„Co o liczbach wie gimnazjalista”

„Co o liczbach wie gimnazjalista” – część pierwsza
Liczby naturalne:
Zbiór liczb naturalnych oznaczamy dużą literą alfabetu N.
Dowolną liczbę naturalną małą literą alfabetu n.
Już w przedszkolu dzieci posługują się liczbami naturalnymi, przeliczając różne elementy
danego zbioru. W encyklopedii można przeczytać, że liczba, to twór służący do oznaczania
liczebności wyznaczonych partii przedmiotów. Największy problem sprawia interpretacja
liczby zero, bo co to znaczy mieć 0 cukierków. Dlatego często dochodzi do sporów, czy jest
to liczba naturalna, czy nie. Zero jest liczbą naturalną.
N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...
W danym zbiorze liczbowym można wykonać takie działania jak: dodawanie,
odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Nie wszystkie z tych działań są wykonywalne w zbiorze
N. Działanie jest wykonywalne w danym zbiorze liczbowym, jeśli wynik tego działania
znajduje się w tym zbiorze. Każde dodawanie i mnożenie liczb naturalnych, ma wynik w
zbiorze N. 2 – 8 nie ma wyniku w zbiorze N, również 1 : 5 nie ma wyniku w zbiorze N.
Zatem odejmowanie i dzielenie nie jest wykonywalne w zbiorze liczb naturalnych.
Ciekawostki:
Każda liczba naturalna jest zapisana za pomocą cyfr ( tak jak wyrazy za pomocą liter ). Nasz system
liczbowy posługuje się cyframi arabskimi. Znacie również cyfry rzymskie:
1–I
8 – VIII
14 - XIV 100 - C
1000 - M
2 – II
9 – IX
40 - XL 400 - CD 1900 - CM
5–V
10 – X
50 – L
500 – D
1949 - CMXLIX
!!Zadania
Zapisz w systemie rzymskim: rok bitwy pod Grunwaldem, rok urodzenia, dzisiejszą datę.
Cyfry arabskie : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Do zapisywania liczb w systemie dziesiątkowym używamy wszystkich
dziesięciu cyfr.
Nasz system zapisywania liczb jest dziesiątkowy i pozycyjny.
Gdy utworzymy tabelkę, w której każda kolumna – to pozycja a zatem i wartość danej cyfry,
możemy łatwo ją odczytać
Wartość 104 = 10000 103 = 1000
danej
kolumny
cyfra
3
6
102 = 100 101 =10 100 = 1
8
Liczymy wartość tej liczby:
3. 104 + 6. 103 + 8. 102 + 0. 101+ 9. 100 = 36809 lub
3. 10000 + 6. 1000 + 8. 100 + 0. 10+ 9. 1 = 36809
Zapiszemy używając tego zapisu:
0
9
136 = 1. 102 + 3. 101 + 6. 100
4205 = 4. 103 + 2. 102 + 0. 101 + 5. 100
Inne systemy liczbowe:
System dwójkowy: do zapisu liczb używamy tylko cyfr: 0 i 1.
Wartość
danej
kolumny
cyfra
24 = 16
23 = 8
22 = 4
21 =2
20 = 1
1
1
1
0
1
Liczymy wartość tej liczby:
11101(2) = 1. 24 + 1. 23 + 1. 22 + 0. 21+ 1. 20 = 29(10)
lub
1. 16 + 1. 8 + 1. 4 + 0. 2+ 1. 1 = 29(10)
System trójkowy: do zapisu liczb używamy cyfr: 0, 1, 2.
Wartość
danej
kolumny
cyfra
34 = 81
33 = 27
32 = 9
31 =3
30 = 1
2
1
0
2
1
Liczymy wartość tej liczby:
21021(3) = 2. 34 + 1. 33 + 0. 32 + 2. 31+ 1. 30 = 169(10)
lub 2. 81 + 1. 27 + 0. 9 + 2. 3+ 1. 1 = 169(10)
System piątkowy: do zapisu liczb używamy cyfr: 0, 1, 2, 3, 4.
