STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 5

STATYSTYKA MATEMATYCZNA
WYKŁAD 5
2 listopada 2009
Poprzedni wykład: przedział ufności dla µ, σ nieznane
Rozkład N(µ, σ). Wnioskowanie o średniej µ, gdy σ nie jest znane
Testowanie H : µ = µ0 , K : µ < µ0
Jeżeli H jest prawdziwa, to statystyka testu ma rozkład t Studenta
z (n − 1) stopniami swobody:
X̄ − µ0 √
n − 1 ∼ tn−1
S
Obszar krytyczny testu na poziomie istotności α:
(
)
X̄ − µ0 √
n − 1 < tn−1 (α)
S
Rozkład N(µ, σ). Wnioskowanie o średniej µ, gdy σ nie jest znane
Testowanie H : µ = µ0 , K : µ < µ0
Moc testu:
(
β(µ, σ) = PN(µ,σ)
)
X̄ − µ0 √
n − 1 < tn−1 (α)
S
Rozkład N(µ, σ). Wnioskowanie o średniej µ, gdy σ nie jest znane
Testowanie H : µ = µ0 , K : µ < µ0
Moc testu:
(
β(µ, σ) = PN(µ,σ)
)
X̄ − µ0 √
n − 1 < tn−1 (α)
S
Jeżeli X ∼ N(µ, σ), to
X̄ − µ0 √
n−1=
S
jest ilorazem zmiennej losowej N
q
χ2n−1 /(n − 1)
X̄ −µ √
µ−µ0 √
n
σq n + σ
nS 2
/(n − 1)
σ2
µ−µ0 √
n, 1
σ
i zmiennej losowej
Moc testu t Studenta
H : µ = µ0 , K : µ < µ0
Przypominam:
Jeżeli zmienna losowa ξ ma rozkład normalny N(0, 1), zmienna losowa η ma rozkład
chi-kwadrat o ν stopniach swobody i jeżeli te zmienne losowe są niezależne, to rozkład
zmiennej losowej
ξ
t= p
η/ν
nazywa się rozkładem t Studenta o ν stopniach swobody
Moc testu t Studenta
H : µ = µ0 , K : µ < µ0
Przypominam:
Jeżeli zmienna losowa ξ ma rozkład normalny N(0, 1), zmienna losowa η ma rozkład
chi-kwadrat o ν stopniach swobody i jeżeli te zmienne losowe są niezależne, to rozkład
zmiennej losowej
ξ
t= p
η/ν
nazywa się rozkładem t Studenta o ν stopniach swobody
DEFINICJA:
Jeżeli zmienna losowa ξ ma rozkład normalny N(µ, 1), zmienna
losowa η ma rozkład chi-kwadrat o ν stopniach swobody i jeżeli te
zmienne losowe są niezależne, to rozkład zmiennej losowej
ξ
t=p
η/ν
nazywa się NIECENTRALNYM ROZKŁADEM t STUDENTA
O ν STOPNIACH SWOBODY I PARAMETRZE
NIECENTRALŚCI µ
Moc testu t Studenta
H : µ = µ0 , K : µ < µ0
Gęstość rozkładu t Studenta z ν stopniami swobody oznaczyliśmy
przez gν (x).
Gęstość niecentralnego rozkładu t Studenta z ν stopniami swobody
i parametrem niecentralności λ oznaczymy przez gν,λ (x)
i dystrybuantę przez Gν,λ (x)
R: nct1.R
Moc testu:
β(µ, σ) = Gn−1, µ−µ0 √n (tn−1 (α))
σ
R: nct1-moc.R
(∗) test dwustronny
POZIOM KRYTYCZNY TESTU
Poziom krytyczny testu = najmniejszy
poziom istotności, przy którym następuje
odrzucenie weryfikowanej hipotezy
α - założony poziom istotności testu
wk - wartość krytyczna testu
T (T 0 ) - zaobserwowana wartość statystyki testu
pk (pk 0 ) - poziom krytyczny testu
α - założony poziom istotności testu
wk - wartość krytyczna testu
T (T 0 ) - zaobserwowana wartość statystyki testu
pk (pk 0 ) - poziom krytyczny testu
pk
α
pk 0
....................................................
..........
.......
......
.....
.....
.....
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
.....
.....
.....
......
.......
..........
.............................
T
wk
T0
POZIOM KRYTYCZNY TESTU
Poziom krytyczny testu = najmniejszy poziom istotności, przy
którym następuje odrzucenie weryfikowanej hipotezy
POZIOM KRYTYCZNY TESTU
Poziom krytyczny testu = najmniejszy poziom istotności, przy
którym następuje odrzucenie weryfikowanej hipotezy
największy poziom istotności, przy którym jeszcze przyjmujemy
sprawdzamy hipotezę (WK s. 214)
POZIOM KRYTYCZNY TESTU
Poziom krytyczny testu = najmniejszy poziom istotności, przy
