Liczby zespolone

Liczby zespolone
C := R2 .
R2 3 (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a · (1, 0) + b · (0, 1).
R ⊂ C,
R 3 x ↔ (x, 0) ∈ C.
i := (0, 1),
1 = (1, 0)
(a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a + bi.
R2 3 (a, b) = z = a + bi ∈ C.
a- cz˛eść rzeczywista liczby zespolonej z, <ez = a
b-cz˛eść urojona liczby zespolonej z, =mz = b.
Liczby rzeczywiste: x = (x, 0) = x + 0i.
Liczby zespolone
Liczby zespolone
C := R2 .
R2 3 (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a · (1, 0) + b · (0, 1).
R ⊂ C,
R 3 x ↔ (x, 0) ∈ C.
i := (0, 1),
1 = (1, 0)
(a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a + bi.
R2 3 (a, b) = z = a + bi ∈ C.
a- cz˛eść rzeczywista liczby zespolonej z, <ez = a
b-cz˛eść urojona liczby zespolonej z, =mz = b.
Liczby rzeczywiste: x = (x, 0) = x + 0i.
Liczby zespolone
Liczby zespolone
C := R2 .
R2 3 (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a · (1, 0) + b · (0, 1).
R ⊂ C,
R 3 x ↔ (x, 0) ∈ C.
i := (0, 1),
1 = (1, 0)
(a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a + bi.
R2 3 (a, b) = z = a + bi ∈ C.
a- cz˛eść rzeczywista liczby zespolonej z, <ez = a
b-cz˛eść urojona liczby zespolonej z, =mz = b.
Liczby rzeczywiste: x = (x, 0) = x + 0i.
Liczby zespolone
Liczby zespolone
C := R2 .
R2 3 (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a · (1, 0) + b · (0, 1).
R ⊂ C,
R 3 x ↔ (x, 0) ∈ C.
i := (0, 1),
1 = (1, 0)
(a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a + bi.
R2 3 (a, b) = z = a + bi ∈ C.
a- cz˛eść rzeczywista liczby zespolonej z, <ez = a
b-cz˛eść urojona liczby zespolonej z, =mz = b.
Liczby rzeczywiste: x = (x, 0) = x + 0i.
Liczby zespolone
Liczby zespolone
C := R2 .
R2 3 (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a · (1, 0) + b · (0, 1).
R ⊂ C,
R 3 x ↔ (x, 0) ∈ C.
i := (0, 1),
1 = (1, 0)
(a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a + bi.
R2 3 (a, b) = z = a + bi ∈ C.
a- cz˛eść rzeczywista liczby zespolonej z, <ez = a
b-cz˛eść urojona liczby zespolonej z, =mz = b.
Liczby rzeczywiste: x = (x, 0) = x + 0i.
Liczby zespolone
Liczby zespolone
C := R2 .
R2 3 (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a · (1, 0) + b · (0, 1).
R ⊂ C,
R 3 x ↔ (x, 0) ∈ C.
i := (0, 1),
1 = (1, 0)
(a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a + bi.
R2 3 (a, b) = z = a + bi ∈ C.
a- cz˛eść rzeczywista liczby zespolonej z, <ez = a
b-cz˛eść urojona liczby zespolonej z, =mz = b.
Liczby rzeczywiste: x = (x, 0) = x + 0i.
Liczby zespolone
Liczby zespolone
C := R2 .
R2 3 (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a · (1, 0) + b · (0, 1).
R ⊂ C,
R 3 x ↔ (x, 0) ∈ C.
i := (0, 1),
1 = (1, 0)
(a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a + bi.
R2 3 (a, b) = z = a + bi ∈ C.
a- cz˛eść rzeczywista liczby zespolonej z, <ez = a
b-cz˛eść urojona liczby zespolonej z, =mz = b.
Liczby rzeczywiste: x = (x, 0) = x + 0i.
Liczby zespolone
Płaszczyzna zespolona
Liczby zespolone
Płaszczyzna zespolona
Liczby zespolone
Płaszczyzna zespolona
Liczby zespolone
Płaszczyzna zespolona
Liczby zespolone
Płaszczyzna zespolona
Liczby zespolone
Moduł liczby zespolonej
|z| = odległość z od 0.
p
z = a + bi = (a, b) ⇒ |z| = a2 + b2 .
