PROPOZYCJA ZADAŃ PRZYGOTOWUJĄCYCH DO KONKURSU

PROPOZYCJA ZADAŃ PRZYGOTOWUJĄCYCH DO KONKURSU MATEMATYCZNEGO
DLA KLAS I-ych technikum
MISTRZ W ROZWIĄZYWANIU RÓWNAŃ I NIERÓWNOŚCI
W KATEGORII:
ZADANIA ZAMKNIĘTE - wybierz jedną prawidłową odpowiedź
1) Zbiór rozwiązań równania ( x  1) 2  x 2  2( x  1)  3 to
A. 0
B. R
C. 1
2) Jedno rozwiązanie ma równanie:
A. 2  x  5  2
B. 5  x  5  2
C. x  5  4  3
D. zbiór pusty
D. x  5  1  3
3) Równanie x    
A. ma dwa rozwiązania wymierne
C. ma jedno rozwiązanie wymierne i jedno niewymierne
B. nie ma rozwiązania w R
D. ma dwa rozwiązania niewymierne
4) Rozwiązaniem równania 3(2 x  1)  2 x  a  0 jest liczba -5. Wówczas:
A. a  23
B. a  43
C. a  43
D. a  23
5) Największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność 3 x  5  4  2 jest liczba:
A.7
B. 6
C. -2
D. -3
ZADANIA OTWARTE
1. Rozwiąż równania:
a) 2 x  4  2 2 x  6
b) 2 x  3  x  1
c) 12 x  12  3x  3
d) x( 2  3)  4 x  2 2
Rozwiązania zapisz w postaci a  b c , gdzie a ,b, c  W
2. Rozwiąż równania:
a) 4 3 : x  2 3
b) x  2 3  4 2  16 2
c) 215 x  2  210 x  34  211
d) 8 20 x  4 29 x  2 58
e) 4 5  x  32 2  2 5  216  x
3. Sprawdź czy poniższe równania są równoważne
1
3 x  5  4  2 x  5 oraz x  5  2
2
4. Rozwiąż równania:
2x3 5
 15
a) 3 x  2  2  5
b)
c) 4 x  2  x  2  9
3
d) 2 x  3  1  x  3  1
e) x  1  4 x  1




5. Rozwiąż równanie x  5  3  x   2 6  4 4 : 8 3
a) w zbiorze liczb całkowitych
b) w zbiorze liczb naturalnych.
2
6. Rozwiąż nierówności:
a) x  2  1
d)
( x  2) 2   1
18
2
b) x  4   7
c)  2 x  1  (2) 2
Wskazówka w d) zastosuj własność
a2  a
7. Zbiór A jest zbiorem rozwiązań nierówności x  2  4 , zbiór B jest zbiorem rozwiązań nierówności
3  x  1  0 . Wyznacz sumę i iloczyn tych zbiorów.
8. Wyznacz zbiór wszystkich liczb naturalnych spełniających układ nierówności:
 x  2  1

 x  4
9. Znajdź wszystkie liczby pierwsze spełniające jednocześnie nierówności:
2 x x3 4 x
2


32  x   2 x 2  xx  4 oraz
.
2
3
2
PROPOZYCJA ZADAŃ PRZYGOTOWUJĄCYCH DO
KONKURSU MATEMATYCZNEGO
DLA KLAS II-ich technikum
W KATEGORII:
MISTRZ W ROZWIĄZYWANIU RÓWNAŃ I NIERÓWNOŚCI
ZADANIA ZAMKNIĘTE - wybierz jedną prawidłową odpowiedź
1) Zbiór rozwiązań równania ( x  1) 2  x 2  2( x  1)  3 to
A. 0
B. R
C. 1
D. zbiór pusty
2) Rozwiązania równania to liczby przeciwne. Ten warunek spełnia równanie:
1
1
A. ( x  )( x  4)  0
B. x  4  4
C. ( x  )( x  4)  0
D. x 2  4  0
4
4
3) Rozwiązania równania to liczby odwrotne. Ten warunek spełnia równanie:
1
1
A. ( x  )( x  4)  0
B. x  4
C. ( x  )( x  4)  0
D. x 2  4  0
4
4
2
4) Równanie x  
A. ma dwa rozwiązania wymierne
C. ma jedno rozwiązanie w R
B. nie ma rozwiązania w R
D. ma dwa rozwiązania niewymierne
3
2
5) Najmniejszy pierwiastek równania x  2 x  16 x  32  0 należy do przedziału liczbowego
A. (6,4)
B.  4,2)
C.  2,0)
D. 0,4
ZADANIA OTWARTE
1. Rozwiąż równania:
a) 3(x+1)2+ (x-4)3= 101 + (x-3)3
b) x 2  3  x  1
1
c)
d) 3 x  1 = 9
e) 4 5  x  32 2  2 5  216  x
x=2
2
2. Wyznacz zbiór rozwiązań dla równań:
a) 3x2 -2 3 x -3 = 0
b) 25(x-1)2- 9(x+2)2=0
c) (2+5x)2= 19x +(x-4)(x+5).
3. Dla jakiego b równanie x2 –bx + 2 = 0 ma dokładnie jeden pierwiastek?
4. Rozwiąż równania:
x 1
a) x3 – 7x2 – 3x +21 = 0
b) x3 + 2x2 = 4x + 8
c) x 3  x 2   .
4 4
5. Rozwiąż równania:
a) x 4  4 x 3  5 x 2  0
w zbiorze liczb naturalnych.