którym następuje odrzucenie weryfikowanej hipotezy
największy poziom istotności, przy którym jeszcze przyjmujemy
sprawdzamy hipotezę (WK s. 214)
jak mało prawdopodobny jest wynik, który otrzymaliśmy,
gdy H jest prawdziwa
POZIOM KRYTYCZNY TESTU
Poziom krytyczny testu = najmniejszy poziom istotności, przy
którym następuje odrzucenie weryfikowanej hipotezy
największy poziom istotności, przy którym jeszcze przyjmujemy
sprawdzamy hipotezę (WK s. 214)
jak mało prawdopodobny jest wynik, który otrzymaliśmy,
gdy H jest prawdziwa
Gdyby zaobserwowana wartość statystyki testu była wartością
krytyczną, to jaki byłby poziom istotności tego testu
POZIOM KRYTYCZNY TESTU
Poziom krytyczny testu = najmniejszy poziom istotności, przy
którym następuje odrzucenie weryfikowanej hipotezy
największy poziom istotności, przy którym jeszcze przyjmujemy
sprawdzamy hipotezę (WK s. 214)
jak mało prawdopodobny jest wynik, który otrzymaliśmy,
gdy H jest prawdziwa
Gdyby zaobserwowana wartość statystyki testu była wartością
krytyczną, to jaki byłby poziom istotności tego testu
Popularny termin angielski:
p-value
PRZYKŁAD
Dla testowania H : µ = µ0 , K : µ > µ0 na poziomie istotności α
skonstruowaliśmy test z obszarem krytycznym
σ
X̄ > µ0 + z1−α √
n
Poziom krytyczny tego testu:
n
PK (X̄obs ) = Pµ0 X̄ > X̄obs
R: PK-t1.R
o
X̄obs − µ0 √
=1−Φ
n
σ
!
Komputerowe pakiety statystyczne:
Przykład: R: test-t1.R
Problem dwóch prób: X∼ N(µx ,σx ), Y ∼N(µy ,σy )
Porównanie średnich
(1) σx , σy - znane
(2) σx = σy = σ - znane
(3) σx = σy = σ - nieznane
(4) σx = k ∗ σy = σ, k - znane
(5) σx , σy - nieznane
(6) Obserwacje powiązane w pary
Problem dwóch prób: X∼ N(µx ,σx ), Y ∼N(µy ,σy )
(1) Porównanie średnich, σx , σy - znane
X∼ N(µx ,σx ), Y ∼N(µy ,σy ) =⇒ X −Y ∼ N(µx −µy ,
q
σx2 + σy2 )
Problem dwóch prób: X∼ N(µx ,σx ), Y ∼N(µy ,σy )
(1) Porównanie średnich, σx , σy - znane
X∼ N(µx ,σx ), Y ∼N(µy ,σy ) =⇒ X −Y ∼ N(µx −µy ,
X1 , X2 , . . . , Xm ,
Y1 , Y2 , . . . , Yn
q
σx2 + σy2 )
Problem dwóch prób: X∼ N(µx ,σx ), Y ∼N(µy ,σy )
(1) Porównanie średnich, σx , σy - znane
X∼ N(µx ,σx ), Y ∼N(µy ,σy ) =⇒ X −Y ∼ N(µx −µy ,
X1 , X2 , . . . , Xm ,
q
Y1 , Y2 , . . . , Yn
√
√
X̄m∼ N(µx ,σx / m), Ȳn∼N(µy ,σy / n) =⇒
X̄m − Ȳn ∼ N µx − µy ,
q
σx2 /m + σy2 /n
σx2 + σy2 )
Problem dwóch prób: X∼ N(µx ,σx ), Y ∼N(µy ,σy )
(1) Porównanie średnich, σx , σy - znane
(X̄m − Ȳn ) − (µx − µy )
v
u 2
uσ
t x
σ2
+ y
m
n
∼ N(0, 1)
Problem dwóch prób: X∼ N(µx ,σx ), Y ∼N(µy ,σy )
(1) Porównanie średnich, σx , σy - znane
WERYFIKACJA HIPOTEZ:
Problem dwóch prób: X∼ N(µx ,σx ), Y ∼N(µy ,σy )
(1) Porównanie średnich, σx , σy - znane
WERYFIKACJA HIPOTEZ:
H : µx = µy ,
K : µx > µy
Problem dwóch prób: X∼ N(µx ,σx ), Y ∼N(µy ,σy )
(1) Porównanie średnich, σx , σy - znane
WERYFIKACJA HIPOTEZ:
H : µx = µy ,
H : µx = µy ,
K : µx > µy
K : |µx − µy | > 0
Problem dwóch prób: X∼ N(µx ,σx ), Y ∼N(µy ,σy )
(1) Porównanie średnich, σx , σy - znane
PRZYKŁAD: Zadanie 13
Test dwustronny (!?):
H : µx = µy ,
K : |µx − µy | > 0
X̄m − Ȳn
s
σx2 σy2
+
m
n
∼ N(0, 1)
Problem dwóch prób: X∼ N(µx ,σx ), Y ∼N(µy ,σy )
(1) Porównanie średnich, σx , σy - znane
PRZYKŁAD: Zadanie 13 (cd)
Obszar krytyczny testu na poziomie istotności α:
X̄m − Ȳn
s
σ2
σy2
x
+
m
n
­ z1−α/2
580 − 610
= −2.54,
Tutaj : q
900
1000
+
10
20
z0.975 = 1.96
#
Problem dwóch prób: X∼ N(µx ,σx ), Y ∼N(µy ,σy )
(1) Porównanie średnich, σx , σy - znane
PRZYKŁAD: Zadanie 13 (cd) MOC TESTU





