Algebra babilośnska.

POLITECHNIKA ×ÓDZKA
Wydzia÷Fizyki Technicznej, Informatyki i Matematyki Stosowanej
Kierunek:
Matematyka
Specjalność: Matematyka Finansowa i Ubezpieczeniowa
Monika Winkler
nr albumu: 116928
Algebra babilońska.
Praca magisterska napisana w Instytucie Matematyki
pod kierunkiem dr hab. Jana Kubarskiego, prof. P×
×ódź, wrzesień 2007
1
Spis treści
Wstep
¾
3
1 Wiadomości ogólne
7
1.1 Historia Babilonii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Źród÷
a wiedzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Powstanie pisma klinowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Arytmetyka babilońska
2.1 Numeracje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Numeracja dziesietno-szóstkowa
¾
. . . . . . .
2.1.2 Numeracja dziesietna
¾
niepozycyjna . . . . .
2.1.3 Numeracja sześćdziesietna
¾
pozycyjna . . . .
2.2 Dzia÷
ania arytmetyczne w numeracji sześćdziesietnej
¾
2.2.1 Dodawanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Odejmowanie . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Mnoz·enie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Dzielenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Pierwiastkowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Babiloński algorytm pierwiastkowania . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3 Algebra babilońska
3.1 Typy równań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Metody rozwiazywania
¾
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Przyk÷
ady z rozwiazaniami
¾
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Równania kwadratowe . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Uk÷
ady równań stopnia drugiego dwu zmiennych . . .
3.3.3 Uk÷
ady równań stopnia drugiego trzech i czterech
zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Tabliczki z seriami uk÷
adów równań kwadratowych .
Literatura
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
15
15
15
16
17
20
20
20
21
24
28
33
.
.
.
.
.
39
39
40
45
46
51
. 67
. 71
79
2
Wstep
¾
Mówiac
¾ o matematyce babilońskiej mamy na myśli matematyk¾
e uprawiana¾
w staroz·ytnej Mezopotamii - kraju po÷
oz·onym miedzy
¾
Eufratem i Tygrysem,
obejmujacym
¾
z grubsza teren dzisiejszego Iraku. Mimo, z·e do końca jeszcze
nie odkryta juz· dziś zaskakuje nas swoimi osiagni
¾ eciami.
¾
To tu po raz pierwszy powsta÷system sześćdziesietny
¾
oparty na zasadzie
pozycyjnej i, później, pos÷
ugujacy
¾ sie¾ symbolem zera. Podczas, gdy Egipcjanie kaz·da¾ wyz·sza¾ jednostk¾
e oznaczali przez nowy symbol, Sumerowie staroz·ytny lud Mezopotamii - uz·ywali tego samego symbolu, lecz wartość
jego oznaczali przy pomocy jego po÷
oz·enia. System ten nie róz·ni sie¾ w istocie od naszego systemu, lecz ogromnie u÷
atwia÷rachunki. Zarówno uk÷
ad
sześćdziesietny,
¾
jak i uk÷
ad pozycyjny, pozosta÷
y na zawsze w÷
asnościa¾ludzkości.
Obecny podzia÷godziny na 60 minut i 3600 sekund pochodzi od Sumerów,
podobnie jak podzia÷ko÷
a na 360 stopni.
Z poznanych dotad
¾ tekstów sadzić
¾
moz·na, iz· nauka ta osiagn
¾ e÷
¾ a poziom
daleko wyz·szy niz· matematyka egipska. Juz· najstarsze teksty datujace
¾ sie¾
z okresu późnosumeryjskiego (ok. 2100 r. p.n.e.) wykazuja¾ wysoka¾ sztuk¾
e rachunkowa.
¾ Podczas, gdy Egipcjanie umieli rozwiazywać
¾
tylko proste
równania liniowe, Babilończycy tego okresu (ok.1950r. p.n.e.) ca÷
kowicie
opanowali technik¾
e pos÷
ugiwania sie¾ równaniami kwadratowymi. Rozwiazy¾
wali oni równania i uk÷
ady równań liniowych i kwadratowych, o których
bedzie
¾
mowa w tej pracy, a nawet zadania zawierajace
¾ proste równania sześcienne i dwukwadratowe.
Jeśli wspomnimy jeszcze o uz·ywaniu w pe÷
nej wersji twierdzenia Pitagorasa i odkryciu poczatków
¾
nauki o wielokatach
¾
foremnych w geometrii, obliczaniu pól prostych …gur geometrycznych oraz znajomości wzorów (jednych
poprawnych, innych nie) na objetości
¾
bry÷
, to znaczenie tych osiagni
¾ eć
¾ nie
moz·e budzić watpliwości.
¾
Nie podlega zatem dyskusji stwierdzenie, z·e matematyka staroz·ytnego
Babilonu, pomimo iz· daleka od idea÷
u matematyki wspó÷
czesnej, mia÷
a istotny wp÷
yw na późniejszy rozwój tej nauki. Staroz·ytni Grecy, którym przypisywane sa¾najwieksze
¾
zas÷
ugi w dziedzinie matematyki dedukcyjnej, zaczeli
¾
od badania tych problemów, którymi Babilończycy zajmowali sie¾ od dawna w÷
asności trójkatów
¾
prostokatnych,
¾
wielokatów
¾
foremnych, twierdzenia Pitagorasa i zagadnienia liczb pitagorejskich, zadań na równania kwadratowe.
Matematyka babilońska doczeka÷
a sie¾ licznych opracowań, obejmuja¾ one
szeroki zakres zagadnień, takich jak opis ca÷
ego dorobku matematycznego,
3
analize¾ poszczególnych problemów, interpretacje¾ treści pojedynczych tabliczek
i zadań wraz z analiza¾ zastosowanych metod rozwiazania.
¾
Wiele zagadnień
jest zaczatkiem
¾
dyskusyjnych tematów.
W niniejszej pracy poznamy po krótce historie¾ Babilonu i analizujac
¾
matematyczne tabliczki gliniane dowiemy sie¾ jak powsta÷
y liczby i dzia÷
ania
arytmetyczne oraz zg÷
ebimy
¾
kwestie¾ rozwiazywania
¾
równań. Aby zrozumieć
zapisy uz·yte w pracy, nauczymy sie¾ pisma klinowego oraz zapisu liczb w
systemie sześćdziesietnym.
¾
W pierwszym i drugim rozdziale, w oparciu o prace Sz. Wekslera [16]
(str.30-40), A. Aaboe [2] (str.9-33), A.P. Juszkiewicza [12] (str.42), S. Kulczyckiego [13] (str.27-35), O.Neugebauera [15] (str. 4-39) poznamy zasady
wykonywania dzia÷
ań w oparciu o numeracje¾ sześćdziesietn
¾ a¾ pozycyjna,
¾ w
której to zapisanych jest wiekszość
¾
tekstów. Zasady te opisane zostana¾ wraz
z środkami pomocniczymi w postaci tablic róz·nego rodzaju. Dowiemy sie¾
takz·e jak Babilończycy obliczali pierwiastki kwadratowe liczb wymiernych.
W tym celu przedstawione zostana¾ odpowiednie twierdzenia i lematy. Cześć
¾
ta ujmuje dorobek matematyczny w postaci pewnej teorii zawierajacej
¾ sformu÷
owane pojecia
¾ pierwotne, twierdzenia i algorytmy, których w jawnej formie,
w źród÷
ach sie¾ nie znajdzie.
W paragra…e 2 rozdzia÷
u 2 zamieści÷
am przyk÷
adowe schematy dodawania,
odejmowania i mnoz·enia w omawianym systemie.
Paragraf 3 rozdzia÷
u 2 dotyczy wyciagania
¾
pierwiastków kwadratowych
z liczb wymiernych. Analizujac
¾ obszerna¾ literature¾ naukowa¾ na ten temat
zauwaz·y÷
am, z·e:
O.Neugebauer - jeden z najwiekszych
¾
badaczy glinianych tabliczek jako
pierwszy, juz· w 1934 r., w swoim dziele Vorgriechische Mathematik,
Berlin, 1934 [15, Str. 35, 37], zwróci÷uwage,
¾ z·e obliczanie pierwiastków
kwadratowych odbywa÷
o sie¾ (w wysoce prawdopodobny sposób) przy
pomocy pewnego przybliz·enia i algorytmu. Uz·yty tam wzór podaje
w pe÷
nym uzasadnieniu, w roku 1968, Sz.Weksler w swojej monogra…i
Arytmetyka i algebra babilo´nska, U××ódź, 1968 [16], a dwa lata poźniej
A.P.Juszkiewicz w dziele Historia matematyki, Tom I, PWN, Warszawa
1975 [12, str. 52] (rok 1970 jest rokiem pierwszego wydania rosyjskiego)
zauwaz·a iteracyjność algorytmu. Na algorytm ten zwrócili takz·e uwage¾
znacznie później inni badacze staroz·ytnych tabliczek glinianych: W.S.
Anglin, J.Lambek w ksia¾z·ce The Heritage of Thales [1] z roku 1995
oraz D.Folwer i E.Robson w swojej pracy Square Root Approximations
4
in Old Mathematica: YBC 7289 in Context [7] z roku 1998.
W.S.Anglin, J.Lambek podali bez dowodu oszacowanie dok÷
adności otrzymanego pierwiastka kwadratowego otrzymane w n-tym kroku. Na tej podstawie wywnioskowali, z·e algorytm ten daje ciag
¾ zbiez·ny do pierwiastka
kwadratowego.
Jako w÷
asny wk÷
ad w tej cześci
¾ zamieści÷
am ponadto udowodnione i sformu÷
owane przez mnie twierdzenia 7 i 8 i lematy 5 i 6, które sa¾ wyprowadzeniem wspomnianego algorytmu iteracyjnego dotyczacego
¾
przybliz·enia pierwiastka z liczby x. Poda÷
am jeszcze przyk÷
ady pokazujace
¾ jak skuteczny jest
ten algorytm.
Kolejna cześć
¾ pracy poświecona
¾
jest zagadnieniom algebry elementarnej.
Dokonana zosta÷
a klasy…kacja uk÷
adów równań oraz metod ich rozwiazywa¾
nia, wraz z komentarzami, dotyczacymi
¾
zastosowania tych metod w rachunkach
zawartych na tabliczkach. Przeanalizowanych zosta÷
o kilkanaście przyk÷
adów
ukazujacych
¾
charakter algebry babilońskiej. Nieoceniona¾pomoca¾w tej analizie okaza÷
y sie¾ prace O. Neugebauera [14], [15], Sz. Wekslera [16], S. Gandza
[8].
I tu w÷
asny wk÷
ad wniesiony w ten rozdzia÷to przede wszystkim rozszyfrowanie kroków rachunkowych zawartych w tabliczkach i dokonanie wszystkich
dok÷
adnych wyliczeń znajdujacych
¾
ostateczne rozwiazanie.
¾
Podczas analizy
i rozwiazywania
¾
problemów stara÷
am sie¾ znaleźć kompromis pomiedzy
¾
metodami prezentowanymi przez róz·nych autorów i dopasować schemat rozwiaza¾
nia, który najbardziej pasuje do opisu kroków numerycznych. Jeśli w dostep¾
nych mi źród÷
ach nie by÷
o wyjaśnień omawianego w pracy zadania, rozwiazanie
¾
znajdowa÷
am samodzielnie - na podstawie transkrypcji kroków z tabliczek, sa¾
to równania z tabliczki BM 13901 (przyk÷
ad 13, 14, 15), uk÷
ady z przyk÷
adów
17, 18, 20, 21, 23, 24, 26, 28-33 oraz przyk÷
ady 34 i 35 ukazujace
¾ serie¾
zadań, które zapisane by÷
y na tabliczkach bez rozwiazań,
¾
dlatego schemat
rozwiazanych
¾
tam samodzielnie dwóch przyk÷
adowych zadań jest hipotetyczny i oparty na w÷
asnych doświadczeniach zdobytych podczas rozszyfrowywania zadań zawierajacych
¾
babiloński algorytm rozwiazania.
¾
O.Neugebauer
[14] w wiekszości
¾
zadań nie analizuje poszczególnych kroków, podaje tylko
wzór na ostateczne rozwiazanie,
¾
dlatego wyjaśnienie i dopasowanie rozwiazań
¾
do opisu by÷
o dla mnie najbardziej pracoch÷
onnym zajeciem
¾
i ma charakter
subiektywny. Wszelkie w÷
asne obserwacje zawar÷
am w pracy formie komentarzy w przyk÷
adach oraz uwag, z których najwaz·niejszymi sa:
¾
uwaga 11: Porównuje ona wykorzystanie dwóch metod rozwiazywania
¾
5
równań - jedna prezentowana przez S. Gandza [8, Str. 416-417], druga
przez Sz.Wekslera [16, Str. 67-70]. Moje obserwacje wskazuja¾dość jednoznacznie, z·e znacznie cześciej
¾
stosowana¾ by÷
a "teoria" Sz.Wekslera.
uwaga 12: Uwaga ta, z popierajacymi
¾
ja¾ przyk÷
adami (13, 14, 15, 26,
32), zaprzecza tezie S.Gandza[8, str. 413], jakoby matematycy babilońscy unikali równań x2 + ax = b oraz x2 ax = b; reprezentujacych
¾
tzw. typy arabskie.