Liczby zespolone
Moduł liczby zespolonej
|z| = odległość z od 0.
p
z = a + bi = (a, b) ⇒ |z| = a2 + b2 .
Liczby zespolone
Moduł liczby zespolonej
|z| = odległość z od 0.
p
z = a + bi = (a, b) ⇒ |z| = a2 + b2 .
Liczby zespolone
Moduł liczby zespolonej
|z| = odległość z od 0.
p
z = a + bi = (a, b) ⇒ |z| = a2 + b2 .
Liczby zespolone
Moduł liczby zespolonej
|z| = odległość z od 0.
p
z = a + bi = (a, b) ⇒ |z| = a2 + b2 .
Liczby zespolone
argument liczby zespolonej 6= 0
Twierdzenie
Niech z = x + yi ∈ C, z 6= 0. Istnieje dokładnie jedna liczba
φ ∈ [0, 2π), dla której
sin ϕ =
y
,
|z|
cos ϕ =
x
.
|z|
Liczbe˛ te˛ nazywamy argumentem głównym liczby zespolonej z
i oznaczamy Arg z.
Liczby zespolone
Argument liczby zespolonej
Liczby zespolone
Argument liczby zespolonej
Liczby zespolone
Argument liczby zespolonej
Liczby zespolone
argument liczby zespolonej 6= 0
Twierdzenie
Niech z = x + yi ∈ C. Jeśli Arg z = ϕ, to
sin(ϕ + 2k π) =
y
,
|z|
cos(ϕ + 2k π) =
Argumentem liczby zespolonej z nazywamy zbiór
{ϕ + 2k π, k ∈ Z} i oznaczamy arg z.
Liczby zespolone
x
.
|z|
argument liczby zespolonej
Liczby zespolone
argument liczby zespolonej
Liczby zespolone
argument liczby zespolonej
Liczby zespolone
dodawanie liczb zespolonych
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Liczby zespolone
odejmowanie liczb zespolonych
(a, b) − (c, d) = (a − c, b − d)
(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
Liczby zespolone
odejmowanie liczb zespolonych
(a, b) − (c, d) = (a − c, b − d)
(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
Liczby zespolone
odejmowanie liczb zespolonych
(a, b) − (c, d) = (a − c, b − d)
(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
Liczby zespolone
mnożenie liczb zespolonych
(a, b) · (c, d) := (ac − bd, ad + bc)
i 2 = (0, 1) · (0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1, 0 · 1 + 1 · 0) = (−1, 0) = −1
(a + bi) · (c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 = (ac − bd) + (ad + bc)i
Liczby zespolone
mnożenie liczb zespolonych
(a, b) · (c, d) := (ac − bd, ad + bc)
i 2 = (0, 1) · (0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1, 0 · 1 + 1 · 0) = (−1, 0) = −1
(a + bi) · (c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 = (ac − bd) + (ad + bc)i
Liczby zespolone
mnożenie liczb zespolonych
(a, b) · (c, d) := (ac − bd, ad + bc)
i 2 = (0, 1) · (0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1, 0 · 1 + 1 · 0) = (−1, 0) = −1
(a + bi) · (c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 = (ac − bd) + (ad + bc)i
Liczby zespolone
dzielenie liczb zespolonych
a+bi
c+di
dla a, b, c, d ∈ R, (c, d) 6= (0, 0)
(a, b) : (c, d) = (
ac + bd −ad + bc
,
)
c2 + d 2 c2 + d 2
a + bi
ac + bd
−ad + bc
= 2
+ 2
i
2
c + di
c +d
c + d2
Liczby zespolone
dzielenie liczb zespolonych
a+bi
c+di
dla a, b, c, d ∈ R, (c, d) 6= (0, 0)
(a, b) : (c, d) = (
ac + bd −ad + bc
,
)
c2 + d 2 c2 + d 2
a + bi
ac + bd
−ad + bc
= 2
+ 2
i
2
c + di
c +d
c + d2
Liczby zespolone
sprz˛eżenie liczby zespolonej
sprz˛eżenie liczby zespolonej
Liczbe˛ z̄ := (x, −y ) = x − yi nazywamy liczba˛ sprz˛eżona˛ do
liczby z = x + yi.