Wartość
danej
kolumny
cyfra
53 = 125
52 = 25
51 =5
50 = 1
1
2
4
3
Liczymy wartość tej liczby:
1243(5) = 1. 53 + 2. 52 + 4. 51+ 3. 50 = 198(10)
lub
1. 125 + 2. 25 + 4. 5+ 3. 1 = 198(10)
!!Zadania
Zapisz w systemie dziesiątkowym następujące liczby: 1111110(2) , 10221(3), 4331(5)
To nie jest trudne, jeśli tylko poćwiczysz. Można również liczby zapisane w systemie
dziesiątkowym przedstawić w
innym systemie.
. 1
23(10) = 4 5 + 3. 50 = 43(5)
23(10) = 2. 32 + 1. 31+ 2. 30= 212(3)
23(10) = 1. 24 + 0. 23 + 1. 22 + 1. 21+ 1. 20 = 10111(2)
Można również skorzystać z prostego sposobu: liczbę 23 zapiszemy w różnych systemach
liczbowych. Metoda ta jest często stosowana i nie jest trudna:
23: 5 = 4 reszty 3
4: 5= 0 reszty 4
reszty z dzielenia zapisane od dołu dadzą zapis tej liczby w systemie
piątkowym 43(5).
23 : 3 = 7 reszty 2
7 : 3 = 2 reszty 1
2 : 3 = 0 reszty 2
reszty z dzielenia zapisane od dołu dadzą zapis tej liczby w systemie
trójkowym 212(3) .
23 : 2 = 11 reszty 1
11 : 2 = 5 reszty 1
5 : 2 = 2 reszty 1
2 : 2 = 1 reszty 0
1 : 2 = 0 reszty 1
reszty z dzielenia zapisane od dołu dadzą zapis tej liczby w systemie
dwójkowym 10111(2).
!!Zadania
Zapisz w systemie piątkowym następujące liczby: 13(10), 33(10),76(10).
Zapisz w systemie trójkowym następujące liczby: 25(10), 47(10), 123(10).
Zapisz w systemie dwójkowym następujące liczby: 6(10), 15(10), 34(10).
Oś liczbowa - to linia prosta, z wyznaczonym kierunkiem wzrastania liczb, oraz
odcinkiem jednostkowym.
Odcinek jednostkowy
0
1
Liczby na osi liczbowej stoją w odległości wyznaczonej przez odcinek jednostkowy.
Pomiędzy 3 a 4 jest taka sama odległość jak między 12 a 13 i zawsze wynosi tyle, jaką
długość ma ten odcinek ( sami ustalamy jego długość ).
Jeżeli na osi liczbowej zaznaczymy n, to następna za tą liczbą jest liczba n + 1, a liczba
stojąca przed n , to liczba n – 1. W bardzo prosty sposób udowodnimy, że nie ma największej
liczby naturalnej. Jeżeli ktoś powiedziałby, że taka liczba istnieje, to wystarczy do niej dodać
1 i już podana wcześniej nie jest to liczbą największą.
Liczby naturalne możemy podzielić na liczby pierwsze i złożone.
Liczby pierwsze, to takie liczby, które mają tylko dwa podzielniki: 1 i samą siebie.
Znajdziemy je wykorzystując sito, które z liczb naturalnych wyłowi nam tylko liczby
pierwsze.
Liczba 0 nie jest liczbą pierwszą, bo dzieli się przez każdą liczbę naturalną. Ma zatem
nieskończenie wiele dzielników.
Liczba 1 nie jest liczbą pierwszą, bo ma tylko jeden dzielnik.
Liczba 2 jest, a jej wielokrotności nie, wykreślamy je z naszej tabeli.
Liczba 3 jest, a jej wielokrotności nie, wykreślamy je z naszej tabeli.
Postępujemy tak z każdą następną liczbą.
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Zatem liczbami pierwszymi są liczby: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...
Liczby złożone mają więcej niż dwa dzielniki, ale skończoną ich ilość.
Stąd liczba 0 i 1 nie są ani liczbami pierwszymi ani złożonymi.
Liczbą złożoną jest liczba wykreślona z tabeli. Każdą liczbę złożoną można
przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych.
