕ + 2kπ
n
+ i sin
ϕ + 2kπ
n
k = 0, 1, ..., (n-1)
z oznacza pierwiastek arytmetyczny.
10
Przykład 1.
3
Obliczy
i.
Moduł liczby i równa si l, a jednym z jej argumentów jest liczba ϕ =
π
2
. W my l wzoru (A)
mamy
W0 = cos
π
+ i sin
3⋅ 2
π
=
3⋅ 2
3
1
+i
2
2
W1 = cos
5π
5π
3
1
+ i sin
= −
+i
6
6
2
2
W2 = cos
3π
3π
+ i sin
= −i.
2
2
Przykład 2.
−4
Obliczy
Poniewa |-4| = 4, a jednym z argumentów –4 jest
W0 = 2 cos
W1 = 2 cos
π
2
+ i sin
π
2
wi c
= 2i
3π
3π
+ i sin
= −2i.
2
2
Przykład 3.
Obliczy
3 − i = 2, argument
Poniewa
cos ϕ =
3 −i
3
3
2
spełnia równania
1
π
sin ϕ = − : wi c ϕ = −
2
6
zatem szukanymi pierwiastkami s liczby
W0 = 3 2 cos
π
18
− i sin
π
18
W1 = 3 2 cos
11π
11π
+ i sin
18
18
W3 = 3 2 cos
23π
23π
+ i sin
18
18
Pierwiastki drugiego stopnia dowolnej liczby zespolonej z = a + bi mo na równie
przedstawi w innej postaci tzw. kartezja skiej.
11
Posta kartezja ska pierwiastków drugiego stopnia
a2 + b2 + a
+E
2
W0 =
a2 + b2 − a
2
1 je eli b>0
W1 = - W0, gdzie E =
-1 je eli b<0
Rozwi zywanie równa kwadratowych w zbiorze liczb
zespolonych
Zajmiemy si równaniem kwadratowym o współczynnikach zespolonych
ax2 = bx + c = 0 a ≠ 0
Je eli współczynniki równania s liczbami rzeczywistymi i ∆ < 0 to przyjmuj c
otrzymujemy x1 =
−b−i −∆
2a
x2 =
−b+i −∆
2a
w tym przypadku pierwiastki x1 i x2 s liczbami sprz onymi.
Przykład 1.
Rozwi za równanie
x2 + 2ix + 3 = 0
∆ = (2i ) − 12 = −4 − 12 = −16
2
∆ = 4i
x1 =
− 2i − 4i
− 2i + 4i
= 3i , x 2 =
= i.
2
2
Przykład 2.
Rozwi za równanie
x2 + 2x + i = 0
∆ = 4 − 4i = 4(1 − i )
wi c
x1 = −1 − 1 − i ,
1− i =
x1 = −1 −
x 2 = −1 + 1 − i
2 +1
−i
2
2 +1
+i
2
2 −1
2
2 −1
2
12
∆ =i −∆
-
x 2 = −1 +
2 +1
−i
2
2 −1
2
Przykład 3.
Rozwi za równanie x2-4x+13=0
Poniewa ∆ = −36 , wi c przyjmuj c
∆ = 6i , mamy x1=2-3i, x2=2+3i
Pierwiastek pierwotny n-tego stopnia z jedno ci
Definicja
Liczb zespolon z nazywamy pierwiastkiem pierwotnym – n-tego stopnia z jedno ci je eli
Zn = 1 i Zn ≠ 1 , dla s = 1, 2, 3, ..., n-1, np. liczby i oraz –i s pierwiastkami pierwotnymi z
jedno ci czwartego stopnia bo i4 = 1 oraz (-i)4 = 1, ale i3 ≠ 1 , natomiast 1 i(-1) nie s
pierwiastkami pierwotnymi z jedno ci czwartego stopnia, bo 13 te jest równy 1. i(-1)2 = 1.
Pierwiastki n-tego stopnia z jedno ci wyra aj si wzorem
E k = cos
2kπ
2kπ
+ i sin
n
n
k = 0,1,..., n − 1
Pierwiastki pierwotne z jedno ci maj interesuj ce własno ci. We my pod uwag E1. Ze
wzoru de Moivre’a wynika, e E2 = E12 ,
Tym samym ci g sko czony
E1 , E12 , E13 ,..., E1n
Zawiera wszystkie ró ne pierwiastki n-tego stopnia z 1. Nasuwa si pytanie, czy ci g
E k , E k2 ,..., E kn
dla dowolnego 2 ≤ k ≤ n − 1 i dowolnego n zawiera wszystkie pierwiastki E1 , E 2 , E3 ,..., E n −1 .