Na koniec chcia÷
am serdecznie podziekować
¾
opiekunowi mojej pracy, profesorowi Janowi Kubarskiemu, za poświecony
¾
czas, pomoc w zdobyciu literatury i pomoc w pisaniu pracy, oraz wszystkim pracownikom Politechniki
×ódzkiej za przekazana¾ wiedze.
¾
6
1
1.1
Wiadomości ogólne
Historia Babilonii
Kulture¾ staroz·ytnego Dwurzecza, utworzonego przez rzeki Tygrys i Eufrat,
nazywamy babilońska¾od nazwy jednego z najwiekszych
¾
miast tego obszaru Babilonu. Obszar ten nazywany jest takz·e Mezopotamia¾lub Miedzyrzeczem,
¾
·
co wywodzi sie¾ od greckich s÷
ów: " o& - środkowy, o
o& - rzeka. Zyzne
gleby delty Tygrysu i Eufratu juz· w IV tysiacleciu
¾
p.n.e. zamieszkiwa÷naród
Sumerów. Najwaz·niejsze miasta tego obszaru to: Ur, Uruk, Larsa, Szurupak.
Bardziej na pó÷
nocy mieszkali semiccy Akadowie i tu g÷
ównym miastem by÷
Akad.
Podwaliny kultury babilońskiej stworzyli Sumerowie, utworzyli oni pierwsze państwa-miasta (Eridu, Uruk, Ur), budowali kana÷
y irygacyjne, wznosili
piramidy i to oni prawdopodobnie wynaleźli pismo klinowe, w którym litery
tworzono przez wciskanie trzcinowego rylca w wilgotna¾ gline.
¾
W XXIII w. p.n.e. oba ludy zjednoczy÷akadyjski król Sargon I. Oto jego
wizerunek:
Sargon I Wielki
7
A to tabliczka gliniana z III tys. p.n.e. przedstawiajaca
¾ obraz świata z
tekstem mówiacym
¾
o podbojach króla Sargona:
Akadowie przejeli
¾ wyz·sza¾ od swojej, kulture¾ sumeryjska.
¾ W uz·yciu by÷
y oba
¾
kap÷
anów,
jezyki:
¾
sumeryjski i akadyjski, z tym z·e pierwszy by÷jezykiem
pisa- rzy, prawników - jak ÷
acina w średniowieczu. Mezopotamia nie zaznawa÷
a odtad
¾ d÷
ugotrwa÷
ego pokoju. Poczawszy
¾
od XXI w. p.n.e. nastepuj
¾ a¾
ze wschodu i zachodu najazdy licznych plemion Elamitów i Amurytów i na
poczatku
¾
drugiego tysiaclecia
¾
Amuryci zajmuja¾ kraj Sumerów i Akadów.
Okres ich panowania nazywamy starobabilońskim. Najpote¾z·niejszym w÷
adca¾
dynastii by÷Hammurabi (zmar÷ok. 1686r. p.n.e.), twórca wielkiego, scentralizowanego państwa ze stolica¾ w Babilonie. Za jego czasów kultura babilońska
osiagn
¾ e÷
¾ a najwiekszy
¾
rozkwit i stad
¾ tez· pochodzi wiekszość
¾
tekstów matematycznych. Hammurabi doskonale zorganizowa÷swój kraj, rozbudowa÷sieć
kana÷
ów nawadniajacych,
¾
wznosi÷i upieksza÷świ
¾
atynie,
¾
sprawowa÷piecze¾
nad wojskami nie zapominajac
¾ o forty…kacji miast, a najbardziej zas÷
yna÷
¾
jako twórca kodeksu praw zwanego ”kodeksem Hammurabiego”. Kodeks
ten wyryty zosta÷na bloku kamiennym, znaleziono go w 1901r. i przechowywany jest w Luwrze, sk÷
ada sie¾ z 282 artyku÷
ów zawierajacych
¾
kary
za przestepstwa
¾
kryminalne i postanowienia prawa cywilnego, regulujacego
¾
sprawy majatkowe
¾
i osobiste. Jego imperium istnia÷
o krótko, lecz wywar÷
o
8
istotny wp÷
yw na historie¾ Mezopotamii.
Hammurabi
Wizerunek stelli Hammurabiego
z kodeksem
Po śmierci Hammurabiego potega
¾ Babilonu mala÷
a, a jego nastepcy
¾
nie
zdo÷
ali obronić państwa przed naporem Hetytów, którzy od pewnego czasu
nap÷
ywali do Mezopotamii. W 1595r. p.n.e. zdobyli i spladrowali
¾
Babilon,
po czym wycofali sie¾ na pó÷
noc. Wkrótce potem w÷
adze¾ w mieście, w nieznanych okolicznościach przejeli
¾ Kasyci. Czasy panowania dynastii kasyckiej (od drugiej po÷
owy II tysiaclecia
¾
p.n.e.) przypadaja¾ na okres średniobabiloński i trwaja¾ ok. 400 lat. Kasyci sa¾ ma÷
o znanym ludem staroz·ytnego świata. Niektórzy badacze wywodza¾ ich z po÷
udniowo-zachodniego
Iranu. Nie mieli w÷
asnego piśmiennictwa, a jezyk
¾
znany jest tylko ze skapych
¾
przekazów. Ulegli oni wiekowej kulturze kraju, który podbili. Okres ich
panowania to czasy stabilizacji w ca÷
ym regionie Miedzyrzecza,
¾
w czasie tym
kultura babilońska uleg÷
a procesowi ”skostnienia”, nie tworzono nowych dzie÷
,
a jedynie powielano prace starobabilońskie.
W VII w p.n.e. rozpoczyna sie¾ panowanie króla Nabonassara, za którego
panowania zaczynaja¾sie¾ regularne obserwacje astronomiczne. W 538 r. p.n.e.
9
Babilon i Asyrie¾ zdobywa król Persów Cyrus II, a w 336r p.n.e. Aleksander
Macedoński. Po jego śmierci Mezopotamia staje sie¾ cześci
¾ a¾państwa Seulecydów. W II w. p.n.e. Babilon by÷martwym miastem i lez·a÷w gruzach, mimo
to matematyka rozwija÷
a sie¾ nadal.
Poniz·ej przedstawione sa¾mapki, ukazujace
¾ teren Mezopotamii wraz z naniesionymi obecnymi państwami oraz rozmieszczenie poszczególnych plemion
zamieszkujacych
¾
Dwurzecze.
Starozytne Dwurzecze
10
Plemiona i miasta Mezopotamii
1.2
Źród÷
a wiedzy
W drugiej po÷
owie XIX w. archeolodzy rozpoczeli
¾ prace wykopaliskowe w
ruinach staroz·ytnych miast Mezopotamii. Wiekszość
¾
domów w tych miastach budowano z niewypalonej ceg÷
y, która¾ niszczy÷
y ulewy. Nowe domy
budowano w tych samych miejscach, co przyczynia÷
o sie¾ do podwyz·szania
sie¾ poziomu gruntów, az· do powstania obecnych wzgórz. Do dziś na szczytach niektórych wzniesień znajduja¾ sie¾ wioski bed
¾ ace
¾ kontynuacja¾ staroz·ytnych miast. Prowadzac
¾ pionowy przekrój przez takie wzgórza odkrywa sie¾
róz·ne warstwy tego samego miasta. Rezultatem przekopania tych wzgórz
by÷
o znalezienie tysiecy
¾ tabliczek pokrytych napisami.
Uz·yte tam pismo nazywamy pismem klinowym, poniewaz·znaki na tabliczkach wykonywano w formie klinowych wg÷
ebień
¾
za pomoca¾ rylca, gdy glina
by÷
a jeszcze wilgotna. Przed zapisaniem tabliczki tworzono najpierw na niej
równoleg÷
e linie za pomoca¾napietego
¾
sznurka w celu uzyskania równości wierszy, nastepnie
¾
wyciskano znaki i tabliczk¾
e najcześciej
¾
suszono lub wypalano
11
w celu utrwalenia na d÷
uz·ej zapisu. Dlatego spotkać moz·na róz·ne odcienie
gliny, od jasnej czerwieni do g÷
ebokiej
¾
czerni. Tabliczki maja¾ zazwyczaj
kszta÷
t prostokatny
¾ o wymiarach od 2 cm 2,4 cm do 22 cm 37cm i grubość
od 0,2 cm do 2,5 cm.
Przez wiele lat panowa÷sza÷skupowania tabliczek od tubylców oraz organizowane by÷
y wyprawy archeologiczne, które niezbyt planowo przekopywa÷
y
ruiny, utrudniajac
¾ w ten sposób naukowe prowadzenie badań. Dlatego wiek
tabliczek trudny jest na ogó÷do ustalenia. Moz·na tylko stwierdzić [14], z·e
najstarsze teksty klinowe pochodza¾ z III tysiaclecia
¾
p.n.e., wiekszość
¾
zaś jest
z czasów starobabilońskich, czyli z ok 1800-1500 r. p.n.e., a najm÷
odsze z I
w. n.e. Czasem wiek określić moz·na na podstawie stylu pisma.
Obecnie zarejestrowanych jest ok. 500 tys. tabliczek z czego ok. 150 z tekstami zadań matematycznych i ok. 200 z tablicami liczbowymi. Tabliczki te
rozproszone sa¾po muzeach ca÷
ego świata, niekiedy fragmenty jednej tabliczki
przechowywane sa¾ w róz·nych muzeach. Najwieksze
¾
zbiory tekstów matematycznych znajduja¾sie¾ w Londynie (British Museum = BM), Paryz·u (Louvre, Antiquitµes Orientales = AO), Berlinie (Staatliche Museen, Vorderasiatische Abteilung = VAT), Strassburgu (Bibliothµeque Nationale et Universitaire
= Strass.), New Heaven (Yale Babylonian Collection = YBC), Bagdadzie
(IM).
Odszyfrowanie i wnikliwa analiza tekstów klinowych ods÷
oni÷
y nieznany
dotad
¾ świat matematyków staroz·ytnego świata. G÷
ówne zas÷
ugi po÷
oz·y÷tu
Otto Neugebauer [14] oraz F.Thureau-Dangin. Z odczytanych przez nich
tabliczek wynika÷
o, z·e 4000 lat temu w Mezopotamii istnia÷
a rozwinieta
¾ arytmetyka oraz teoria równań I i II stopnia, zatem daleko posunieta
¾ algebra.
Z matematycznych tekstów klinowych wyodrebnić
¾
moz·na 3 rodzaje tabliczek: odpowiedniki dzisiejszych podreczników,
¾
w postaci zadań z rozwiazaniem
¾
lub bez; tabliczki zapisane przez uczniów, spe÷
niajace
¾ funkcje¾ zeszytów szkolnych oraz tablice liczbowe s÷
uz·ace
¾ celom praktycznym, jako środek pomocniczy do wykonywania dzia÷
ań arytmetycznych. Szczególnie cennym źród÷
em
potwierdzajacym
¾
osiagni
¾ ecia
¾ Babilończyków sa¾tabliczki-podreczniki,
¾
zawierajace
¾ czasem obok treści zadań równiez· rozwiazania.
¾
Rozwiazania
¾
te sk÷
adaja¾
sie¾ jednak z samych kroków numerycznych bez z·adnych, nawet skromnych,
wyjaśnień i uzasadnień poszczególnych kroków. Nigdzie takz·e, w ca÷
ej staroz·ytnej matematyce, nie znajdujemy tego co obecnie nazywamy dowodem. Podawano tylko przepisy pewnych regu÷
: ”przyjmij coś”, ”podziel przez”, ”pomnóz·”bez z·adnych t÷
umaczeń. Nie znamy sposobu, przy pomocy którego Babilończycy poznali np. twierdzenie Pitagorasa. Wszystkie próby wyjaśnienia
12
opieraja¾ sie¾ wy÷
acznie
¾
na hipotezach.