z z̄ = |z|2
z z̄ = (x + yi)(x − yi) = x 2 − y 2 i 2 = x 2 + y 2 = |z|2 .
a + bi
(a + bi)(c − di)
=
=
c + di
(c + di)(c − di)
ac − adi + bci + bd
ac + bd
−ad + bc
= 2
+ 2
i.
c2 + d 2
c + d2
c + d2
Liczby zespolone
sprz˛eżenie liczby zespolonej
sprz˛eżenie liczby zespolonej
Liczbe˛ z̄ := (x, −y ) = x − yi nazywamy liczba˛ sprz˛eżona˛ do
liczby z = x + yi.
z z̄ = |z|2
z z̄ = (x + yi)(x − yi) = x 2 − y 2 i 2 = x 2 + y 2 = |z|2 .
a + bi
(a + bi)(c − di)
=
=
c + di
(c + di)(c − di)
ac − adi + bci + bd
ac + bd
−ad + bc
= 2
+ 2
i.
c2 + d 2
c + d2
c + d2
Liczby zespolone
sprz˛eżenie liczby zespolonej
sprz˛eżenie liczby zespolonej
Liczbe˛ z̄ := (x, −y ) = x − yi nazywamy liczba˛ sprz˛eżona˛ do
liczby z = x + yi.
z z̄ = |z|2
z z̄ = (x + yi)(x − yi) = x 2 − y 2 i 2 = x 2 + y 2 = |z|2 .
a + bi
(a + bi)(c − di)
=
=
c + di
(c + di)(c − di)
ac − adi + bci + bd
ac + bd
−ad + bc
= 2
+ 2
i.
c2 + d 2
c + d2
c + d2
Liczby zespolone
postać trygonometryczna liczby zespolonej (różnej od
0)
z = x + yi = |z|(
x
y
+
i) =
|z| |z|
= |z|(cos ϕ + i sin ϕ),
gdzie ϕ ∈ arg z.
przykłady
3 = 3(cos 0 + i sin 0),
i = 1(cos (π/2)
√ + i sin (π/2)),
−2 − 2i = 2 2(cos(5/4π) + i sin(5/4π).
Liczby zespolone
postać trygonometryczna liczby zespolonej (różnej od
0)
z = x + yi = |z|(
x
y
+
i) =
|z| |z|
= |z|(cos ϕ + i sin ϕ),
gdzie ϕ ∈ arg z.
przykłady
3 = 3(cos 0 + i sin 0),
i = 1(cos (π/2)
√ + i sin (π/2)),
−2 − 2i = 2 2(cos(5/4π) + i sin(5/4π).
Liczby zespolone
mnożenie liczb zespolonych danych w postaci
trygonometrycznej
Niech z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ)
w = |w|(cos ψ + i sin ψ).
Wtedy
z · w = |z||w|(cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)).
Liczby zespolone
dzielenie liczb zespolonych danych w postaci
trygonometrycznej
Niech z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ)
w = |w|(cos ψ + i sin ψ), w 6= 0.
Wtedy
|z|
z
=
(cos(ϕ − ψ) + i sin(ϕ − ψ)).
w
|w|
Liczby zespolone
potegowanie
˛
liczby zespolonych danej w postaci
trygonometrycznej
Niech z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ).
Wtedy
z n = (|z|)n (cos(nϕ) + i sin(nϕ)).
przykład
(1 + i)3 =
Liczby zespolone
potegowanie
˛
liczby zespolonych danej w postaci
trygonometrycznej
Niech z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ).
Wtedy
z n = (|z|)n (cos(nϕ) + i sin(nϕ)).
przykład
(1 + i)3 =
Liczby zespolone
potegowanie
˛
liczby zespolonych danej w postaci
trygonometrycznej
Niech z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ).