b) 4x3 - 4x2 = x - 1
6. Rozwiąż nierówności:
w zbiorze liczb całkowitych.
a) x  2  1
b)  2 x  1  (2) 2

c)
( x  2) 2   1
18
Wskazówka w c) zastosuj własność a 2  a
7. Wyznacz zbiór wszystkich liczb naturalnych spełniających układ nierówności:
 x  2  1

 x  4
8. Rozwiąż nierówności:
a)  x 2  1
b) x2 + 4x + 5  0
c) –(x+3)2  0
d) x  34  x  0
9. Wyznacz zbiór rozwiązań podanych poniżej nierówności i sprawdź czy liczby 2 i 10 należą do tego
zbioru:
a)  2 x 2  9 x  9 < 0
b) y -5 < (y – 5)2
c) x2 -3x > -4
2
10. Wykaż, że dla m = 3 nierówność x  2m  3x  2m  5  0 jest spełniona przez wszystkie liczby
rzeczywiste.
PROPOZYCJA ZADAŃ PRZYGOTOWUJĄCYCH DO
KONKURSU MATEMATYCZNEGO
DLA KLAS III-ych technikum
W KATEGORII
MISTRZ W ROZWIĄZYWANIU RÓWNAŃ I NIERÓWNOŚCI
ZADANIA ZAMKNIĘTE - wybierz jedną prawidłowa odpowiedź
1) Zbiór rozwiązań równania ( x  1) 2  x 2  2( x  1)  3 to
A. 0
B. R
C. 1
D. zbiór pusty
2) Rozwiązania równania to liczby przeciwne. Ten warunek spełnia równanie:
1
1
A. ( x  )( x  4)  0
B. x  4  4
C. ( x  )( x  4)  0
D. x 2  4  0
4
4
3) Rozwiązania równania to liczby odwrotne. Ten warunek spełnia równanie:
1
1
A. ( x  )( x  4)  0
B. x  4
C. ( x  )( x  4)  0
D. x 2  4  0
4
4
4) Równanie x 2  
A. ma dwa rozwiązania wymierne
C. ma jedno rozwiązanie w R
B. nie ma rozwiązania w R
D. ma dwa rozwiązania niewymierne
3
2
5) Najmniejszy pierwiastek równania x  2 x  16 x  32  0 należy do przedziału liczbowego
A. (6,4)
B.  4,2)
C.  2,0)
D. 0,4
x 2  36
 0 jest
 x2  x  2
A. R \  1,2,36
B. R
C. R \ 2,1
ZADANIA OTWARTE
1. Rozwiąż równania:
a) 3(x+1)2+ (x-4)3= 101 + (x-3)3
b) x 2  3  x  1
1
c)
d) 4 5  x  32 2  2 5  216  x
x=2
2
2. Dla jakiego b równanie x2 –bx + 4 = 0 ma dokładnie jeden pierwiastek?
3. Wyznacz zbiór rozwiązań dla równań:
x3 4 4
a) 3x2 -2 3 x -3 = 0
b) x 3  5 x 2  3x  15  0
c) 4
.