1.3
Powstanie pisma klinowego
Pismo klinowe to najstarsza na Bliskim Wschodzie odmiana pisma. Charakterystyczny kszta÷
t znaków tzn. kliny powstawa÷
y przez wciskanie trzcinowego rylca w miekk
¾ a¾ gline,
¾ w kolejności od lewej do prawej. Powstanie
pisma zwiazane
¾
by÷
o z potrzebami gospodarczymi i administracyjnymi rozwijajacej
¾ sie¾ cywilizacji, a najstarsze ślady wykorzystania tego sposobu zapisu
pochodza¾ z IV tysiaclecia
¾
p.n.e.
W pierwotnej postaci pismo mia÷
o charakter piktogra…czny, czyli obrazkowy.
Utrudnia to rozpoznanie jezyka,
¾
w którym by÷
y wyraz·one treści. Wykopaliska
znalezione w staroz·ytnym Uruk pochodzace
¾ z III tysiaclecia
¾
p.n.e. pokryte
sa¾ w÷
aśnie pismem obrazkowym. Podobne tabliczki znaleziono w Dz·emdet,
Nasr oraz Szurrupak. Na tabliczkach pochodzacych
¾
z nastepnej
¾
warstwy
archeologicznej zaobserwowano juz· wieksz
¾ a¾ilość znaków. Cześć
¾ z nich zidenty…kowano jako ideogramy, czyli znaki oznaczajace
¾ ca÷
e wyrazy, a cześć
¾ jako
znaki sylabowe o znaczeniu fonetycznym. Zatem z pisma piktogra…cznego
wykszta÷
ci÷
o sie¾ pismo ideogra…czno-zg÷
oskowe. Znaki fonetyczne pozwoli÷
y
stwierdzić, z·e pismo wyraz·a÷
o treści w jezyku
¾
sumeryjskim.
Na etapie pisma obrazkowego znaków by÷
o bardzo duz·o, ok. 2 tysiecy.
¾
Z czasem upraszczano form¾
e zapisu, zastepuj
¾ ac
¾ obrazki kreskami w uk÷
adzie
poziomym i pionowym. W efekcie liczba znaków uleg÷
a redukcji do ok. 500.
Prawie do końca II tysiaclecia
¾
p.n.e. pismo nie ulega÷
o zasadniczym przemianom. Dopiero po dojściu do w÷
adzy Sargona z Akadu nastapi÷
¾ y zmiany,
poniewaz· Akadowie przejeli
¾ pismo sumeryjskie i dostosowali je do swojego
semickiego jezyka,
¾
dodajac
¾ w÷
asne znaki fonetyczne (sylaby). W wiekszości
¾
tekstów pisanych w jezyku
¾
akadyjskim pisma ideogra…cznego i zg÷
oskowego
uz·ywano zupe÷
nie dowolnie, natomiast w tekstach matematycznych przewaz·a
pisownia ideogra…czna. Od czasów podbojów Aleksandra Wielkiego (IV w.
p.n.e.) pismo klinowe uz·ywane by÷
o sporadycznie i stopniowo zanika÷
o.
Odczytanie pisma Sumerów i Akadów jest dzie÷
em XIX wieku. Tekstami matematycznymi zainteresowano sie¾ dopiero w XX wieku. Najpierw
odszyfrowano numeracje¾ i teksty gospodarcze z obliczeniami, a nastepnie
¾
tabele liczbowe. Kiedy w 1916 r. uda÷
o sie¾ odszyfrować twierdzenie Pitagorasa i tekst zawierajacy
¾ równanie II stopnia oraz najbardziej znana¾ obecnie
tabliczk¾
e Plimpton 322 z 15 trójkami pitagorejskimi (czyli liczbami spe÷
niajacymi
¾
równanie x2 + y 2 = z 2 ), zainteresowanie dorobkiem matematycznym
13
staroz·ytnego Babilonu zacze÷
¾ o wzrastać.
Tabliczka Plimpton 322
14
2
2.1
Arytmetyka babilońska
Numeracje
Wiekszość
¾
źróde÷wymienia jako uz·ywana¾przez Babilończyków tylko numeracje¾ sześćdziesietn
¾ a.¾ Sz.Weksler natomiast [16] (str.15) wysuwa przypuszczenie, z·e w omawianej kulturze istnia÷
y trzy systemy numeracji:
dziesietno-szóstkowa,
¾
dziesietna
¾
niepozycyjna,
sześćdziesietna
¾
pozycyjna.
Pierwsze dwa systemy uz·ywano na ogó÷w dokumentach o treści gospodarczej, w matematycznych rzadko. W analizowanych przeze mnie zadaniach
przytoczonych w tutejszej pracy uz·yta jest tylko numeracja sześćdziesietna.
¾
2.1.1
Numeracja dziesietno-szóstkowa
¾
W numeracji tej zapisane by÷
y tabliczki pochodzace
¾ ze schy÷
ku IV tysiacle¾
cia p.n.e., czyli z okresu starosumeryjskiego. Liczby zapisywano uz·ywajac
¾
numeracji niepozycyjnej opartej na podstawach 10 i 6:
Liczba 1 mia÷
a symbol pó÷
kola, liczby n = 2; ::; 9 tworzono dopisujac
¾
odpowiednia¾ ilość razy symbol liczby jeden. Dla liczby 10 stworzono symbol w postaci kó÷
ka i z niego tworzone by÷
y liczby 20; 30; 40; 50. Liczbe¾ 60
oznaczono ta¾ sama¾ postacia¾ co liczba dziesieć,
¾ jednak wiekszych
¾
rozmiarów i powtarzajac
¾ ja¾ do dziewieciu
¾
razy tworzono liczby 120; 180; :::; 540.
Dla sześciuset utworzono nowy symbol, by÷
a to liczba 60 z umieszczonym
wewnatrz
¾ symbolem liczby 10 i analogicznie j.w. tworzono z niego liczby
1200; 1800; :::; 3000. Symbol liczby 3600 takz·e mia÷postać kó÷
ka, wiekszego
¾
jednak niz· liczba 10.
Ok. 2000 r. p.n.e. technika pisania uleg÷
a zmianie, zamiast pó÷
kola i kó÷
ka
i klin poziomy
. Klin dla oznaczenia liczby
stosowano klin pionowy
60 by÷wiekszy
¾
niz· dla 1. Później powsta÷
y jeszcze symbole indywidualne do
rzedu
¾ 10 603 i 10 604 :
Babilończycy zatem ukszta÷
towali nastepuj
¾ acy
¾ system symboli indywidualnych:
15
1; 2; :::; 9
10; 2 10; :::; 5 10
60; 2 60; :::; 9 60
600; 2 600; :::; 5 600
....
(1)
Sz.Weksler [16] (str.16) sadzi,
¾
z·e wskazuje to, z·e 4 tysiace
¾ lat temu wiedziano
o istnieniu nieskończonego ciagu
¾ liczb naturalnych i korzystano z aksjomatycznego twierdzenia, z·e kaz·da¾ liczbe¾ naturalna¾ moz·na w jeden tylko sposób
przedstawić jako sum¾
e wyrazów pochodzacych
¾
z ciagu
¾ (1).
Cecha¾specy…czna¾tej numeracji jest identyczność symboli dziesieć
¾ i sześćdziesiat.
¾ Poczatkowo
¾
róz·ni÷
y sie¾ one wielkościa,
¾ jednak z biegiem czasu
róz·nica ta zanik÷
a i wartość symbolu odczytywano na podstawie jego postaci i
po÷
oz·enia, co świadczy o ”zaczatku”systemu
¾
pozycyjnego. Mimo z·e uz·ywano
tych samych symboli dla oznaczenia róz·nych liczb, nie powodowa÷
o to na ogó÷
wieloznaczności zapisu, poniewaz· kliny pionowe poprzedzane poziomymi oznacza÷
y zawsze jedności. W przeciwnym zaś wypadku kliny pionowe oznacza÷
y sześćdziesiatki.
¾
Jeśli symbol liczby sk÷
ada÷sie¾ tylko z jednej grupy
klinów pionowych, wówczas zapis nie by÷jednoznaczny - kaz·dy klin móg÷
znaczyć jeden jak i sześćdziesiat.
¾ W tym przypadku wartość liczby określano
z kontekstu.
2.1.2
Numeracja dziesietna
¾
niepozycyjna
Pojawi÷
a sie¾ ona na poczatku
¾
II tysiaclecia
¾
p.n.e. By÷
a to mody…kacja istniejacej
¾ juz· numeracji dziesietno-szóstkowej.
¾
Symbole indywidualne zosta÷
y
stworzone dla liczb 1; 10; 100, itd. Liczby 2; :::; 9 powstaja¾ analogicznie jak
wcześniej, droga¾ powtórzeń liczby jeden. Liczby 20; 30; 40; 50 powstaja¾ z
symbolu liczby 10. Odstepstwo
¾
od czysto dziesietnego
¾
charakteru numeracji stanowi utworzenie symbolu dla liczby 60. Ma on postać identyczna¾ jak
liczba jeden. Liczby 70; 80; 90 toworzymy dopisujac
¾ do liczby 60 jeden, dwa
lub trzy symbole liczby 10. Poprzedzajac
¾ symbol stu symbolami liczb od
2 do 9 tworza¾ sie¾ liczby od 200 do 900 itd. dla wyz·szych rzedów.
¾
W ten
sposób powstaje ciag
¾ analogiczny do (1) i z jego wyrazów tworzono symbole
dowolnych liczb.
16
2.1.3
Numeracja sześćdziesietna
¾
pozycyjna
Podstawa¾ tej numeracji jest liczba g = 60. Kaz·da liczba ci < 60 posiada
symbol indywidualny zbudowany z symboli klinowych liczb jeden
i dziesieć
¾
Liczby od 2 do 9 zapisywano uz·ywajac
¾ wielokrotności liczby jeden, a wiec
¾
wyglada÷
¾ y one nastepuj
¾ aco:
¾
Droga¾ powtarzania liczby 10 powsta÷
y liczby 20; :::; 50:
Stosujac
¾ kombinacje¾ powyz·szych znaków otrzymano liczby 1; :::; 59:
17
Do zapisu liczby 60 uz·ywano takiego samego znaku, jak do oznaczenia
jedynki. Liczby ci < 60 nazywamy cyframi numeracji. Wzór ogólny na zapis
dowolnej liczby x w systemie babilońskim moz·emy przedstawić nastepuj
¾ aco:
¾
x = an 60n + an
1
60n
1
+ ::: + a1 60 + a0 :
Charakterystyczna¾cecha¾tej numeracji jest opuszczanie w symbolu indywidualnym liczby oznaczeń dla rzedu
¾ wielkości, tzn. symbol liczby t 2 f1; :::; 50g
w istocie móg÷oznaczać kaz·da¾ liczbe¾ postaci t 60i , gdzie i jest dowolna¾
1
liczba¾ ca÷
kowita,¾ a jeśli i = 1; 2; ::: tworzy÷
y sie¾ u÷
amki: t 60
; t 6012 itd.
Dlatego numeracja ta obarczona jest zasadnicza¾ wada¾ polegajac
¾ a¾ na braku
wzajemnej jednoznaczności miedzy
¾
liczbami naturalnymi, a ich symbolami.
Danej liczbie odpowiada tylko jeden symbol, natomiast danemu symbolowi
moga¾ odpowiadać róz·ne liczby. I tak na przyk÷
ad symbol:
oznaczać móg÷liczbe¾ 13 602 + 30 601 + 5 600 = 48605, badź
¾ tez· 13 601 + 35
9721
0
0
1
2
60 = 815; lecz takz·e 13 60 + 30 60 + 5 60 = 720 i wiele innych. Po18
nadto brak uz·ycia zera, zarówno na końcu symbolu jak i miedzy
¾
cyframi, do
oznaczenia brakujacych
¾
rzedów
¾
powodowa÷dalsze trudności. Liczba zero nie
by÷
a znana w tamtych czasach i świadczyć o tym moz·e rozwiazanie
¾
zadania
przytoczone przez G. Ifrah [11] (str.185): ”20 mniej 20, widzisz
”.
Tak wiec
¾ pod wzgledem
¾
teoretycznym numeracja ta by÷
a wadliwa, jednak
w praktyce nie sprawia÷
a staroz·ytnym problemów. Zdawano sobie spraw¾
e
z wieloznaczności systemu i stosowano środki, które cześciowo
¾
ja¾ usuwa÷
y,
np. gdy w symbolu wystepowa÷
¾
a grupa jednakowych znaków np. klinów pionowych oznaczajacych
¾
róz·ne rzedy,
¾ wówczas w odpowiednim miejscu tworzono luk¾
e. Zazwyczaj kontekst zadania rozstrzyga÷watpliwości.
¾
Donios÷
ym osiagni
¾ eciem
¾
staroz·ytnej matematyki by÷
o wspomniane wcześniej
rozszerzenie wyk÷
adników poteg
¾ podstawy numeracji g = 60 na liczby ca÷
kowite
ujemne, dzieki
¾ czemu uzyskano numeracje¾ w zakresie u÷
amków postaci:
p
, gdzie q = 2
q
3
5 ;
; ;
= 0; 1; 2; :::
czyli takich które daja¾sie¾ przedstawić w postaci skończonych u÷
amków sześćdziesietnych.
