Document

1.PODZIELNOŚĆ LICZB CAŁKOWITYCH – PODSTAWOWE POJĘCIA.
Liczbami całkowitymi nazywamy liczby ciągu ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,... ,czyli nie tylko liczby naturalne
1,2,3,...(dodatnie całkowite), ale także zero oraz liczby całkowite ujemne -1,-2,-3,... .
Suma, różnica i iloczyn dwóch liczb całkowitych a i b jest także liczbą całkowitą, natomiast iloraz z
dzielenia a przez b ( o ile oczywiście b nie jest zerem ) może być zarówno całkowity jak i
niecałkowity. W przypadku gdy jest on całkowity i równy, powiedzmy q, piszemy:
a = bq
i mówimy , że a dzieli się przez b lub, że b dzieli a. Przy tym a nazywamy wielokrotnością liczby b,
zaś b – dzielnikiem liczby a. Fakt, że b dzieli a wyrażamy zapisem:
b | a.
Ogólnie zachodzi następujące twierdzenie: Każda liczba całkowita a może być przedstawiona
jednoznacznie przy użyciu dodatniej liczby całkowitej b w postaci:
a = bq + r, gdzie 0  r <b.
Liczba q jest ilorazem, a liczba r – resztą z dzielenia a przez b.
Przypomnimy jeszcze dwa twierdzenia o podzielności.
1.Jeśli a dzieli b i b dzieli c, to a dzieli c:
b = q1a i c = q2b  c = qa.
2.Jeśli liczba n dzieli każdą z liczb a i b, to n dzieli także sumę i różnicę tych liczb:
a = q1n i b = q2n  a + b = qn i a – b = q’n.
1. Liczba a = 42157 przy dzieleniu przez pewną dodatnią liczbę b daje iloraz q = 231.Znależć
liczbę b i resztę r.
2. Pokazać, że
m-p | mn + pq  m-p | mq + np.
3. Liczby n i b nie mają żadnych wspólnych dzielników oprócz 1. Wykazać, że
n | ad – bc i n | a – b  n | c – d.
4. Pewna pięciocyfrowa liczba jest podzielna przez 41. Przenosząc pierwszą cyfrę na koniec
dostajemy drugą liczbę. Powtarzając ten sam zabieg z drugą liczbą dostajemy trzecią, itd. W
sumie możemy w ten sposób zrobić cztery nowe liczby. Wykazać, że wszystkie one też dzielą się
przez 41.
5. Pokazać, że jeśli m. jest liczbą naturalną, to
30 | m5- m.
6. Pewna liczba sześciocyfrowa kończy się cyfrą 5. Po przeniesieniu tej cyfry na początek dostajemy
liczbę cztery razy większą od pierwotnej. Znależć tę liczbę.
7. Pokazać, że przy dowolnym naturalnym n
6 | n(n + 1) (2n + 1).
8. Wykazać, że
6 | n(n2 + 5), gdzie n – liczba naturalna.
9. Pokazać, że jeśli licznik ułamka jest różnicą kwadratów dwóch liczb nieparzystych, a mianownik
sumą kwadratów tychże, to można go skrócić przez 2, ale nie można przez 4.
10. Znależć, czterocyfrowy kwadrat, w którym pierwsza i trzecia cyfra są takie same, a druga jest o
większa od czwartej.
11. Pokazać, że suma kwadratów pięciu kolejnych liczb całkowitych nie może być kwadratem.
12. Wykazać, że liczba, która daje resztę 2,3,5,6 lub 8 z dzielenia przez 9 nie może być kwadratem.
13. Znależć wzór na sumę
Sn = 7 + 77 + 777 + ... + 77...7n cyferek
14. Pokazać, że każda liczba postaci
n
22 + 1, n>1, kończy się cyfrą 7.
15. Pokazać, że każda z liczb 48, 4488, 444888,... jest iloczynem dwóch kolejnych liczb parzystych.
2