Odpowied jest przecz ca, bowiem niech n = 4 wówczas
E 0 = 1,
E1 = i,
E 2 = −1,
E 3 = −i
ci g E3 , E32 , E33 , E34 zawiera wszystkie pierwiastki, ale ci g E 2 , E 22 , E 23 , E 24 nie ma tej
własno ci, gdy
E 2 = −1,
E 22 = 1,
Dla ustalonego k liczba E k = cos
E 23 = −1,
E 24 = 1
2kπ
2kπ
+ i sin
jest pierwiastkiem pierwotnym n-tego
n
n
stopnia z jedno ci wtedy i tylko wtedy, gdy k i n s wzgl dnie pierwsze, tzn. gdy najwi kszy
wspólny dzielnik liczb k i n równa si 1.
Twierdzenie
Je eli Ek jest pierwiastkiem pierwotnym n-tego stopnia z jedno ci, to liczby
E k , E k2 , E k3 ,..., E kn
13
s wszystkimi ró nymi pierwiastkami n-tego stopnia z jedno ci .
Przykład
Znale
wszystkie pierwiastki pierwotne równania
z6 −1 = 0
Spo ród liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6 tylko liczby 1 i 5 s liczbami pierwszymi wzgl dem 6. Zatem
pierwiastkami pierwotnymi równania s liczby
2π
2π 1
3
+ i sin
= +
i
6
6
2 2
10π
10π 1
3
E5 = cos
+ i sin
= −
i
6
6
2 2
E1 = cos
Zadania
Zadanie 1.
Wykonaj działania
a) i (5 − 2i ) + (3 − 4i ) + (− 5 + i )
b)
(3 + 4i )(5 + 6i ) + (3 − i )(4 − 3i )
c) i (2 − i ) − (i − 2 )
Zadanie 2.
Oblicz
a) i 10 + i 6 + i 2 ,
b) i + i 5 + i 9 ,
c) i 3 + i 7 + i 11 .
Zadanie 3.
Nast puj ce wyra enia zapisz w postaci a + bi
a)
2+i
,
3+i
b)
i
,
1+ i
c)
1
,
1+ i
d)
1− i
,
1+ i
e)
1 − 5i
,
2 + 3i
f)
3+i
1+ i 3
Zadanie 4.
Oblicz warto
1
3
a) − + i
2
2
wyra enia
2
,
1
3
b) − + i
2
2
3
,
c)
2+ 2 +i 2− 2
2
Zadanie 5.
Podaj warto ci rzeczywiste x i y spełniaj ce równanie
a) (1 + 2i )x + (3 − 5i ) y = 1 − 3i
b) (2 − i )x + (1 + 2i ) y = 10i
c) (1 + i )x 2 + (1 − i ) y 2 = 25 + 7i
14
4
.
d)
e)
7+i
x + iy
=
3 + 4i
4−i
(x − 4) + ( y − 1)i = 2 − 5i
1+ i
Zadanie 6.
Rozwi
układ równa z niewiadomymi zespolonymi:
a) (2 + i)z + (2 – i)t = 6
(3 + 2i)z + (3 – 2i)t = 8
b) (4 + 2i)z – (2+3i)t = 5 + 4i
(3 – i)z + (4+2i)t = 2 + 6i
c) w – z + 2it = 20
iw + 3z – (1+i)t = 30
w + iz – 2t = 10
Zadanie 7.
Rozwi
równania
a) z − z = 1 + 2i,
(
b) z + z = 2 + i,
)
(
c) z z + z − z = 3 + 2i,
) (
)
d) i z + z + i z − z = 2i − 3.
Zadanie 8.
Oblicz pierwiastki zespolone wielomianów stopnia drugiego i rozłó te wielomiany na
czynniki liniowe
a) x 2 − x + 1,
b) x 2 + x + 1,
c) x 2 + 2 x + 4,
d) x 2 − 2 x + 10,
f) 2 x 2 + x + 3,
g) x 2 − 2 x + 2,
h) x 2 + x 2 + 1,
i) x 2 − x 6 + 2.
e) x 2 + x + 2 ,
Zadanie 9.