¾
Liczby q nazywać bedziemy
¾
za O. Neugebauerem regularnymi,
natomiast poszczególne ”cyfry” numeracji zapisujemy w postaci liczb ”jedno-”i ”dwucyfrowych”oddzielajac
¾ poszczególne rzedy
¾ przecinkiem, zaś cześć
¾
ca÷
kowita¾ od cześci
¾ u÷
amkowej średnikiem, a brakujace
¾ rzedy
¾ uzupe÷
niamy
zerami. I tak np. zapis: 46; 0; 11; 31; 5 odczytamy jako:
46; 0; 11; 31; 5 = 46 602 + 0 601 + 11 600 +
19
31
5
+ 2:
60 60
2.2
Dzia÷
ania arytmetyczne w numeracji sześćdziesiet¾
nej
Numeracja sześćdziesietna
¾
by÷
a najcześciej
¾
wykorzystywana¾ numeracja¾ przy
wykonywaniu dzia÷
ań arytmetycznych. O dzia÷
aniach w pozosta÷
ych numeracjach nic pewnego nie wiemy, ze wzgledu
¾ na brak danych źród÷
owych.
Charakterystycznym jest ponadto fakt, z·e wyniki dzia÷
ań we wszystkich
dokumentach zapisane sa¾od razu, bez podania postepowania,
¾
które doprowadzi÷
o do wyniku. W zwiazku
¾
z tym podane niz·ej algorytmy bed
¾ a¾ cześciowo
¾
hipotetyczne.
2.2.1
Dodawanie
Polega÷
o ono na odpowiednim zgrupowaniu jednostek poszczególnych rzedów,
¾
i jeśli suma liczb z danego rzedu
¾ przekracza÷
a 60 nalez·a÷
o zastapić
¾ ja¾ symbolem liczby jeden i przenieść do nastepnego
¾
rzedu.
¾
+1 +1
5; 37; 50; 29
+ 4; 48; 25
10; 26; 15; 29
Do oznaczenia dodawania uz·ywane by÷
y dwa terminy: sumeryjskie gar-gar
(akadyjskie kamāru), co odpowiada w jezyku
¾
polskim czasownikowi k÷a´s´c,
po÷o·zy´c [14] (tom II, str.26) oraz termin dah (akadyjskie wasâbu), co oznacza
do÷o·zy´c, uwzgledni´c,
¾
do÷¾
aczy´c [14] (tom II , str.25).
2.2.2
Odejmowanie
Tworzenie róz·nicy dla liczb ”jednocyfrowych”, przy za÷
oz·eniu, z·e ona istnieje, przebiega÷
o identycznie tak jak w naszej numeracji dziesietnej.
¾
Przy
tworzeniu róz·nicy liczb ”dwucyfrowych”, jeśli liczba jednostek odjemnej by÷
a
mniejsza od liczby jednostek odjemnika, wówczas jedna¾ jednostk¾
e drugiego
rzedu
¾ zastepowano
¾
liczba¾ 60 i przenoszono do pierwszego rzedu:
¾
-1 +59 +60
13; 4;
12
35; 20
12; 28; 52
20
2.2.3
Mnoz·enie
Mnoz·enie wykonywane by÷
o w oparciu o tabliczki mnoz·enia. Moz·emy wyróz·nić
dwa typy tych tabliczek: pojedyncze i zbiorcze. Pierwsze z nich zawieraja¾
iloczyny jednej liczby-mnoz·nej przez mnoz·niki od 1 do 20 oraz 30; 40; 50.
Niektóre z nich zachowa÷
y sie¾ do dziś, jak ta na poniz·szym rysunku. Jest to
tabliczka VAT 7858 [9], przedstawiajaca
¾ wyniki mnoz·enia przez liczbe¾ 10.
7858cz.jpg
7858 cz.jpg
strona lewa
strona prawa
Tabliczka VAT 7858
21
Po odszyfrowaniu przedstawia sie¾ ona nastepuj
¾ aco:
¾
strona lewa
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
strpna prawa
14
15
16
17
18
19
20
30
40
50
10
20
30
40
50
1; 0
1; 10
1; 20
1; 30
1; 40
1; 50
2; 0
2; 10
2; 20
2; 30
2; 40
2; 50
3; 0
3; 10
3; 20
4; 20
6; 40
8; 20
Czasem taka tabliczka zakończona jest wierszem przenośnym, który określa
¾
jest nastepna
¾
tabliczka. Pozwala to przydla jakiej mnoz·nej sporzadzona
puszczać, z·e tabliczki wchodzi÷
y w sk÷
ad kompletu. Uwzgledniaj
¾
ac
¾ zachowane
tablice i wiersze przenośne moz·na wnioskować, z·e ca÷
y komplet sk÷
ada÷sie¾ z
30 tabliczek dla róz·nych mnoz·nych, o których powiemy za chwile.
¾
Drugi rodzaj - tablice zbiorcze zawieraja¾ szereg tabliczek mnoz·enia dla
róz·nych mnoz·nych, tablice odwrotności, czasem tablice kwadratów kolejnych
liczb naturalnych i inne. Znanych jest ok. 39 takich zbiorczych tablic, przewaz·nie cześciowo
¾
uszkodzonych lub tylko w postaci fragmentów. W pe÷
ni
zachowa÷
y sie¾ tylko dwie tego typu - pierwsza oznaczona jest numerem 101,
zawiera tabliczki mnoz·enia dla 37 mnoz·nych, druga o numerze 102 - dla 39.
Tabliczki mnoz·enia w tablicach zbiorczych u÷
oz·one sa¾ zawsze w porzadku
¾
malenia mnoz·nych, a ponadto mnoz·ne z pojedynczych tabliczek wystepuj
¾ a¾
takz·e w tablicach zbiorczych. Pozwoli÷
o to naukowcom na odtworzenie wszystkich 40 tabliczek mnoz·enia uz·ywanych przez Sumerów, oto one:
22
50
48
45
44; 26; 40
40
36
30
25
24
22; 30
20
18
16; 40
16
15
12; 30
12
10
9
8; 20
8
7; 30
7; 12
7
6; 40
6
5
4; 30
4
3; 45
3; 20
3
2; 30
2; 24
2; 15
2
1; 40
1; 30
1; 20
1; 15
Babilończycy dobrze radzili sobie z mnoz·eniem liczb wielocyfrowych, w
oparciu o zwyk÷
e tabliczki mnoz·enia, dlatego zadziwiajacy
¾ jest dobór ”dwu”, a nawet ”trzycyfrowej” mnoz·nej (44; 26; 40 tj. 160000). Nie ma bowiem
śladów próby stworzenia tablic dla innych ”dwu-” i ”trzycyfrowych” liczb.
Być moz·e mia÷
o to zwiazek
¾
z wykonywaniem dzielenia, o którym powiemy
poniz·ej.
Mnoz·niki by÷
y juz· wszedzie
¾
jednakowe: 1-20,30,40,50. Pozwala÷
o to na
znalezienie iloczynu dwóch liczb ”jednocyfrowych”przez rozk÷
ad czynnika na
sum¾
e liczb spośród mnoz·nych i mnoz·ników, przy zastosowaniu rozdzielności
mnoz·enia wzgledem
¾
dodawania.
Mnoz·nie liczb wielocyfrowych wykonywane by÷
o zapewne analogicznie
jak w naszej numeracji i rozciaga÷
¾ o sie¾ równiez· na liczby wymierne, pod
warunkiem, z·e cześć
¾ u÷
amkowa da÷
a sie¾ przedstawić w numeracji sześćdziesiet¾
nej. Poniz·ej przedstawiony zostanie przyk÷
adowy algorytm mnoz·enia, który
w dalszej cześci
¾ pracy umoz·liwi wyliczanie iloczynu liczb. Najpierw podany
zostanie na przyk÷
adzie liczbowym, później w ogólności. W lewej cześci
¾ tabeli
zapisany zostanie wynik, w prawej obliczenia pomocnicze:
+1 +2
9;
+6
19;
1;
38;
14;
33 8 = 264 = 6; 24
19 8 = 152 = 2; 32
2; 32 + 6 = 2; 38
;
9 8 = 72 = 1; 12
1; 12 + 2 = 1; 14
33
8
24
ogólnie, oznaczajac
¾ mnoz·na¾ przez b3 ; b2 ; b1 oraz mnoz·nik przez a wyglada
¾ to
23
nastepuj
¾ aco
¾ (wynik przedstawiony zostaje w postaci C1 ; C2 ; B2 ; A2 ):
+B1
b3;
+A1
b2 ;
b1
a
a b1 = A1 ; A2
a b2 + A1 = B1 ; B2
a b3 + B1 = C1 ; C2
C1 ; C2 ;
2.2.4
B2 ;
A2
Dzielenie
W tabliczce BM 85200 [14] (t.I, str.193 i nast.) dzia÷
anie a : b formu÷
owane
jest jako pytanie - przez co pomnoz·yć b, z·eby otrzymać a, co wskazuje na
istnienie de…nicji dzielenia, jako dzia÷
ania odwrotnego wzgledem
¾
mnoz·enia.
Dzielenie jest jedynym dzia÷
aniem do którego staroz·ytni stworzyli algorytm, lecz tylko w przypadku gdy dzielnik jest liczba¾ regularna.¾ Aby znaleźć
iloraz a : b nalez·y znaleźć odwrotność liczby b i pomnoz·yć ja¾ przez a. Tekst
tabliczki 85200 [14] (t.I, str.203 w.13), w celu podzielenia 26 : 12, g÷
osi:
”utwórz odwrotność 12, jest 0; 5. 0; 5 pomnóz· przez 26 to daje 2; 10”. Algorytm ten wymaga wiec
¾ umiejetności
¾
znajdowania odwrotności liczb regularnych i w tym celu tworzono tzw. tablice odwrotności bed
¾ ace
¾ cześci
¾ a¾tablic
zbiorczych. Najcześciej
¾
uz·ywane tablice zawiera÷
y odwrotności liczb 2-1,21
(czyli 2-81), nazywamy je normalnymi tablicami odwrotno´sci [16] (str.36).
Podstawowa¾ cześć
¾ takiej tablicy stanowi 30 niz·ej wymienionych par liczb:
2
3
4
5
6
8
9
10
12
15
30
20
15
12
10
7; 30
6; 40
6
5
4
16
18
20
24
25
27
30
32
36
40
3; 45
3; 20
3
2; 30
2; 24
2; 13; 20
2
1; 52; 30
1; 40
1; 30
24
45
48
50
54
1
1; 4
1; 12
1; 5
1; 20
1; 21
1; 20
1; 15
1; 12
1; 6; 40
1
56; 15
50
48
45
44; 26; 40
Zauwaz·yć nalez·y fakt, z·e tablica ta z uwagi na wzgledność
¾
babilońskiej numeracji moz·e być interpretowana w dwojaki sposób. Liczby z kaz·dej drugiej
kolumny sa¾odwrotnościa¾liczb z pierwszej kolumny, czyli rozumiemy to jako:
1
= 0; 30 , 13 = 0; 20 , 14 = 0; 15 itd.
2
Moz·na tez· interpretować w druga¾ strone¾ - kaz·da liczba z pierwszej kolumny
jest odwrotnościa¾ liczby z drugiej kolumny:
1
1
1
0; 2 = 30
, 0; 3 = 20
, 0; 4 = 15
itd.
Zatem ogólnie, jeśli oznaczymy pierwsza¾liczbe¾ pary przez a, druga¾przez b, to
zachodzi zwiazek:
¾
a b = 1; co wobec nieuwzgledniania
¾
przez Babilończyków
rzedu
¾ wielkości daje ogólna¾ zalez·ność:
a b = 60k , gdzie k = :::; 2; 1; 0; 1; 2; :::
Ciekawostka¾ natomiast jest istnienie tablicy odwrotności AO 6456 [14]
(t.I, str.14-22). Jest to najobszerniejsza znana tablica odwrotności pochodzaca
¾
z prze÷
omu III i II wieku, z epoki Seulecydów, zawierajaca
¾ ÷
acznie
¾
135 par
liczb. Tylna strona tabliczki wyglada
¾ ona nastepuj
¾ aco:
¾
Tabliczka AO 6456
oraz transkrypcja obu stron wg. O.Neugebauera [14]:
25
Tabliczka AO 6456, strona przednia
Tabliczka AO 6456, strona tylna
26
W lewej kolumnie, w porzadku
¾
rosnacym,
¾
znajduja¾sie¾ liczby od 1; 0; 0; 0; 0; 0
do 3; 0; 0; 0; 0; 0; w prawej zaś ich odwrotności dochodzace
¾ do liczb ”siedemnastocyfrowych”. Strona przednia tabliczki rozpoczyna sie¾ liczba¾1, a kończy
liczba¾ 1; 32; 9; 36, której odwrotność wynosi 39; 3; 45. Pierwsza¾ liczba¾ tylnej
strony jest 1; 32; 15; 50; 37; 30 z odwrotnościa¾ 39; 1; 6; 23; 32; 20; 44; 26; 40, zaś
ostatnia¾2; 59; 21; 40; 48; 54 i jej odwrotność 20; 4; 16; 22; 28; 44; 14; 57; 40; 4; 56;
17; 46; 40.