 X̄ − Ȳ
m
n
β(µx , µy ) = Pµx ,µy s

2

σy2

σx


+
m
n







­ z1−α/2











µ x − µy 
 + Φ zα/2 − sµx − µy 
= 1 − Φ



z1−α/2 − s


σx2 σy2 
σx2 σy2 
+
+
m
n
m
n



R: por2siznane.R

Problem dwóch prób: X∼ N(µx ,σx ), Y ∼N(µy ,σy )
(2) Porównanie średnich, σx = σy = σ – znane
(X̄m − Ȳn ) − (µx − µy )
v
u
u
t
1
1
σ
+
m n
∼ N(0, 1)
Problem dwóch prób: X∼ N(µx ,σx ), Y ∼N(µy ,σy )
(3) Porównanie średnich, σx = σy = σ – nieznane
(X̄m − Ȳn ) − (µx − µy )
s
σ
∼ N(0, 1)
1
1
+
m n
nSy2
mSx2 + nSy2
mSx2
2
2
∼
χ
,
∼
χ
,
∼ χ2m+n−2
m−1
n−1
σ2
σ2
σ2
Problem dwóch prób: X∼ N(µx ,σx ), Y ∼N(µy ,σy )
(3) Porównanie średnich, σx = σy = σ – nieznane
(X̄m − Ȳn ) − (µx − µy )
r
mSx2 +nSy2
m+n−2
1
m
+
1
n
∼ tm+n−2
Obszar krytyczny testu hipotezy H : µx = µy , K : µx 6= µy :
X̄
−
Ȳ
α
m
n
r
mS 2 +nS 2 > tm+n−2 (1 − 2 )
x
y
1
1 m+n−2
m + n Problem dwóch prób: X∼ N(µx ,σx ), Y ∼N(µy ,σy )
(3) Porównanie średnich, σx = σy = σ – nieznane
Moc testu hipotezy H : µx = µy , K : µx 6= µy :
X̄
−
Ȳ
α
m
n
r
mS 2 +nS 2 > tm+n−2 (1 − 2 )
x
y
1
1 m+n−2
m + n Moc(µx , µy ) :
niecentralny test Studenta
(∗)
Problem dwóch prób: X∼ N(µx ,σx ), Y ∼N(µy ,σy )
(4) Porównanie średnich, σx = kσy , k – znane
(∗)
Problem dwóch prób: X∼ N(µx ,σx ), Y ∼N(µy ,σy )
(5) Porównanie średnich, σx , σy – nieznane
Problem dwóch prób: X∼ N(µx ,σx ), Y ∼N(µy ,σy )
(5) Porównanie średnich, σx , σy – nieznane
Problem Behrensa–Fishera
Problem dwóch prób: X∼ N(µx ,σx ), Y ∼N(µy ,σy )
(5) Porównanie średnich, σx , σy – nieznane
Problem Behrensa–Fishera
Jarosław Bartoszewicz (1996): Nie znaleziono dotychczas
dokładnego rozwiązania tego problemu, istnieją jedynie rozwiązania
przybliżone
Problem dwóch prób: X∼ N(µx ,σx ), Y ∼N(µy ,σy )
(5) Porównanie średnich, σx , σy – nieznane
TEST WELCHA
Statystyka t Studenta:
X̄m − Ȳn
r
Sx2
m−1
+
Sy2
n−1
Liczba stopni swobody:
ν=
R: Welch.R
1
c2
m−1
+
(1−c)2
n−1
,
c=
Sx2
m−1
Sx2
m−1
+
Sy2
n−1
(∗9)
Wyk5: tu koniec 2.XI.09