TESTY ISTOTNOŚCI DLA DWÓCH ŚREDNICH

TESTY ISTOTNOŚCI DLA DWÓCH ŚREDNICH
Model I
Badamy dwie populacje generalne mające rozkłady normalne N(m1, 1) i N(m 2, 2), przy czym odchylenie
standardowe 1 i 2 są znane.
H0 : m 1 = m 2
Jeżeli są spełnione założenia tego modelu to przy prawdziwości hipotezy zerowej statystyka
ma rozkład normalny standaryzowany N(0,1)
X X
U 
1
 12
n1
2

 22
n2
H1 : m 1  m 2
H2 : m1 < m2
H3 : m1 > m2
K = (-; -u)  (u; + )
K = (- , - u2)
K = (u2, +)
Model II
Badamy dwie populacje generalne mające rozkłady normalne N(m1, 1) i N(m 2, 2) i 1 = 2 . Próby małe.
H0 : m 1 = m 2
Jeżeli są spełnione założenia tego modelu to przy prawdziwości hipotezy zerowej statystyka
ma rozkład t - Studenta o n1+ n2 – 2 stopniach swobody.
X1  X 2
t
n1S12  n2 S 22
n1  n2  2
1
1


n2
 n1
H1 : m 1  m 2
H2 : m1 < m2
H3 : m1 > m2



K = (-; -t,n1+n2-2)  (t,n1+n2-2; + )
K = (- , - t2,n1+n2-2)
K = (t2,n1+n2-2; + )
Model III
Zmienna X ma w jednej populacji generalnej ma rozkład N(m 1, 1) i w drugiej populacji generalnej ma rozkład
N(m 2, 2) lub dowolny inny rozkład o odpowiednio: średniej wartości m 1 i o skończonej, ale nieznanej
wartości wariancji 21 oraz średniej wartości m 2 i o skończonej, ale nieznanej wartości 22. Próby duże.
H0 : m 1 = m 2
Jeżeli są spełnione założenia tego modelu to przy prawdziwości hipotezy zerowej statystyka
ma rozkład normalny standaryzowany N(0,1)
X X
U 
1
2
S12
S2
 2
n1
n2
H1 : m 1  m 2
H2 : m1 < m2
H3 : m1 > m2
K = (-; -u)  (u; + )
K = (- , - u2)
K = (u2, +)
TESTY ISTOTNOŚCI DLA DWÓCH WARIANCJI
H0 : 12 = 22
Do weryfikacji hipotezy H0 wykorzystujemy statystykę F =
Sˆ12
Sˆ22
która ma rozkład F Snedecora z r1 = n1 - 1 i r2 = n2 - 1 stopniami swobody,
2
2
gdzie ŝ1 i ŝ2 są estymatorami wariancji badanej cechy wyliczonymi z prób pobranych z pierwszej i drugiej
populacji, zaś n1 i n2 liczebności tych prób.

 

   F

K =  0; F 
;

 , ( r1 , r2 )

1 , ( r1 , r2 ) 
2

  2

K = F , ( r1 , r2 ) ;   
H1 : 12  22

K = 0; F
H2 : 12  22
H3 : 1  2
2
F1 , ( r1 , r2 ) 
2
1 , ( r1 , r2 )
1
F , ( r2 , r1 )

Sˆ12 
n1
S12
n1  1
n2
Sˆ22 
S 22
n2  1
TESTY ISTOTNOŚCI DLA ŚREDNIEJ
Model I
Populacja generalna ma rozkład normalny N(m, ), przy czym odchylenie standardowe  jest znane.
H0 : m = m 0
(gdzie m0 jest konkretną wartością hipotetyczną średniej)
H1 : m  m 0
K = (-; -u)  (u; + )
H2 : m < m 0
K = (- , - u2)
H3 : m > m 0
K = (u2, +)
Jeżeli są spełnione założenia tego modelu to przy prawdziwości hipotezy zerowej statystyka
U
X  m0

ma rozkład normalny standaryzowany
n
N(0,1)
Model II
Populacja generalna ma rozkład normalny N(m, ), przy czym odchylenie standardowe  jest nieznane.
Próba mała.
H0 : m = m 0
(gdzie m0 jest konkretną wartością hipotetyczną średniej)
H1 : m  m 0
K = (-; -t,n-1)  (t,n-1; + )
H2 : m < m 0
K = (- , - t2,n-1)
H3 : m > m 0
K = (t2,n-1; + )
Jeżeli są spełnione założenia tego modelu to przy prawdziwości hipotezy zerowej statystyka
t
X  m0
X  m0
n 1 
n
S
Sˆ
ma rozkład t - Studenta o n - 1 stopniach swobody.
Model III
Populacja generalna ma rozkład N(m, ) lub dowolny inny rozkład o średniej wartości m i o skończonej, ale
nieznanej wartości odchylenia standardowego . Próba duża.
H0 : m = m 0
(gdzie m0 jest konkretną wartością hipotetyczną średniej)
H1 : m  m 0
K = (-; -u)  (u; + )
H2 : m < m 0
K = (- , - u2)
H3 : m > m 0
K = (u2, +)
Jeżeli są spełnione założenia tego modelu to przy prawdziwości hipotezy zerowej statystyka
U
X  m0
n
S
ma rozkład normalny standaryzowany
N(0,1)
TESTY ISTOTNOŚCI DLA WARIANCJI
Model I.
Zakładamy, że badana cecha populacji ma rozkład N(m, ) o nieznanym m i . Mała próba.
H0 : 2 = 02
Jeżeli są spełnione założenia tego modelu to przy prawdziwości hipotezy zerowej statystyka
2 
n  1s 2
*)
 02
ma rozkład chi – kwadrat o n-1 stopniach swobody




    2 ; 
H1 : 2  02 K=  0;  2 


1 ;n 1
2


 2 ;n 1

2
2
2
H2 :   0 K =  ;n 1;




H3 : 2  02 K = 0; 12 , n  1
Model II.
Zakładamy, że badana cecha populacji ma rozkład N(m, ) o nieznanym m i . Duża próba.
H0 : 2 = 02
Jeżeli są spełnione założenia tego modelu to przy prawdziwości hipotezy zerowej statystyka
U  2  2  2n  3 ,
H 1 :  2   02
H 2 :  2   02
H 3 :  2   02
gdzie
2
z *)
ma rozkład normalny standaryzowany
K = ( - , -u )  ( u , + )
K = ( u2 , + )
K = ( - , -u2 )
N(0,1)