x
4
6) Dziedziną równania

x
3


3
9
3 x2
3
b) 4x - 4x2 = x - 1
4. Rozwiąż równania: a)
D. R \  6,1,2, 6
w zbiorze liczb naturalnych.
w zbiorze liczb całkowitych.
5. Wyznacz x:
a) log 1 x  4
b) log 3 x  1  4
2
c) log x 125  3
d) log x
2
6. Rozwiąż nierówności: a) x  2  1
b)  2 x  1  (2) 2
Wskazówka w c) zastosuj własność
7. Rozwiąż nierówności: a)  x 2  1
b) –(x+2)2  0
1
 2 .
25
c)
( x  2) 2   1
18
a2  a
c) x  25  x  0
8. Wyznacz zbiór rozwiązań podanych poniżej nierówności i sprawdź czy liczby 2 i 10 należą do tego
zbioru: a) -2x2+ 9x -9 < 0
b) y -5 < (y – 5)2
c) x2 -3x > -4
9. Wyznacz zbiór rozwiązań nierówności (algebraicznie lub graficznie):
1
a)  
3
x2
3
b) 2 x 1  4 .
PROPOZYCJA ZADAŃ PRZYGOTOWUJĄCYCH DO
KONKURSU MATEMATYCZNEGO
DLA KLAS IV-tych technikum
W KATEGORII
MISTRZ W ROZWIĄZYWANIU RÓWNAŃ I NIERÓWNOŚCI
ZADANIA ZAMKNIĘTE - wybierz jedną prawidłowa odpowiedź
1) Zbiór rozwiązań równania ( x  1) 2  x 2  2( x  1)  3 to
A. 0
B. R
C. 1
D. zbiór pusty
2) Rozwiązania równania to liczby przeciwne. Ten warunek spełnia równanie:
1
1
A. ( x  )( x  4)  0
B. x  4  4
C. ( x  )( x  4)  0
D. x 2  4  0
4
4
3) Rozwiązania równania to liczby odwrotne. Ten warunek spełnia równanie:
1
1
A. ( x  )( x  4)  0
B. x  4
C. ( x  )( x  4)  0
D. x 2  4  0
4
4
4) Równanie x 2  
A. ma dwa rozwiązania wymierne
C. ma jedno rozwiązanie w R
B. nie ma rozwiązania w R
D. ma dwa rozwiązania niewymierne
3
2
5) Najmniejszy pierwiastek równania x  2 x  16 x  32  0 należy do przedziału liczbowego
A. (6,4)
B.  4,2)
C.  2,0)
D. 0,4
x 2  36
 0 jest
 x2  x  2
A. R \  1,2,36
B. R
C. R \ 2,1
ZADANIA OTWARTE
1. Rozwiąż równania:
a) 3(x+1)2+ (x-4)3= 101 + (x-3)3
b) x 2  3  x  1
1
c)
d) 4 5  x  32 2  2 5  216  x
x=2
2
2. Dla jakiego b równanie x2 –bx + 9= 0 ma dokładnie jeden pierwiastek?
3. Wyznacz zbiór rozwiązań dla równań:
x3 4 4
a) 3x2 -2 3 x -3 = 0
b) 3x 3  6 x 2  5 x  10  0 c) 4
.

x
4
6) Dziedziną równania

x
3


3
9
3 x2
3
b) 4x - 4x2 = x - 1
4. Rozwiąż równania: a)
D. R \  6,1,2, 6
w zbiorze liczb naturalnych.
w zbiorze liczb całkowitych.
5. Wyznacz x:
a) log 1 x  27
b) log 3 x  1  4
2
c) log x 125  3
d) log x 1
3
6. Rozwiąż nierówności: a) x  2  1
Wskazówka w c) zastosuj własność
7. Rozwiąż nierówności: a)  x 2  1
b)  2 x  1  (2) 2
1
 2 .
25
c)
( x  2) 2   1
18
a2  a
b) –(x+2)2  0
c) x  25  x  0
8. Wyznacz zbiór rozwiązań podanych poniżej nierówności i sprawdź czy liczby 2 i 10 należą do tego
zbioru: a) -2x2+ 9x -9 < 0
b) y -5 < (y – 5)2
c) x2 -3x > -4
9. Wyznacz zbiór rozwiązań nierówności (algebraicznie lub graficznie):
x2
1
a)    3
b) 2 x 1  4 .
3
 
10. Rozwiąż równania: x  ( x  3)    ( x  54)  570 ,
 7  1  9    ( x  1)  119 ,
w których lewa strona jest sumą wyrazów skończonego ciągu arytmetycznego.