Sz.Weksler twierdzi, z·e w tablicy tej uz·yty jest juz· symbol dla oznaczenia
brakujacych
¾
rzedów
¾
wielkości - odpowiednik zera, lecz na ostatnich miejscach
sie¾ go nie stosuje, zatem numeracja pozostaje wzglednie
¾
pozycyjna. Nie podaje jednak jak wyglada÷
¾ ten symbol. Za czasów Seulecydów uz·ywano dwóch
sposobów na oznaczenie zera, by÷
a ta kreska z kropka¾lub dwie ukośne kreski.
Jakość zdjecia
¾ nie pozwala jednak jednoznacznie potwierdzić uz·ytego znaku.
Tablica ta kończy sie¾ wierszem przenośnym-jest nim liczba 3 z odwrotnościa¾
równa¾ 20, co sugeruje, z·e autor zamierza÷kontynuować swoje dzie÷
o. Zastanawiajacy
¾ jest cel podjecia
¾ tak olbrzymiego trudu. Jako z·e ze wzgledu
¾ na
swoje rozmiary tablica ta celom praktycznym zapewne s÷
uz·yć nie mog÷
a, wiec
¾
być moz·e by÷to cel teoretyczno-naukowy bliz·ej nam nie znany [16] (str.39).
Ponadto, z·eby stworzyć tak obszerna¾ tablice¾ odwrotności musia÷z pewnościa¾ istnieć algorytm obliczania odwrotności dowolnych liczb. Jawnie niestety nie jest on nigdzie podany. Sz.Weksler [16] (str.39) sugeruje, z·e polega÷on na przedstawieniu liczby regularnej w postaci iloczynu czynników zawartych w normalnej tablicy odwrotności, wówczas odwrotność dowolnej
liczby by÷
a iloczynem odwrotności czynników.
Czesto
¾ w zadaniach spotkać moz·emy sytuacje,
¾ w której powstaje liczba
nie posiadajaca
¾ odwrotności (zobacz zadanie 7; 10; 11,13; 14, tabl. BM 13901
[14] (t.III, str.1)). Postepowanie
¾
zacytujemy na przyk÷
adzie zadania 7; w celu
rozwiazania
¾
równania 11x = 5; 30 nalez·a÷
o tam znaleźć odwrotność liczby 11.
Tekst g÷
osi: ”Odwrotność 11 nie dzieli sie.
¾ Co powinienem wziać
¾ z 11, aby
otrzymać 5; 30? 0; 30”. Czyli rozwiazywano
¾
równanie ax = b.
Uwaga 1 Zauwa·zy÷am tak·ze fakt, ·ze we wszystkich przeanalizowanych przeze
mnie przypadkach, zawsze na miejscu b znajdowa÷a sie¾ liczba, która dzieli÷a
sie¾ przez wspó÷czynnik a bez reszty.
27
2.3
Pierwiastkowanie
Zachowane do dziś materia÷
y zród÷
owe-tabliczki gliniane pokazuja,
¾ z·e Babilończycy poczynili duz·e osiagni
¾ ecia
¾ w rozwiazywaniu
¾
równań kwadratowych.
W zwiazku
¾
z tym, interesujacym
¾
jest sposób w jaki Staroz·ytni obliczali pierwiastki kwadratowe liczb wymiernych.
Do wyznaczania pierwiastków liczb naturalnych s÷
uz·y÷
y tablice wchodzace
¾
w sk÷
ad ”tablic zbiorczych”. Mia÷
y one postać:
n a-rà n
n2
lub niekiedy
n2 ,
n
gdzie termin a-rá oznacza razy [14] (t.II, str.24). Liczby n zawiera÷
y sie¾ w
przedziale od 1 do 1; 0 lub od 1 do 30 [15] (str.32).
W niektórych tablicach obok kwadratów liczb naturalnych podane sa¾osobno pierwiastki tych samych liczb podniesionych do kwadratu, a tablica taka
ma postać:
n2 e n
ib si8 ;
gdzie termin ib-si8 oznacza pierwiastek kwadratowy [14] (t.II, str.31).
Podczas rozwiazywania
¾
równań nalez·y czasem obliczać pierwiastki liczb
”cztero-”, a nawet ”pieciocyfrowych”
¾
, jak np. w tabliczce Strass. 363 [14] (t.I,
str.245) sa¾ to liczby: 51; 31; 6; 40 oraz 1; 14; 4; 26; 40. Wyniki (liczby 56; 40
oraz 1; 6; 40) podane sa¾ od razu w tekście, bez wyjaśnienia drogi obliczeń.
Watpliwe
¾
jest istnienie tak obszernych tablic zawierajacych
¾
pierwiastki liczb
wielocyfrowych, zapewne wiec
¾ istnia÷algorytm u÷
atwiajacy
¾ obliczania. Nie
jest on jednak jawnie podany. Sz.Weksler [16] (str. 42) sugeruje, z·e być moz·e
pierwiastki z liczb bed
¾ acych
¾
pe÷
nymi kwadratami obliczano droga¾ rozk÷
adu
liczby na czynniki postaci:
n2 = a2 b2 ::: r2
gdzie
p
wzglednie
¾
n2 = a2 b2 ::: x;
x by÷znany na przyk÷
ad z pewnej tablicy i wówczas:
p
n = a b ::: r ewentualnie n = a b :::
x:
Co w podanych powyz·ej przyk÷
adach
p daje wynik:
51; 31; 6; 40 = 202 102 172 , stad
¾ 51; 31; 6; 40 = 20 10 17 = 56; 40;
28
1; 14; 4; 26; 40 = 202 202 102 , stad
¾
p
1; 14; 4; 26; 40 = 20 20 10 = 1; 6; 40:
W przypadku, gdy liczba x nie by÷
a pe÷
nym kwadratem Sz.Weksler [16]
(str. 43) radzi nastepuj
¾ ace
¾ przybliz·enie. Dana¾ liczbe¾ x przedstawiano w
postaci sumy :
x = a2 + b;
p
gdzie a jest przybliz·ona¾wartościa¾ x z niedomiarem
(analogicznie moz·na tez·
p
2
x=c
d; gdzie c jest przybliz·ona¾ wartościa¾ x z nadmiarem). Wówczas:
p
x=
p
a2 + b = a +
b
:
2a
Na przybliz·enie to wskazuja¾autorzy W.S.Anglin, J.Lambek, w swojej ksia¾z·ce
[1], lecz nie wyjaśniaja¾podanego wzoru z·adnym tekstem staroz·ytnym. Sz.Weksler podaje jego uzasadnienie opierajac
¾ sie¾ na objaśnieniach E.M.Bruins’a
z artyku÷
u [3], który na podstawie tabliczki znalezionej w miejscowości Tell
Hermal, datowanej na okres starobabiloński wyjaśnia nastepuj
¾ aco
¾ powyz·sze
przybliz·enie. Przyjmijmy, z·e S jest powierzchnia¾ kwadratu. Jeśli S nie
wyraz·a sie¾ liczba¾ bed
¾ ac
¾ a¾ pe÷
nym kwadratem, nalez·y znaleźć liczbe¾ a taka,
¾ z·e
2
2
a < S i nastepnie
¾
pozosta÷
a¾liczbe¾ (oznaczmy ja¾b) bed
¾ ac
¾ a¾róz·nica¾S a
b
podzielić na cztery równe cześci,
¾
tak by tak by kaz·da z nich by÷
a polem prosb
tokata
¾ o boku a. Wtedy drugi bok tego prostokata
¾ wyrazi sie¾ liczba¾ 4a
b
b
(poniewaz· a 4a = 4 jest polem jednego z czterech prostokatów).
¾
Kaz·dy
z prostokatów
¾
przystawiamy do boków a kwadratu ABCD (patrz rysunek
poniz·ej).
29
Otrzymamy w ten sposób …gure,
¾ której pole wynosi:
a2 + 4 a
b
= a2 + b:
4a
Pole to jest w przybliz·eniu równe polu kwadratu o boku A’B’o wymiarach
b
b
a + 2a
(róz·nice¾ stanowia¾ pola czterech naroz·nych kwadratów o boku 4a
):
Mamy zatem stad:
¾
b
a2 + b = (a + )2 ;
2a
co daje:
p
b
(1)
a2 + b = a + :
2a
p
Tabliczka IM 52916 z obliczeniem
2 = 1; 25 wskazuje na moz·liwość
p
b
2
stosowania takz·e przybliz·enia a
b = a 2a
; bowiem
p
2=
p
1; 302
0; 15
= 1; 30
3
0; 15 = 1; 30
0; 5 = 1; 25:
Na taka¾ iterpretacje¾ tej tabliczki wskazuja¾ autorzy pracy [7], David Fowler
i Eleonor Robson. Babilończycy stosowali te przybliz·enia wielokrotnie do
uzyskiwania przybliz·eń innych pierwiastków, np.:
p
p
2
3
=
1 = 2 14 = 1; 45;
p
p2
1
2
p5 = p2 + 1 = 2 + 4 1= 2; 15;
10 = 32 + 1 = 3 + 6 = 3; 10:
Przy czym zapewne stosowali takz·e to przybliz·enie ”iteracyjnie”
(na co
p
wskazuja¾David Fowler i Eleonor Robson), jeśli przyjmiemy x = a i weźmiemy
r = x a2 (x = a2 + r), wówczas pierwszy krok tej iteracji mia÷
by postać:
p
(1)
x = a+
r
x a2
1
x
=a+
=
a+
= x1 :
2a
2a
2
a
W drugim kroku otrzymamy:
1
x
x2 = (x1 + );
2
x1
itd. w n-tym kroku mamy:
1
xn = (xn
2
1
30
+
x
xn
):
1
(2)
Algorytm ten omówiony zostanie dok÷
adnie w nastepnym
¾
paragra…e. Świadectwem jego uz·ycia (jak interpretuja¾ np. autorzy wspomnianej pracy [7] David
Fowler i Eleonor Robson) jest tabliczka YBC 7289. Zawiera ona rysunek
kwadratu z przekatnymi.
¾
Nad bokiem widnieje liczba 30, zaś na przekatnej
¾
i pod nia¾ liczby 1; 24; 51; 10 oraz 42; 25; 35 (patrz rysunek poniz·ej).
Tabliczka YBC 7289
Sa¾ one zapisane jak zwykle bez podania rzedu
¾ wielkości. Ich sens moz·e
być odczytany nastepuj
¾ aco:
¾
jeśli przyjmiemy, z·e a = 30 oznacza d÷
ugość
boku kwadratu, natomiast d = 42; 25; 35 d÷
ugość przekatnej,
¾
wówczas na
podstawie twierdzenia Pitagorasa :
p
d2 = 2 a2 ; skad
¾ d=a
2
trzecia¾ z liczb
p nalez·y interpretować jako c = 1; 24; 51; 10, co jest przybliz·ona¾
wartościa¾ 2:
Wynik ten jest poprawny poniewaz· liczba
(1; 24; 51; 10)2 = 1; 59; 59; 59; 38; 1; 40
jest bardzo bliska 2.
Z tabliczki powyz·szej, zawierajacej
¾ tylko rysunek i trzy liczby, dowiedzieliśmy sie¾ zatem, p
z·e matematycy staroz·ytni wiedzieli, iz· przekatna
¾
kwadratu
jest iloczynem 2 przez jego bok. Stad
¾ wynika, z·e znali oni przynajmniej
szczególny przypadek s÷
ynnego twierdzenia Pitagorasa - a by÷
o to ok.1200
lat przed okresem, w którym przypuszczalnie z·y÷Pitagoras. Z zadania np.
31
5 tabliczki BM 34568 [14] (t.III, str. 18) natomiast moz·emy sie¾ przekonać,
z·e korzystali oni takz·e z tego twierdzenia w pe÷
nej formie. Zacytuje¾ tutaj
to zadanie potwierdzajace
¾ uz·ycie twierdzenia: ”1; 0 jest d÷
ugościa;
¾ 32 szerokościa.
¾ Ile wynosi przekatna?