Oblicz pierwiastki zespolone wielomianów i rozłó te wielomiany na czynniki. Skorzystaj z
wyników poprzedniego zadania.
a) x3 + 1,
b) x3 – 1,
f) 2x3 – x2 + 2x – 3,
c) x3 – 8,
d) x6 + 6x + 20,
g) x4 + 2x2 – 3,
e) x3 + 2x2 + 3x + 2,
h) x4 + 4x2 + 4,
i) x4 + x2 + 1.
Zadanie 10.
Napisz równania czwartego stopnia, którego pierwiastkami s liczby:
a) 1 − i,
1 + i,
b) – 4i,
4i,
c)
1 − i 3,
0,
1 + i 3.
– 2.
( 5 − 1) + i 10 + 20 , (
(− 5 − 1) − i 10 − 20 ;
)
5 − 1 − i 10 + 20 ,
15
(−
)
5 − 1 + i 10 − 20 ,
Zadanie 11.
Przedstawi w postaci trygonometrycznej nast puj ce liczby zespolone:
a) 1,
i,
– 1,
b) 1 + i,
– i,
– 1 – i,
1 – i,
− 1 + i 3,
c) 1 + i 3,
− 1 − i 3,
1 − i 3,
d) 1 + sin α − i cosα ,
e)
1 + cos α + i sin α
.
1 + cos α − 1sin α
Zadanie 12.
Oblicz na podstawie wzoru de Moivre’a:
1+ i
a)
2
5
,
(1 + i 3 )
f)
( 3 − i)
b)
3 −i
2
7
,
−1+ i 3
c)
2
12
,
d) (1 + i ) ,
25
1+ i 3
e)
1− i
20
,
13
11
.
Zadanie 13.
Zapisz w postaci: a) trygonometrycznej,
b) a + bi, pierwiastki stopnia n z liczby 1 dla n =
2,3,4,5,6,8,12.
Zadanie 14
Rozwiaz rownanie :
a) z² + 4 = 0
b) z² + 2i = 0
c) z² + (2+2i)z +1+2i = 0
d) z² +2iz – 5 = 0
e) z² - (2 + 3i)z – 1 + 3i = 0
f) z² - (2 + i)z + (-1 + 7i) = 0
Zadanie 15
Rozwiaz równanie :
a) x3 = 2(1- i)
b) x4 -
1
(1 + i 3 ) = 0
2
c) x 4+1 = 0
d) x5 – (3 + 2i) = 0
e) x6 -
1− i
3+i
=0
16
Zadanie 16
Zaznacz na plaszczyznie zmiennej zespolonej nastepujace zbiory punktow.
a)
z : |z| < 5
b)
z : |z - i| ≤ 2
c)
z:
d)
z:
e)
z: 3i(z + z )-(z - z ) + 4i = 0
f)
z:
g)
z: |z -1| ≥ 2 z − i
h)
z: im
i)
z: z + rez ≤ 1
j)
z: z + 2 + z − 2 = 5
k)
z: imz2 = 2
l)
z:rez2 = 4
m)
z: imz2 = 2
n)
z: argz =
z −5
z −1
=1
z −5+i
z +2−i
=1
z−z
z+z
=5
−3
2i
2
1
≤2
z
π
4
Zadanie 17
Napisz rownanie okregu O(Z0, r), je eli
a) Z = 2 – i, r =2
b) Z = 1+ 3i, r =3
Zadanie 18
Wyznaczyc srodek i promien okregu o rownaniu:
a) z ⋅ z + (1 + i ) z + (1 − i ) z = 0
b)z ⋅ z − (2 − i ) z − (2 + i ) z − 1 = 0
c)z ⋅ z − (3 − 4i ) z − (3 − 4i ) z + 2 = 0
17
-
Odpowiedzi do zada
Zadanie 1
a)
2i
b)
25i
c)
3+i
Zadanie 2
a)
–3
b)
3i
c)
–3i
Zadanie 3
a)
0,7 +0,1i
b)
1+ i
2
c)
1− c
2
d)
–i
e)
–1–i
f)
3−i
2
Zadanie 4
a) −
1 1
3
−
2 2
b) 1
c) i
Zadanie 5
a) x =
5
4
,y=
11,
11
b) x = -2, y = 4
