PROBLEM COLLATZA

Joanna Kamińska
Natalia Jarzębkowska
P
PR
RO
OB
BL
LE
EM
MC
CO
OL
LL
LA
AT
TZ
ZA
A
Problem Collatza (znany teŜ jako problem 3x+1, problem Ulama, problem
Kakutaniego, problem syrakuzański) to nie rozstrzygnięty dotychczas (i nie wiadomo, czy w ogóle
rozstrzygalny) problem o wyjątkowo prostym – jak wiele innych problemów teorii liczb – sformułowaniu. Nazwa pochodzi od
nazwiska niemieckiego matematyka Lothara Collatza.
Definicja ciągu Collatza:
Weźmy dowolną liczbę całkowitą dodatnią k. Jeśli liczba ta jest parzysta, dzielimy ją przez 2. Natomiast jeśli k jest
nieparzysta, mnoŜymy ją przez 3 i dodajemy 1.
Tak tworzymy ciąg:
c0 = k
 1
 2 cn , gdy cn parzysta

cn +1 = 
3c + 1 , gdy c nieparzyst a
n
 n

n = 0,1,2,...
Elementy ciągu Collatza są nazywane czasami „hailstone numbers”.
Przykłady:
•
Zaczynając od k = 6 mamy:
6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
•
Zaczynając od k = 11 mamy,
11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.
•
Zaczynając od k = 27 mamy:
27 , 82 , 41 , 124 , 62 , 31 , 94 , 47 , 142 , 71 , 214 , 107 , 322 , 161 , 484 , 242 , 121 , 364 , 182, 91 ,
274 , 137 , 412 , 206 , 103 , 310 , 155 , 466 , 233 , 700 , 350 , 175 , 526 , 263 , 790 , 395 , 1186 ,
593, 1780 , 890 , 445 , 1336 , 668 , 334, 167 , 502 , 251 , 754 , 377 , 1132 , 566 , 283 , 850 , 425 ,
1276 , 638 , 319 , 958 , 479 , 1438 , 719 , 2158 , 1079 , 3238 , 1619 , 4858 , 2429 , 7288 , 3644 ,
1822 , 911 , 2734 , 1367 , 4102 , 2051 , 6154 , 3077 , 9232 , 4616 , 2308 , 1154 , 577 , 1732 , 866 ,
433 , 1300 , 650 , 325 , 976 , 488 , 244 , 122 , 61 , 184 , 92 , 46 , 23 , 70 , 35 , 106 , 53 , 160 , 80 ,
40 , 20 , 10 , 5 , 16 , 8 , 4 , 2 , 1
Nie znaleziono Ŝadnych zaleŜności między liczbą początkową k a długością ciągu:
np. k = 27 cały proces zajmuje aŜ 111 kroków z maksymalną wartością 9232,
k = 256 mamy tylko 8 kroków a maksymalna wartość to 256.
Ciekawą jest takŜe fakt, Ŝe dla niektórych liczb następujących po sobie (np. 340 i 341) potrzeba takiej samej liczby kroków by
otrzymać 1, a dla innych (np. 46 i 47) ilość kroków jest zupełnie róŜna (odpowiednio 16 i 104).
Hipoteza Collatza:
„Nie waŜne od jakiej liczby całkowitej dodatniej byśmy nie wystartowali, to
i tak dostaniemy 1”
Wykazano prawdziwość hipotezy Collatza dla liczb c0 aŜ do 3×253 (prawie 2.70216 × 1016). Granicę tę w lutym 2004r.
przesunięto do 258 (ponad 2.8823 × 1017), jednak dla ogólnego przypadku problem nadal pozostaje nierozstrzygnięty.
Są dwa moŜliwe warianty rozwiązania negatywnego:
•
•
ciąg cn wpada w cykl;
ciąg cn jest rozbieŜny do nieskończoności.
Paul Erdıs wypowiedział o problemie Collatza słynne zdanie:
„Matematyka nie jest jeszcze gotowa na takie problemy”.
Niewątpliwie świadczy to o złoŜoności ewentualnego rozwiązania, z drugiej strony kontrast pomiędzy ową złoŜonością a
prostotą sformułowania jest intrygujący.
Uogólnienie problemu Collatza na liczby całkowite ujemne ( k ∈ Z )
Jak dotąd wykryto cztery cykle (pętle) tego typu:
•
0
•
-1, -2, -1
•
-5,-14,-7,-20,-10,-5
•
-17,-50,-25,-74,-37,-110,-55,-164,-82,-41,-122,-61,-182,-91,-272, -136,-68. -34, -17
(cykl trywialny)
Tablica ciągów Collatza dla c0 od 1 do 50
Program generujący ciągi Collatza:
http://did.mat.uni-bayreuth.de/personen/wassermann/fun/3np1_e.html
BIBLIOGRAFIA:
http://www.cdjj.org/miscellany/Collatz_Algorithm.pdf
http://mathworld.wolfram.com/CollatzProblem.html
http://pl.wikipedia.org/wiki/Problem_Collatza
http://en.wikipedia.org/wiki/Collatz_conjecture