¾
1; 0 razy 1; 0 jest 1; 0; 0 ; 32 razy 32 jest
17; 4; dodajac
¾ to jest 1; 17; 4. Ile powinienem wziać,
¾ aby otrzymać 1; 17; 4?
1; 8 razy 1; 8 jest 1; 17; 4 ; 1; 8 jest przekatn
¾ a”
¾ . Czyli zosta÷
y tu wykonane
nastepuj
¾ ace
¾ kroki: przyjmijmy x-d÷
ugość, y-szerokość,
z-przk
¾
Wówczas
p
p atna.
x2 = 1; 0; 0; y 2 = 17; 4; x2 + y 2 = 1; 17; 4; z = x2 + y 2 = 1; 17; 4 = 1; 8:
Wracajac
¾ jeszcze do zagadnienia z przekatn
¾ a¾ kwadratu zauwaz·my, z·e:
1; 24; 51; 10 = 1 +
51
10
24
+ 2 + 3 = 1; 41421296296296:::
60 60
60
W jaki sposób Babilończycy doszli do tak zadziwiajacego
¾
przybliz·enia? Na
pewno nie przez pomiar, bo gdyby bok kwadratu mia÷d÷
ugość jednej mili,
to b÷
ad
¾ w pomiarze przekatnej
¾
musia÷
by wynosić (w systemie dziesietnym)
¾
mniej niz· milimetr [4] (str.186). Niewatpliwie,
¾
aby uzyskać taka¾ dok÷
adność
musieli oni pos÷
ugiwać
si
e
¾
obliczeniami.
Stosuj
ac
¾
wspomniany
algorytm
dla
p
¾ a = 1; 30 otrzymamy znana¾
przybliz·enia 2, w pierwszym kroku, przyjmujac
juz· przybliz·ona¾ wartość 1; 25:
p
1
2
1
2 = (1; 30 +
) = (1; 30 + 1; 20) = 1; 25 = x1 :
2
1; 30
2
I dalej biorac
¾ x1 = 1; 25; otrzymujemy dok÷
adniejsze przybliz·enie:
p
2
1
1
) = (1; 25 + 1; 24; 42; 20) = 1; 24; 51; 10 = x2 ,
2 = (1; 25 +
2
1; 25
2
uz·yte w÷
aśnie w omawianej tabliczce.
1
Uwaga 2 Zauwa·zmy, ·ze warto´s´c odwrotno´sci 1;25
jest u÷amkiem okresowym i
wynosi 0; 42; 21; 10; 35; 17; 38; 49; 24; 42; 21; :::, dlatego aby uzyska´c przybli·zenie otrzymane w tabliczce matematyk babilo´nski u·zy÷przybli·zenia do trzeciego
1
miejsca: 1;25
= 0; 42; 21; 10.
Uwaga 3 Po przeanalizowaniu posiadanej bibliogra…i (ksia¾·zek, artyku÷ów,
stron internetowych) zauwa·zy÷am, ·ze na u·zycie wzoru przybli·zenia (1) oraz
(2) (jednak tylko dla dwóch pierwszych kroków) jako pierwszy zwróci÷uwage¾
O.Neugebauer w swoim dziele Vorgriechische Mathematik [15] (str.35,37),
32
ju·z w 1934 roku. Pó´zniej obserwacje¾ ta¾ przekaza÷w dopracowanej i uzasadnionej formie Sz.Weksler [16] (str.43-47), w 1968 roku. Algorytm (2)
zastosowa÷jednak nadal dla dwóch pierwszych kroków. Nastepnie
¾
w 1970
A.P.Juszkiewicz w dziele Historia matematyki, Tom I, PWN, Warszawa
1975 [12] (str. 52) (rok 1970 jest rokiem pierwszego wydania rosyjskiego)
wspomina ju·z o itera- cyjno´sci tego wzoru, a D.Fowler i E.Robson Square
Root Approximations in Old Mathematica: YBC 7289 in Context [7] z roku
1998, zauwa·zaja¾powiazanie
¾
obu tych wzorów.
Dodajmy w tym miejscu, z·e powszechność
tablic odwrotności
p uz·ywania
1
x
uprawdopodabnia stosowanie przybliz·enia x = 2 a + a ; na co wskazuja¾
David Fowler i Eleonor Robson. S÷
uszność wspomnianego wcześniej algorytmu udowodnimy podanymi w nastepnym
¾
paragra…e lematami i twierdzeniami.
2.3.1
Babiloński algorytm pierwiastkowania
Algorytm 4 Niech a > 0 bedzie
¾
przybli·zona¾ warto´scia¾ pierwiastka kwadrap
towego liczby
x
>
0,
z
nadmiarem
(wzgl
ednie
¾
z
niedomiarem
),
tzn.
x<a
p
x
x > a). Wówczas liczba a jest przybli·zona¾warto´scia¾pierwiastka
(wzglednie
¾
z liczby x z niedomiarem (wzglednie
¾
z nadmiarem). ´Srednia arytmetyczna
powy·zszych przybli·ze´n:
1
x
(3)
x1 = (a + )
2
a
p
daje lepsze przybli·zenie szukanej warto´sci x i zawsze jest ono z nadmiarem:
Postepuj
¾ ac
¾ dalej rekurencyjnie tworzymy ciag
¾ przybli·ze´n:
8
x1 = 21 (a + xa )
>
>
< x = 1 (x + x )
2
1
2
x1
(4)
...
>
>
:
xn+1 = 12 (xn + xxn );
p
który coraz dok÷adniej przybli·za z nadmiarem liczbe¾ x:
p
Lemat 5 Je´sli liczba a jest przybli·zeniem x z nadmiarem (niedomiarem),
wówczas xa jest przybli·zeniem z niedomiarem (nadmiarem).
p
Dowód. Rozwaz·my przypadek przybliz·enia z nadmiarem, tzn. x < a; co
jest równowaz·ne temu, z·e
x < a2 :
(5)
33
p
¾
Pokaz·emy, z·e xa jest przybliz·eniem z niedomiarem, tzn. xa < x: Mnoz·ac
2
2
nierówność (5) stronami przez
¾ przez
p x otrzymujemy x < a x i dalej dzielac
2
a2 mamy xa2 < x, skad
¾ xa < x, co dowodzi lematu. Analogicznie rozwaz·amy
przypadek przybliz·enia z niedomiarem.
Lemat 6 Przybli·zenie
1
x
x1 = (a + )
2
a
jest zawsze przybli·zeniem z nadmiarem, bez wzgledu
¾ na to, jakim przybli·zeniem by÷a liczba a:
Dowód. Musimy pokazać, z·e x1 >
p
x: Zauwaz·my, z·e (x
a2 )2 > 0, stad:
¾
x2
2a2 x + a4 > 0 j: a2 > 0
4a2 x
>0
a2
x2
2
a + 2x + a2 4x > 0
2
a2 + 2x + xa2 > 4x
2
1 2
(a + 2ax
+ xa2 ) > x
4
a
1
(a + xa )2 >px
4
1
(a +pxa ) > x
2
x1 > x;
a4 +2a2 x+x2
co dowodzi lematu.
Z lematu tego wynika, z·e wszystkie wartości (xk ) sa¾ przybliz·eniem z nadmiarem, czyli:
p
8k 2 N xk > x
(6)
p
Pokaz·emy teraz, z·e ciag
¾ (xk ) jest malejacy
¾ i zbiez·ny do x. Fakt ten zauwaz·ony jest takz·e w ksia¾z·ce W.S.Anglin, J.Lambek, The Heritage of
p Thales,
Springer-Verlag 1995. Jest tam podane bez dowodu oszacowanie x przez
p
liczbe¾ xk i z niego wyprowadzone jest, z·e granica ciagu
¾ (xk ) wynosi x:
Ja jednak istnienie granicy udowodni÷
am samodzielnie i niezalez·nie od tego
oszacowania.
Twierdzenie 7 Niech (xk ) bedzie
¾
ciagiem
¾
przybli·ze´n
(4). Wówczas:
a) ciag
¾ (xk ) jest malejacy,
¾ tzn. xk+1 < xk ;
34
p
x okre´slonym jak w
b) limk
!1
xk =
p
x:
Dowód. Ad.a). Zauwaz·my, z·e:
xk
xk+1 = xk
1
x
1
(xk + ) = xk
2
xk
2
1 x
1
= (xk
2 xk
2
x
)
xk
(7)
p
Z (6) mamy, z·e xk > x dla kaz·dego k. Stad
¾ x2k > x, zatem xk > xxk , co
implikuje xk xxk > 0: Wówczas z (7) otrzymujemy:
xk
xk+1 > 0;
co nalez·a÷
o udowodnić.
Ad.b). Poniewaz· ciag
¾ (xk ) jest ograniczony z do÷
u przez
nicznie malejacy,
¾ zatem posiada granice.
¾ Niech:
p
lim xk = x
x:
p
x oraz monoto-
k !1
Mamy:
x = limk
1
(x + xx ):
2
!1
xk = limk
1
!1 2 (xk
+
x
)
xk
=
1
(limk !1
2
xk + limk
x
!1 xk )
=
Stad:
¾
x = 12 (x + xx ) j 2
2x = x + xx
x = xx
j x
2
x =px
x = x;
p
czyli limk !1 xk = x:
Zbadamy teraz ”szybkość” pracy tego algorytmu. W p
tym celu podamy
dwa twierdzenia, które szacuja¾ róz·nice¾ pomiedzy
¾
xk a x, nastepnie
¾
na
przyk÷
adzie pokaz·emy, jak kaz·dy nastepny
¾
krok algorytmu zwieksza
¾
dok÷
adność przybliz·enia. Pierwsze z tych twierdzeń jest mojego autorstwa, drugie
zaś (znacznie lepsze) znalaz÷
am potem w ksia¾z·ce W.S.Anglin, J.Lambek, The
Heritage of Thales [1], gdzie podane jest bez dowodu.
35
p
Twierdzenie 8 Niech (xpk ) bedzie
¾
ciagiem
¾
przybli·ze´n
x
1
(4). We´zmy M > 2 (1 x1 ): Wówczas:
0
xk
p
p
x < M k 1 (x1
x) ,
k
x;okre´slonym jak w
(8)
2:
Dowód. Udowodnimy powy·zsza¾nierówno´s´c indukcyjnie.
Krok 1. Dla k=2.
p
p
p
p
x2 p x = 12 x1 + 12 xx1
x = 12 (x1p
x) + 12 ( xx1
x) p
= 12 (x1
p
p
p
+ 12 x1x ( x x1 ) = 12 (x1
x) 12 x1x (x1
x) = 12 (1 x1x )(x1
p
< M (x1
x):
p
x)+
p
x) <
Krok 2. Za÷ó·zmy, ·ze dla pewnego k 2 N; k 2 zachodzi oszacowanie:
p
p
xk
x < M k 1 (x1
x)
Poka·zemy, ·ze zachodzi ono dla k + 1:
p
p
p
p
xk+1
x = 12 xk + 12 xxk
x = 12 (xk
x) + 12 ( xxk
x) = 12 (xk
p
p
p
p (9)
p
x
1 x
1
k 1
(x
x)
=
(1
)(x
x)
M
(x
x) 12 (1
k
k
1
28
xk
2
x
k
9
(tw:7)
>
>
<
=
x k < x1
p
p
x
1
k 1
1
1
=
<
M
(x
x)
(1
) = M k (x1
>
1
2
x1
xk
x1 p >
p
>
:
;
1 xkx < 1 x1x
(9)
p
x)
p
x
)
xk
p
=
x);
co na mocy indukcji matematycznej ´swiadczy o tym, ·ze oszacowanie (8)
zachodzi dla ka·zdego k 2 N; k 2 .
Twierdzenie 9 [1]Przybli·zenie
nastepuj
¾ ac
¾ a¾nierówno´scia:¾
0
gdzie
=
x1
p
x
xk
p
p
x liczba¾ xk , k
x<
2
2k 1
2
1:
36
2k
1
2 mo·zemy oszacowa´c
p
x;
(10)
Dowód. Przyjmijmy
wynika, z·e 6= 0
Musimy wykazać, z·e :
x1
p
x
=
p
xk
1: Z przyjetych
¾
w Algorytmie (4) za÷
oz·eń
x<
2
22k
2k
co równowaz·nie, przy podzieleniu przez
x
pk
x
Dla k = 1:
p
x1
p
2k
22k
p
x;
x > 0 oznacza:
2
1<
1
1
1
(11)
1
p
p
1) x =
x:
x1
x = (p
x
Pokaz·emy teraz ponadto, z·e zachodzi implikacja:
x
pk
x
xk+1
p
x
1
(
2
+1+
1
2
1
(xk + xx
2
k
1=
p
x
1
)
+1
2+
+1
+1
=
1=
Wówczas mamy:
x1
p
1= ;
x
x2
p
x
x
3
p
x
x4
p
x
1=
1=
1=
)
1 = 12 ( pxkx +
1 = 21 ( (
1
2
2
+1
xk+1
) p
x
1=
+1
+1)2 +1
)
+1
1=
1
2
p
x
)
xk
1<
1 = 12 ( pxkx
+1
<
1 2
,
2
2
+2
)
+1
x
pk
x
1
)
1+1
1=
1=
co kończy dowód implikacji.