c) x = 4, y = 3, x = 4, y = -3, x = -4, y = 3, x = -4, y = -3
d) x =4, y = -5
e) x = 11, y = -2
Zadanie 6
a) z = 2 +i, t = 2 – i
b) z = 1 + i, t = i
18
c) w = 3 – 11i, t = 1 – 7i, z = -3 –9i
Zadanie 7
a) z =
3
− 2i
2
b) z =
3
+i
4
c) z1 = 2 + i
d) z2 = - 2 + i
3
e) 1 - i
2
Zadanie 8
a) x1 =
1 1
1 1
+
3i , x 2= −
3i
2 2
2 2
1 1
1 1
+
3i , x 2= - −
3i
2 2
2 2
b) x1 = -
c) x1 = - 1 -i 3 , x2 = - 1 +i 3
d) x1 = 1 – 3i, x2 = 1 +3i
e) x1=
f)
1
1
( −1 − i 7 ) , x2 = ( −1 + i 7 )
2
2
1
1
x1 = (−1 − i 23 ) , x2 = (−1 + i 23 )
4
4
g) x1 = 1 – i, x2 = 1+ i
h) x1 =
i)
x1 =
−1− i
2
, x2 =
−1+ i
2
2
2
( 3 − i ) , x2 =
(3 + i )
2
2
Zadanie 9
a) x1 =1, x2 =
1
1
1
1
−i
3 , x3 = + i
3
2
2
2
2
b) x1 = 1, x2 = -
1
1
1
1
+i
3 , x3 = - − i
3
2
2
2
2
c) x1 = 2, x2 = -1 -i 3 , x3 = -1 + i 3
d) x1 = -2, x2 = 1-3i, x3 = 1 + 3i
e) x1 = -1, x2 =
f)
x1 = 1, x2 =
1
1
( −1 − i 7 ) , x3 = ( −1 + i 7 )
2
2
1
1
(−1 − i 23 ) , x3 = (−1 + i 23 )
4
4
19
g) x1 = -1, x2 = 1, x = i 3 , x3 = -i 3
h) x1 = -i 2 , x2 = i 2 pierwiastki dwukrotne
1
1
3,
i) x1 = − − i
2
2
1
1
x2 = − + i
3,
2
2
x3 =
1
1
−i
3,
2
2
x4 =
1
1
+i
3
2
2
Zadanie 10.
a) x 4 − 4 x 3 + 10 x 2 − 12 x + 8 = 0
b) x 4 + 2 x 3 + 16 x 2 + 32 x = 0
c) x 4 + 4 x 3 + 16 x 2 + 64 x + 256 = 0
Zadanie 11.
a) 1(cos 0 + i sin 0),
b)
2 (cos
1(cos
Π
Π
+ i sin ) ,
4
4
Π
Π
+ i sin ),
2
2
2 (cos
1(cos Π + i sin Π ),
3Π
3Π
+ i sin
),
4
4
3
3
1(cos Π + i sin Π )
2
2
5
5
2 (cos Π + i sin Π ) ,
4
4
7
7
2 (cos Π + i sin Π )
4
4
c) 2(cos
Π
Π
+ i sin ),
3
3
2
2
2(cos Π + i sin Π ),
3
3
4
4
2(cos Π + i sin Π ) ,
3
3
5
5
2(cos Π + i sin Π )
3
3
d) 2 cos(
Π α
Π α
Π α
− ) cos( − ) − i sin( − )
4 2
4 2
4 2
e) cos α + i sin α
Zadanie 12.
a)
5
Π
Π
(cos + i sin )
4
4
2
1
=(
Π
Π
b) cos(− ) + i sin(− )
6
6
7
1
5
5
1 1
) 5 (cos Π + i sin Π ) = − − i
4
4
8 8
2
7
7
3+i
= cos(− Π ) + i sin(− Π ) = −
6
6
2
2
2
c) (cos Π + i sin Π )12 = cos 8Π + i sin 8Π = 1
3
3
d)
Π
Π
2 (cos + i sin )
4
4
1 3 + i (1 + 3 )
e)
2
20
=
12
=2
25
25
25
(cos Π + i sin Π ) = 212 (1 + i )
2
4
4
7
7
2 cos Π + i sin Π
12
12
20
20
= 210 cos
35
35
Π + i sin Π = 2 9 (1 − i 3 )
3
3
f)
13
13
11Π
11Π
Π + i sin Π )2 −11 (cos
+ i sin
)=
3
3
6
6
37
37
Π
Π
= 2 2 (cos Π + i sin Π ) = 4(cos + i sin ) = 2 3 + 2i
6
6
6
6
213 (cos
Zadanie 13.