Wtedy
z n = (|z|)n (cos(nϕ) + i sin(nϕ)).
przykład
(1 + i)3 =13 + 3 · 12 · i + 3 · 1 · i 2 + i 3 =1 + 3i − 3 − i =−2 + 2i
Liczby zespolone
potegowanie
˛
liczby zespolonych danej w postaci
trygonometrycznej
Niech z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ).
Wtedy
z n = (|z|)n (cos(nϕ) + i sin(nϕ)).
przykład
(1 + i)3 =13 + 3 · 12 · i + 3 · 1 · i 2 + i 3 =1 + 3i − 3 − i =−2 + 2i
Liczby zespolone
potegowanie
˛
liczby zespolonych danej w postaci
trygonometrycznej
Niech z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ).
Wtedy
z n = (|z|)n (cos(nϕ) + i sin(nϕ)).
przykład
(1 + i)3 =13 + 3 · 12 · i + 3 · 1 · i 2 + i 3 =1 + 3i − 3 − i =−2 + 2i
Liczby zespolone
potegowanie
˛
liczby zespolonych danej w postaci
trygonometrycznej
Niech z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ).
Wtedy
z n = (|z|)n (cos(nϕ) + i sin(nϕ)).
przykład
√
√
3π
(1 + i)3 = ( 2(cos π4 + i sin π4 ))3 =( 2)3 (cos 3π
4 + i sin 4 ) =
√
√
√
2 2(− 22 + 22 ) =−2 + 2i.
Liczby zespolone
potegowanie
˛
liczby zespolonych danej w postaci
trygonometrycznej
Niech z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ).
Wtedy
z n = (|z|)n (cos(nϕ) + i sin(nϕ)).
przykład
√
√
3π
(1 + i)3 = ( 2(cos π4 + i sin π4 ))3 =( 2)3 (cos 3π
4 + i sin 4 ) =
√
√
√
2 2(− 22 + 22 ) =−2 + 2i.
Liczby zespolone
potegowanie
˛
liczby zespolonych danej w postaci
trygonometrycznej
Niech z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ).
Wtedy
z n = (|z|)n (cos(nϕ) + i sin(nϕ)).
przykład
√
√
3π
(1 + i)3 = ( 2(cos π4 + i sin π4 ))3 =( 2)3 (cos 3π
4 + i sin 4 ) =
√
√
√
2 2(− 22 + 22 ) =−2 + 2i.
Liczby zespolone
potegowanie
˛
liczby zespolonych danej w postaci
trygonometrycznej
Niech z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ).
Wtedy
z n = (|z|)n (cos(nϕ) + i sin(nϕ)).
przykład
√
√
3π
(1 + i)3 = ( 2(cos π4 + i sin π4 ))3 =( 2)3 (cos 3π
4 + i sin 4 ) =
√
√
√
2 2(− 22 + 22 ) =−2 + 2i.
Liczby zespolone
pierwiastek z liczby zespolonej
definicja
Pierwiastkiem n–tego stopnia z liczby zespolonej z nazywamy
zbiór rozwiaza
˛ ń równania w n = z.
Gdy z 6= 0 to jest dokładnie n rozwip
aza
˛ ń równania w n = z.
n
Wszystkie one maja˛ moduł równy |z|, a ich argumenty
z Arg z
2π Arg z
2π
wynosza,
˛ kolejno, Arg
n , n + n , n + 2 · n ,. . .,
Arg z
2π
n + (n − 1) · n . Pierwiastek n–tego stopnia tworzy na
płaszczyźnie zespolonej n–kat
˛ foremny o środku symetrii 0.
Liczby zespolone
pierwiastek zespolony
przykłady
√
2
2
√9 = {3, −3},bo 3 = 9 2i (−3) = 9. 2
−9 = {3i, −3i},bo
(3i) =
−9 i (−3i) = −9.
√
√
√
3
1
3 1
3
−1 = {−1, 2 + 2 i, 2 − 2 i}.
Liczby zespolone
pierwiastek zespolony
przykłady
√
2
2
√9 = {3, −3},bo 3 = 9 2i (−3) = 9. 2
−9 = {3i, −3i},bo
(3i) =
−9 i (−3i) = −9.