(12)
1 2
(krok 1 indukcji dla k=2);
2
2
00
< 12 ( 0 )2 = 12 ( 12 2 )2 = 213 4 = 224 2 ;
3
000
< 12 ( 00 )2 = 12 ( 213 4 )2 = 12 ( 216 8 ) = 217 2
0
(12)
1+1+
2 +2
1 = 12 (
2
1
2
<
=
2
28
23
=
2
2 23
23
:
Wracajac
¾ teraz do dowodu (11) za÷
óz·my, z·e nierówność ta zachodzi dla
pewnego k 2 N, k 2 czyli:
x
pk
x
1
<
37
2
2k 1
2
2k
1
(13)
Pokaz·emy, z·e dla k + 1 zachodzi teza:
xk+1
p
x
=
1
1
(
2 (22k 1
(13)
1 2
< 12 ( 22k2
2
= 12 22(2k1 1 1)
(12)
1 <
2k
1 )2
)
xk+1
p
x
2k
1<
1
1
2k
=
1
2
2k
2
2 2k
)2 = 12 ( 22k
2 2k
2
2k
1
1
2k
1
:
2
=
1
2
)=
2k
1
2 2k
1
1
=
2k
2
2 2k
co na mocy indukcji świadczy o tym, z·e teza zachodzi dla dowolnego k 2 N,
k 2:
Przyk÷
ad 10 Przyjmijmy
p
x1
p
x
1 = 10
1
= ; wówczas x1
p
x = 10
1
p
x
oraz M > 21 (1 x1x ) = 5 10 2 : Zauwa·zmy, ·ze:
- na podstawie
nierówno
p
p ´sci (8) mamy: p
p
x2 p x < M (x1 p x) = 5 10 2 10 1 px = 0; 5 10 2p x;
p
1
x = 25 10 5p x = 0; 25 10 3 px;
x3 p x < M 2 (x1 p x) = (5 10 2 )2 10 p
x4 px < M 3 (x1 px) = (5 10 2 )3 10 1 px = 125 10 7 px = 0; 125 10 4 px;
x < M 4 (x1
x) = (5 10 2 )4 10 1 x = 625 10 9 x = 0; 625 10 6 x;
x5
- na podstawie
nierówno´sci (10)
p
p mamy:
2 2p
1
2
x2
x < 22
x = 2 10
x;
p
p
22 p
1
2
4
x = 8 10
x;
x3
x < 2 22
p
p
23 p
1
2
8
x = 128 10
x;
x < 2 23
x4
p
p
p
4
1
x5
x < 2224 2 x = 32768
10 16 x:
Wida´c zatem, ·ze nierówno´s´c (10) lepiej pokazuje dzia÷anie algorytmu i´swiadczy o tym, ·ze ka·zdy kolejny krok zwieksza
¾
coraz bardziej dok÷adno´s´c przybli·zenia:
38
;
3
Algebra babilońska
S÷
owo algebra Europejczycy poznali dzieki
¾ ksia¾z·ce ”Hisab al-jabar wa’l-mukabala”(O odtwarzaniu i przeciwstawianiu) arabskiego uczonego AL-Khuwārizm¯¬, dlatego dziedzina ta traktowana by÷
a jako arabska nauka i zachowa÷
a
arabska¾ nazw¾
e al-jabar. Obecnie wiemy jednak wiecej.
¾
Wiemy, z·e ponad
dwa tysiace
¾ lat przed nasza¾ era¾ nauka ta, kultywowana by÷
a juz· w szko÷
ach
staroz·ytnego Babilonu, i jej prawdziwe imie¾ al-jabar, pochodzi z jezyka
¾
Babilończyków i oznacza równanie, konfrontacje¾ - konfrontacje¾ dwóch jednakowych stron równania [8].
3.1
Typy równań
Charakterystyczna¾cecha¾równań zapisanych na tabliczkach babilońskich jest
to, z·e by÷
y one formu÷
owane nie w postaci symboli, lecz s÷
ownie, w postaci
dyrektyw arytmetycznych wykonywanych na niewiadomych. Brak tu takz·e
symboli dzia÷
ań arytmetycznych oraz znaku równości. Same niewiadome
oznaczone sa¾ na ogó÷terminami geometrycznymi takimi jak np.: ”d÷
ugość”,
”szerokość”, ”bok kwadratu/prostokata”
¾ , ”powierzchnia” itp. Ideogra…czna
pisownia nadaje jednak równaniom postać analogiczna¾ do symbolicznej, dlatego zapisanie równania nie sprawia trudności. Jak np. w tabliczce BM
13901,16 [14] (t.III, str.8) znajdujemy zadanie: ”31 boku kwadratu odja÷
¾em
od powierzchni i to wynosi 0; 5”, co w zapisie symbolicznym daje:
1
x2
x = 0; 5:
3
W tekstach klinowych znaleźć moz·na bardzo wiele zadań sprowadzajacych
¾
sie¾
do równań i uk÷
adów pierwszego i drugiego stopnia zapisanych w÷
aśnie przy
uz·yciu tej terminologii. Zadania sa¾ czesto
¾ tak zredagowane, z·e gdy prze÷
oz·y
sie¾ je na wspó÷
czesny zapis algebraiczny, powstaja¾ bardzo skomplikowane
wyraz·enia, z nawiasami wewnatrz
¾ nawiasów (patrz zadania tabliczki YBC
4695 [14] (t.III, str. 34)). Dlatego umiejetność
¾
Babilończyków redukowania
takich wyraz·eń, bez pomocy dzisiejszej techniki algebraicznej, do postaci
typowych równań, wydaje sie¾ imponujaca.
¾
Ciekawa¾ systematyk¾
e typów równań odnaleźć moz·na w pracy S. Gandz’a
[8]. Podczas, gdy Sz.Weksler [16] segreguje równania wed÷
ug wielkości stopnia niewiadomej, on skupia sie¾ na równaniach kwadratowych, poniewaz· w
tej dziedzinie Babilończycy odnieśli zasadnicze sukcesy. Wymienia 9 typów
równań:
39
I
x+y =a
xy = b
II
x y=a
xy = b
III
x+y =a
x2 + y 2 = b
IV
x y=a
x2 + y 2 = b
V
x+y =a
x2 y 2 = b
VI
x y=a
x2 y 2 = b
VII (AI) x2 + ax = b
VIII (AIII) x2
ax = b
IX (AII) x2 + b = ax:
Pierwsze sześć typów autor nazywa ”typami Diphonatus’a”, poniewaz· zaprezentowa÷je Diphonatus w swoim dziele ”Arytmetyka”i autor twierdzi, z·e
równania te Staroz·ytni rozwiazywali
¾
zgodnie z metoda¾ prezentowana¾ przez
Diphonatus’a. Trzy fundamentalne typy równań kwadratowych (VII-IX)
Europejczycy poznali dzieki
¾ arabskiemu uczonemu Al-Khuwārizm¯¬, dlatego
nazwane sa¾ ”arabskimi typami”. Oznaczać je bedziemy
¾
AI-AIII. W rzeczywistości oczywiście wszystkie maja¾ pochodzenie babilońskie.
Zauwaz·my, z·e gdy w równaniu (I) podstawimy x = a y (ewentualnie
y = a x), wówczas ÷
atwo rozpoznamy w nim arabski typ AII i podobnie
rozwiazuj
¾ ac
¾ równanie (II) wzgledem
¾
x i y powstaje typ AI i AIII.
3.2
Metody rozwiazywania
¾
Algebra równań liniowych i kwadratowych osiagn
¾ e÷
¾ a wysoki poziom juz· w
epoce Hammurabiego. Wyros÷
a ona w Babilonii na bazie problemów zwiazanych
¾
g÷
ównie z kwadratem i prostokatem-jego
¾
bokami, powierzchnia¾i przekatnymi.
¾
40
Równania stopnia pierwszego i ich uk÷
ady w tekstach klinowych wystepuj
¾ a¾
rzadko. Dziedzina,
¾ w której zas÷
yneli
¾ Staroz·ytni by÷
o rozwiazywanie
¾
równań
kwadratowych i uk÷
adów prowadzacych
¾
do nich, dlatego w tekstach zadań
takich jest przewaz·ajaca
¾ wiekszość.
¾
Zauwaz·yć nalez·y fakt, z·e Babilończycy nie znali liczb ujemnych, dlatego
wszystkie równania maja¾zawsze dodatnie rozwiazania.
¾
Ponadto rozwiazaniem
¾
sa¾ tylko te wartości x (d÷
ugość) i y (szerokość) dla których x > y: Matematycy staroz·ytni nie wiedzieli takz·e o istnieniu podwójnego pierwiastka z liczby
kwadratowej, nie przeszkadza÷
o im to jednak w sprawnym rozwiazywaniu
¾
równań kwadratowych.
Pierwsze dwa typy (I) i (II) S.Gandz [8] (str.412) określa jako fundamentalne i elementarne. Rozwiazanie
¾
tego typu równań nie jest nigdy jasno
określone, jednak Babilończycy dobrze je znali. Rzadko tez· równania te wystepuj
¾ a¾ w takiej prostej formie, lecz zazwyczaj w bardziej skomplikowanym
problemie, który kilkoma krokami redukowany jest do typu (I), gdzie rozwiaza¾
niem jest :
r
r
a
a 2
a
a
x= + ( )
b ; y=
( )2 b;
2
2
2
2
zaś w typie (II) :
r
a
a
x = ( )2 + b +
2
2
;
y=
r
a
( )2 + b
2
a
;
2
(patrz przyk÷
ad 13 i dalsze).
Autor wymienia dwie drogi prowadzace
¾ do znalezienia rozwiazania
¾
tych
typów. Pierwsza z nich to redukcja równań do typów arabskich i rozwiazanie
¾
poprzez dope÷
nienie ich do kwadratu, co w przypadku AI i AIII przedstawia
sie¾ nastepuj
¾ aco:
¾
x2 ax = b
x2 ax + ( a2 )2 = ( a2 )2 + b
(x a2 )2 p
= ( a2 )2 + b
a
x p
= ( a2 )2 + b
2
x = ( a2 )2 + b a2 ;
41
zaś w typie AII mielibyśmy:
x2 + b = ax
x2 ax = b
x2 ax + ( a2 )2 = ( a2 )2
(x a2 )2 p
= ( a2 )2 b
x = a2 + ( a2 )2 b:
b
Zauwaz·my jednak, z·e metoda transformacji (I) w AII i rozwi
¾
przez
p aazanie
a
2
dope÷
nienie, daje tylko jeden wynik dla d÷
ugości: x = 2 + ( 2 )
b i nie
p a
a
2
sposób teraz znaleźć szerokość y = 2
(2)
b: Jeśli za÷
oz·ylibyśmy, z·e
Babilończycy wiedzieli o istnieniu ujemnego pierwiastka,
wówczas otrzymap a
( 2 )2 b (jak równiez· dla y).
libyśmy druga¾ wartość dla x i wtedy x = a2
Ale wtedy równiez· w typie (II) ze wzgledu
¾ na istnienie dodatniego i ujemnego
pierwiastka pojawi÷
aby sie¾ formu÷
a rozwiazania:
¾
r
a
a
( )2 + b
;
2
2
dajaca
¾ dwie wartości dla x, jak i y: W rzeczywistości jednak Babilończycy nie
wiedzieli o istnieniu podwójnego pierwiastka i rozwiazanie
¾
w typie (I): a2
p a
( 2 )2 b nie by÷
o podwójne dla kaz·dej zmiennej, lecz jedno dla kaz·dej z nich.
Wielkości te by÷
y jasno rozróz·niane jako d÷
i szerokość-y: D÷
ugość
pugość-x
x y
a 2
b = 2 by÷dodawany
jako wieksza
¾
wielkość, do której wyróz·nik ( 2 )
oraz y jako mniejsza,
od
której
odejmowano.
Podobnie
w typie (II) d÷
ugość
p a
a
2
mia÷
a wartość ( 2 ) + b+ 2 ; natomiast mniejsza wielkość-szerokość wynosi÷
a
p a
a
2
( 2 ) + b 2 : Podwójna wartość dla jednej niewiadomej by÷
a najwidoczniej
p a
rzecza¾dziwna¾i nielogiczna¾dla Staroz·ytnych. Dlatego formu÷
a a2
( 2 )2 b
nie udowadnia podwójności pierwiastka, lecz wskazuje kierunek znalezienia
dwóch niewiadomych - raz przez dodanie, raz przez odjecie
¾ pewnej liczby.