Liczbę 12 można przedstawić: 12 = 2. 2 .3
Możemy zastosować inną metodę do zapisu liczby w postaci iloczynu liczb
pierwszych – rozkład liczby na czynniki pierwsze
342 2
171 3
57 57
1
270 3
342 = 2 3 57
90 3
270 = 3. 3. 3. 2. 5 = 33. 2. 5
30 3
10 2
5 5
1
Warto również przypomnieć sobie cechy podzielności liczb.
1. liczba dzieli się przez 2, jeżeli jej ostatnią cyfrą jest jedna z tych cyfr: 0, 2, 4, 6, 8
2. liczba dzieli się przez 5, jeżeli jej ostatnią cyfrą jest jedna z tych cyfr: 0 lub 5
3. liczba dzieli się przez 10, jeżeli jej ostatnią cyfrą jest 0
4. liczba dzieli się przez 100, jeżeli jej dwie ostatnie cyfry to: 00
5. liczba dzieli się przez 25, jeżeli jej dwie ostatnie cyfry to: 00, 25, 50, 75
6. liczba dzieli się przez 4, jeżeli jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4 (
np. 04, 08, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...)
7. liczba dzieli się przez 3, jeżeli suma wszystkich cyfr jest liczbą podzielną przez 3 ( np.
333102 dzieli się przez 3, ponieważ 3 + 3 + 3 + 1 + 0 + 2 = 12, a liczba 12 dzieli się przez
3)
8. liczba dzieli się przez 9, jeżeli suma wszystkich cyfr jest liczbą podzielną przez 9 ( np.
3331026 dzieli się przez 3, ponieważ 3 + 3 + 3 + 1 + 0 + 2 + 6 = 18, a liczba 18 dzieli się
przez 9 )
.
.
Liczby podzielne przez dwa, to liczby parzyste.
2n – wzór na liczbę parzystą, gdzie n oznacza dowolną liczbę naturalną,
na osi liczbowej stoi ona pomiędzy liczbami nieparzystymi,
2n – 2, 2n – 1, 2n, 2n + 1, 2n + 2, liczby nieparzyste są podkreślone.
2n + 1– wzór na liczbę nieparzystą, gdzie n oznacza dowolną liczbę naturalną
!!Zadania
Zapisz wyrażenie algebraiczne, które będzie:
 sumą liczby parzystej i nieparzystej, jaką liczbę otrzymaliśmy?
 umą trzech kolejnych liczb parzystych, jaką liczbę otrzymaliśmy ?.
Liczby podzielne przez trzy, to wielokrotności liczby 3.
3n – wzór na liczbę podzielną przez 3, gdzie n oznacza dowolną liczbę naturalną,
Liczby podzielne przez pięć, to wielokrotności liczby 5.
5n – wzór na liczbę podzielną przez 5, gdzie n oznacza dowolną liczbę naturalną,
Jeżeli liczba nie dzieli się przez 5, to gdy ją podzielimy na 5, zostanie nam reszta.
Np. 23 : 5 = 4 reszty 3, sprawdzamy 4 . 5 + 3 = 23
k : 5 = n reszty 3, zatem
k = 5n + 3 i jest to liczba, która przy dzieleniu przez 5 daje reszty 3.
x = 11n + 5 - x to liczba, która przy dzieleniu przez 11 daje reszty 5
Zapisz liczbę k, która przy dzieleniu przez 9 daje resztę 2.
!!Zadania
1.Licz w pamięci:
1. 500. 700 =
2. 16 . 19 =
3. 28 . 5 =
4. 4628. 5 =
5. 12000 : 6000 =
6. 428642 : 2 =
7. 86 000 : 20 =
2. Znajdź NWD liczb: 120 i 180, oraz 48, 64 i 72.
3. Znajdź NWW liczb: 120 i 180, oraz 200 i 125.
4. Wykonaj działania, pamiętając o kolejności:
[120 : 6 + 13000 : 10 - 6. 8]: 2 – (7: 7 + 160 : 10): 17=
To tyle o liczbach naturalnych. W następnym rozdziale zastanowimy się co zrobić,
aby można było zawsze wykonać odejmowanie, czyli poznamy liczby całkowite.