√
√
√
3
1
3 1
3
−1 = {−1, 2 + 2 i, 2 − 2 i}.
Liczby zespolone
pierwiastek zespolony
przykłady
√
2
2
√9 = {3, −3},bo 3 = 9 2i (−3) = 9. 2
−9 = {3i, −3i},bo
(3i) =
−9 i (−3i) = −9.
√
√
√
3
1
3 1
3
−1 = {−1, 2 + 2 i, 2 − 2 i}.
Liczby zespolone
pierwiastek zespolony
przykłady
√
2
2
√9 = {3, −3},bo 3 = 9 2i (−3) = 9. 2
−9 = {3i, −3i},bo
(3i) =
−9 i (−3i) = −9.
√
√
√
3
1
3 1
3
−1 = {−1, 2 + 2 i, 2 − 2 i}.
Liczby zespolone
pierwiastek zespolony
przykłady
√
2
2
√9 = {3, −3},bo 3 = 9 2i (−3) = 9. 2
−9 = {3i, −3i},bo
(3i) =
−9 i (−3i) = −9.
√
√
√
3
1
3 1
3
−1 = {−1, 2 + 2 i, 2 − 2 i}.
Liczby zespolone
√
3
−1
Liczby zespolone
√
4
−1
Liczby zespolone
Liczby zespolone, równania kwadratowe
Równanie z 2 = −a, gdzie a jest liczba˛ rzeczywista˛ dodatnia,
˛
ma dwa√rozwiazania
˛
w liczbach zespolonych:
z = ±i a.
Każde równanie kwadratowe o współczynnikach rzeczywistych
ma
albo dwa pierwiastki rzeczywiste (∆ > 0)
albo jeden pierwiastek rzeczywisty podwójny (∆ = 0)
albo dwa sprz˛eżone pierwiastki zespolone, gdy ∆ < 0, wtedy
równanie √
az 2 + bz + c =√0 ma rozwiazania:
˛
−b+i −∆
−b−i −∆
, z2 =
.
z1 =
2a
2a
Liczby zespolone
Liczby zespolone, równania kwadratowe
Równanie z 2 = −a, gdzie a jest liczba˛ rzeczywista˛ dodatnia,
˛
ma dwa√rozwiazania
˛
w liczbach zespolonych:
z = ±i a.
Każde równanie kwadratowe o współczynnikach rzeczywistych
ma
albo dwa pierwiastki rzeczywiste (∆ > 0)
albo jeden pierwiastek rzeczywisty podwójny (∆ = 0)
albo dwa sprz˛eżone pierwiastki zespolone, gdy ∆ < 0, wtedy
równanie √
az 2 + bz + c =√0 ma rozwiazania:
˛
−b+i −∆
−b−i −∆
, z2 =
.
z1 =
2a
2a
Liczby zespolone
Liczby zespolone, równania kwadratowe
Równanie z 2 = −a, gdzie a jest liczba˛ rzeczywista˛ dodatnia,
˛
ma dwa√rozwiazania
˛
w liczbach zespolonych:
z = ±i a.
Każde równanie kwadratowe o współczynnikach rzeczywistych
ma
albo dwa pierwiastki rzeczywiste (∆ > 0)
albo jeden pierwiastek rzeczywisty podwójny (∆ = 0)
albo dwa sprz˛eżone pierwiastki zespolone, gdy ∆ < 0, wtedy
równanie √
az 2 + bz + c =√0 ma rozwiazania:
˛
−b+i −∆
−b−i −∆
, z2 =
.
z1 =
2a
2a
Liczby zespolone
Liczby zespolone, równania kwadratowe
Równanie z 2 = −a, gdzie a jest liczba˛ rzeczywista˛ dodatnia,
˛
ma dwa√rozwiazania
˛
w liczbach zespolonych:
z = ±i a.