n=2,
z 0 = cos 0 + i sin 0 = 1 ,
n=3,
z 0 = 1,
z1 = cos Π + i sin Π = −1
2
2
1
1
z1 = cos Π + i sin Π = − + i
3
3
3
2
2
4
4
1 1
z 2 = cos Π + i sin Π = − − i 3
3
3
2 2
n=4,
z0 = 1,
z1 = i ,
n-5,
z0 = 1,
z k = cos
n=6,
z0 = 1,
z1 =
n=8,
z0 = 1,
z1 =
n=12,
z 6 = −1 ,
z 3 = −i
2kΠ
2kΠ
dla k=1,2,3,4
+ i sin
5
5
1 1
+ i 3,
2 2
1+ i
z1 =
z0 = 1,
z 2 = −1 ,
2
,
1
1
z2 = − + i
3,
2
2
z2 = i ,
1
1
3+ i,
2
2
z7 = −
z3 =
z2 =
1
1
3 −i ,
2
2
−1+ i
2
,
z 3 = −1 ,
z 4 = −1 ,
1
1
+i
3,
2
2
1
1
z8 = − − i
3,
2
2
z3 = i ,
1
1
z4 = − − i
3,
2
2
−1− i
z5 =
2
,
z 6 = −i ,
1
1
z4 = − + i
3,
2
2
z 9 = −i,
z10 =
z5 =
1
1
−i
3,
2
2
z 2 = −2i,
b) z1 = 1 − i,
c) z1 = −1 − 2i,
z 2 = −1 + i,
z 2 = −1,
d) z1 = 2 − i,
z 2 = −2 − i ,
e) z1 = 1 + i,
z 2 = 1 + 2i,
f) z1 = −1 + 2i,
z2 = 3 − i
Zadanie 15.
a) x1 =
1
(1 − 3 + i (1 + 3 ),
2
b) x0 =
1
2 ( 3 + 1 + i ( 3 − 1),
4
x 2 = −1 − i ,
x1 =
x3 =
1
(1 + 3 + i (1 − 3))
2
1
2 (1 − 3 + i (1 + 3 )),
4
21
x 2 = − x0 ,
z7 =
z5 = −
Zadanie 14.
a) z1 = 2i,
1
1
−i
3
2
2
x3 = − x1
1− i
2
1
1
3+i ,
2
2
z11 =
1
1
3 −i
2
2
c) x0 =
1+ i
2
d) x k ≈ 13
e) x k = 2
x1 =
,
−1+ i
2
,
x 2 = − x0 ,
x3 = − x1
1
(cos(6°44 + k ⋅ 72°) + i sin(6°44 + k ⋅ 72°)),
10
1
19
1
19
1
cos( Π + kΠ ) + i sin( Π + kΠ ) ,
12
72
3
72
3
k=0,1,2,3,4
k=0,1,2,3,4,5
Zadanie 16.
a)
wn trze koła o rodku (0,0) i promieniu r=5
b)
koło o rodku (0,1) i promieniu r=2
c)
d)
symetralna odcinka AB ,a(5,-1),b(-2,1)
e)
prosta o równaniu 3x-y+2=0
f)
prosta o równaniu y=5x-3
g)
1
4
20
koło ( x − ) 2 + ( y − ) 2 ≤
3
3
9
h)
x2 + y2 +
i)
cz
j)
y
≥ 0 zewn trze koła wraz z okr giem
2
płaszczyzny ograniczonej parabol y 2 = 1 − 2 x
1
16( x − ) 2
2
2 + y =1
elipsa
100
4
k)
prosta x=5
l)
okr g x 2 + y 2 = 4
m)
hiperbola xy=1
n)
y=x i x
0i y
0
Zadanie 17.
a) ( x − 2) 2 + ( y + 1) 2 = 4
b) ( x − 1) 2 + ( y − 3) 2 = 9
Zadanie 18.
a) O(-1;1),
r= 2
b) O(2;1),
r= 6
c) O(3;4),
r = 23
22
-
Bibliografia
1. Algebra Wy sza, Andrzej Mostowski, PWN 1970
2. Repetytorium przedmaturalne, praca zbiorowa
3. Analiza matematyczna w zadaniach, W.Krysicki, L.Włodarski, PWN 1966
23