Każde równanie kwadratowe o współczynnikach rzeczywistych
ma
albo dwa pierwiastki rzeczywiste (∆ > 0)
albo jeden pierwiastek rzeczywisty podwójny (∆ = 0)
albo dwa sprz˛eżone pierwiastki zespolone, gdy ∆ < 0, wtedy
równanie √
az 2 + bz + c =√0 ma rozwiazania:
˛
−b+i −∆
−b−i −∆
, z2 =
.
z1 =
2a
2a
Liczby zespolone
Liczby zespolone, równania kwadratowe
Równanie z 2 = −a, gdzie a jest liczba˛ rzeczywista˛ dodatnia,
˛
ma dwa√rozwiazania
˛
w liczbach zespolonych:
z = ±i a.
Każde równanie kwadratowe o współczynnikach rzeczywistych
ma
albo dwa pierwiastki rzeczywiste (∆ > 0)
albo jeden pierwiastek rzeczywisty podwójny (∆ = 0)
albo dwa sprz˛eżone pierwiastki zespolone, gdy ∆ < 0, wtedy
równanie √
az 2 + bz + c =√0 ma rozwiazania:
˛
−b+i −∆
−b−i −∆
, z2 =
.
z1 =
2a
2a
Liczby zespolone
równanie kwadratowe
z 2 = −1
rozwiazanie:
˛
z = i lub z = −i.
z 2 + 2z + 5 = 0
√
∆ = 4 − 4 · 5 = −16, ∆ = {±4i},
z = −2−4i
= −1 − 2i lub z = −2+4i
= −1 + 2i.
2
2
Liczby zespolone
równanie kwadratowe
z 2 = −1
rozwiazanie:
˛
z = i lub z = −i.
z 2 + 2z + 5 = 0
√
∆ = 4 − 4 · 5 = −16, ∆ = {±4i},
z = −2−4i
= −1 − 2i lub z = −2+4i
= −1 + 2i.
2
2
Liczby zespolone
równanie kwadratowe
z 2 = −1
rozwiazanie:
˛
z = i lub z = −i.
z 2 + 2z + 5 = 0
√
∆ = 4 − 4 · 5 = −16, ∆ = {±4i},
z = −2−4i
= −1 − 2i lub z = −2+4i
= −1 + 2i.
2
2
Liczby zespolone
równanie kwadratowe
z 2 = −1
rozwiazanie:
˛
z = i lub z = −i.
z 2 + 2z + 5 = 0
√
∆ = 4 − 4 · 5 = −16, ∆ = {±4i},
z = −2−4i
= −1 − 2i lub z = −2+4i
= −1 + 2i.
2
2
Liczby zespolone
równanie kwadratowe
z 2 = −1
rozwiazanie:
˛
z = i lub z = −i.
z 2 + 2z + 5 = 0
√
∆ = 4 − 4 · 5 = −16, ∆ = {±4i},
= −1 − 2i lub z = −2+4i
= −1 + 2i.
z = −2−4i
2
2
Liczby zespolone
równanie kwadratowe
z 2 = −1
rozwiazanie:
˛
z = i lub z = −i.
z 2 + 2z + 5 = 0
√
∆ = 4 − 4 · 5 = −16, ∆ = {±4i},
= −1 − 2i lub z = −2+4i
= −1 + 2i.
z = −2−4i
2
2
Liczby zespolone
rozkładanie wielomianów na czynniki
Każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych stopnia n
można rozłożyć na iloczyn wielomianów stopnia pierwszego i,
ewentualnie,trójmianów kwadratowych z wyróżnikiem (∆)
ujemnym.
Każde równanie wielomianowe stopnia n ma dokładnie n
pierwiastków zespolonych, jeśli liczyć je z krotnościami.
Liczby zespolone
ez
ez := ex+yi = ex · eyi = ex (cos y + i sin y ).
Liczby zespolone
najpiekniejszy
˛
wzór matematyki
eπi + 1 = 0
Liczby zespolone
Zadania
1. Oblicz
a) (1 − 3i) + (3 − 4i) =
b) (2 − 5i)(3 + 2i) =
c) 1+3i
2−i =
2. Rozwiaż
˛ równania kwadratowe w liczbach zespolonych
a) z 2 = −4
b) z 2 + z + 2 = 0
3. Oblicz
a) e2πi =
b) e−1+(π/4)i
Liczby zespolone