Ponadto w tekstach matematycznych nie
najdrobniejszych wskazówek
p ma
sugerujacych
¾
przypisywanie wartości
( a2 )2 + b a2 dla x lub y w typie
(II). Rozwiazaniem
¾
sa¾ zawsze liczby dodatnie.
Dlatego Gandz radzi [8] (str.416), za Diphonatus’em, do rozwiazywa¾
nia problemów (I), (II), (III), (V) uz·ycie drugiej metody polegajacej
¾ na
wprowadzeniu nowej niewiadomej z:
Jeśli dana jest suma
x + y = a;
(14)
42
wówczas de…niujemy róz·nice¾
x
(15)
y = 2z:
Zauwaz·my, z·e z (14) oraz (15) otrzymujemy x = a2 +z, y =
to do warunku xy = b mamy:
a
2
z: Podstawiajac
¾
( a2 + z)( a2 z) = b
( a2 )2 z 2 = b
z 2 = ( a2 )2 b:
I stad:
¾
r
r
a 2
a
a
a
b ; y=
( )2 b:
x= + ( )
2
2
2
2
Natomiast, jeśli dana jest róz·nica x y = a; wówczas de…niujemy x + y = 2z:
W tym przypadku x = z + a2 , y = z a2 : Podstawiajac
¾ do wyraz·enia xy = b,
p a
p
a 2
2
2
otrzymujemy z ( 2 ) = b; skad
¾ z = ( 2 ) + b i ostatecznie x = ( a2 )2 + b+
p a
a
,
y
=
( 2 )2 + b a2 .
2
I tutaj chcia÷
am zwrócić uwage¾ na pewne stwierdzenie S.Gandza. Mianowicie pisze on [8] (str.413), z·e matematycy staroz·ytni starali sie¾ unikać
typów arabskich i woleli problemy sprowadzać do typów Diphonatus’a. Jednak zadania z tabliczki np. BM 13901 (zad.1-7) [14] (t.III, str.5) oraz tabliczki
Strass. 363 (zad.1-3) [14] (t.I, str.214) wyraźnie pokazuja,
¾ z·e uz·ywali oni
typów arabskich, a rozwiazania
¾
nie sprawia÷
y im wiekszych
¾
k÷
opotów. Cześć
¾
z tych zadań zostanie rozwiazana
¾
w rozdziale drugim. Unikali oni tylko typu
AII.
Sz.Weksler natomiast podchodzi do problemu algebry w zupe÷
nie inny
sposób [16] (str.67). Zauwaz·a, z·e do rozwiazywania
¾
równań uz·ywano niz·ej
podanych regu÷rachunkowych. Regu÷
y te nie by÷
y w tabliczkach jawnie podane, ale stale je stosowano. Oto one:
(x + y) + (x
y) = 2x:
(R1)
Regu÷
a ta stosowana by÷
a równiez· w postaci:
x+y x y
+
= x:
2
2
Porównaj np. YBC 6504,1 [14] (t.III, str.22); AO 8862 [14] (t.I, str.113).
x
(x
y) = y;
43
(R2)
stosowana tez· w postaci:
(x + y)
(x
y) = 2y
lub tez·:
x+y x y
= y:
2
2
Porównaj np.BM 34568, 10-11 [14] (t.III, str.18); BM 13901,8 [14] (t.III,
str.7).
(x y)2 = x2 2xy + y 2 ;
(R3)
uz·yta np. w zadaniu 6 tabliczki BM 13901 [14] (t.III, str.6).
y)(x + y) = x2
(x
y2;
(R4)
y)2 ;
(R5)
zobacz np. AO 8862,3 [14] (t.I, str.115).
y)2
(x
4xy = (x
uz·ywana równiez· jako:
(
x
y
2
)2
xy = (
x
y
2
)2 ;
porównaj BM 34568,15 [14] (t.III, str.19); AO 8862,4 [14] (t.I, str.115).
(x + y)2 + (x
y)2 = 2(x2 + y 2 );
(R6)
stosowana takz·e jako:
(
x+y 2
x y 2 x2 + y 2
) +(
) =
;
2
2
2
patrz BM 13901 [14] (t.III, str.7).
(xy)2 = x2 y 2 ;
(R7)
porównaj BM 13901,10 [14] (t.III, str.7).
I jeszcze wzór, którego nie wymienia Sz.Weksler, ale zosta÷uz·yty w tabliczce
BM 34568,13 [14] (t.III, str.18):
(x2 + y 2 )
(x
44
y)2 = 2xy:
(R8)
Rozwiazywanie
¾
równań opiera÷
o sie¾ na zastosowaniu przekszta÷
cenia równowaz·nego. W tym celu uz·ywano wyz·ej wymienionych wzorów oraz operacji,
które za chwile¾ zostana¾ wymienione i które jawnie równiez· nie by÷
y formu÷
owane:
O1 dodawanie (odejmowanie) do obu stron równania pewnej liczby,
O2 mnoz·enie (dzielenie) obu stron równania przez liczbe,
¾
O3 dodawanie (odejmowanie) równań stronami,
O4 podnoszenie obu stron równania do kwadratu,
O5 pierwiastkowanie obu stron równania.
Stosowana by÷
a takz·e tzw. metoda fa÷
szywego za÷
oz·enia. Uz·ywana by÷
a
sporadycznie, g÷
ównie do rozwiazywania
¾
równań postaci: ax = b lub ax2 =
b. Jako ”fa÷
szywe” rozwiazanie
¾
przyjmuje sie¾ tu pewna¾ liczbe¾ i oblicza
wartość , jaka¾przyjmuje wyraz·enie po lewej stronie równania, gdy w miejsce
niewiadomej x podstawimy : Nastepnie
¾
korzystajac
¾ z proporcji x : = b :
2
2
lub x :
= b :
wyznacza sie¾ niewiadoma.
¾ Gdy
= 1 rozwiazanie
¾
jest natychmiastowe. Metoda ta uz·yta jest np. w tabliczce 8389 [14] (t.I,
str.328).
Uwaga 11 Po przeanalizowaniu wielu równa´n, stwierdzam, ·ze metoda podstawiania, o której mówi Gandz u·zywana by÷a rzadko, w wiekszo
¾ ´sci rozwiaza´
¾ n
zastosowane sa¾metody, które wymienia Sz.Weksler.
3.3
Przyk÷
ady z rozwiazaniami
¾
Rozwiazywanie
¾
zadań przeprowadzać bed
¾ e¾ wed÷
ug nastepuj
¾ acego
¾
schematu:
w lewej kolumnie zapisane bed
¾ a¾kroki numeryczne zawarte w tekście tabliczki,
w prawej zaś obliczenia w÷
asne wyznaczajace
¾ niewiadoma¾ i wyjaśniajace
¾
poszczególne kroki. W razie potrzeby, jeśli zadanie zawiera÷
o bedzie
¾
kwestie
sporne, zacytuje¾ je w ca÷
ości. Uz·yte symbole Vs. oraz Rs. oznaczaja¾przednia¾
oraz tylna¾ strone¾ tabliczki.
45
3.3.1
Równania kwadratowe
Sformu÷
owane i rozwiazane
¾
równania pierwszego stopnia wystepuj
¾ a¾ w tekstach rzadko, zw÷
aszcza o jednej niewiadomej. Otrzymujemy je natomiast w
toku przekszta÷
ceń równowaz·nych, podczas rozwiazywania
¾
równań stopnia
drugiego. Np. w zadaniu 1 tabliczki BM 13901 dochodzimy do równania:
x + 0; 30 = 1 (patrz przyk÷
ad poniz·ej), skad
¾ niewiadoma¾ oblicza sie¾ przy
pomocy przekszta÷
cenia (O1).
Uwaga 12 Wszystkie przeanalizowane przeze mnie równania kwadratowe
rozwiazywano
¾
przez sprowadzenie ich do typów AI lub AIII, nastepnie
¾
niewiadoma¾wyznaczano przez dope÷nienie do kwadratu. Przytoczone poni·zej przyk÷ady
obalaja¾jednocze´snie teze¾ S.Gandza, jakoby Babilo´nczycy unikali typów arabskich. Bed
¾ a¾ to równania z tabliczki BM 13901 [14] (t.III, str.1), nale·zacej
¾
wraz z tabliczka¾ AO 8862 do najstarszych materia÷ów zawierajacych
¾
dane
matematyczne. Zadania te charakteryzuja¾typowe postepowanie
¾
podczas rozwiazy¾
wania równa´n, reszta zada´n tabliczki zosta÷a rozwiazana
¾
analogicznie. Zauwa·zy´c te·z mo·zna, ·ze w sze´sciu na dziewie¾´c problemów dotyczacych
¾
równa´n,
rozwiazania
¾
powtarzaja¾sie¾ - jest nim x = 0; 30. Identyczno´s´c rozwiaza´
¾ n jest
charakterystyczna¾cecha¾algebry babilo´nskiej.
Tabliczka BM 13901
46
AO 8862, cz. I
AO 8862, cz. II
47
AO 8862, cz.III
AO 8862, cz.IV
48
Przyk÷
ad 13 Zad.6 tabl. BM 13901 [14] (t.III, str.6)
Tekst w jezyku
¾
akadyjskim wyglada
¾ jak poni·zej:
Tre´sci t÷umaczy÷am samodzielnie z niemieckiej transkrypcji O.Neugebauera i
w tym przyk÷adzie brzmia:¾ "Powierzchnie¾i dwie trzecie boku mojego kwadratu
doda÷em i jest 0; 35", co daje nam równanie:
2
x2 + x = 0; 35:
3
Kroki rozwiazania
¾
sa¾ nastepuj
¾ ace:
¾
"We´z 1, wspó÷czynnik. Dwie trzecie z
1, jest 0; 40. Po÷owa tego to 0; 20 pomnó·z przez 0; 20, 0; 6; 40 dodaj do
0; 35 i 0; 41; 40 ma 0; 50 jako pierwiastek kwadratowy. 0; 20, które mno·zy÷e´s
przez siebie odejmij od 0; 50 i 0; 30 jest kwadratem.´Stad
¾ mamy nastepuj
¾ ace
¾
obliczenia:
2
= 0; 40
3
0;40
= 0; 20
2
2
(0; 20) = 0; 6; 40
0;
p 35 + 0; 6; 40 = 0; 41; 40
0; 41; 40 = 0; 50
0; 50 0; 20 = 0; 30 = x
x2 + 0; 40x = 0; 35
j +(0; 20)2
x2 + 0; 40x + (0; 20)2 = 0; 35 + (0; 20)2
(x + 0; 20)2 = 0; 41; 40
x + 0; 20 = 0; 50
x = 0; 50 0; 20
x = 0; 30:
Wida´c tu zastosowanie regu÷y (R3) oraz operacji:
Rozwiazanie
¾
p a (O1) i (O5).
a
2
zosta÷o uzyskane przy pomocy wzoru: x = ( 2 ) + b 2 , czyli zgodnie z
typem (AI).
49
Przyk÷
ad 14 Zad.16 tabl. BM 13901 [14] (t.III, str.8)
"Jedna¾ trzecia¾ boku kwadratu odja÷
¾em od powierzchni i to jest 0; 5:"Mamy
zatem równanie:
1
x2
x = 0; 5
3
oraz rozwiazanie:
¾
1
3
= 0; 20
0; 20 0; 30 = 0; 10
0; 102 = 0; 1; 40
0;
p 1; 40 + 0; 5 = 0; 6; 40
0; 6; 40 = 0; 20
0; 10 + 0; 20 = 0; 30 = x
x2 0; 20x = 0; 5
x2 0; 20x + ( 0;20
)2 = 0; 5 + ( 0;20
)2
2
2
(x 0; 10)2 = 0; 5 + 0; 1; 40
(x 0; 10)2 = 0; 6; 40
x 0; 10 = 0; 20
x = 0; 10 + 0; 20 = 0; 30
Przyk÷
ad 15 Zad.4 tabl. BM 13901 [14] (t.III, str.5)
"Jedna¾trzecia¾powierzchni odja÷
¾em od powierzchni i doda÷em bok kwadratu i
to jest 4; 46; 40", czyli powsta÷o równanie:
1 2
x2
x + x = 4; 46; 40;
3
które równie·z rozwiazano
¾
przez uzupe÷nienie do kwadratu:
1
3
= 0; 20
1 0; 20 = 0; 40
0; 40 4; 46; 40 = 3; 11; 6; 40
1
= 0; 30
2
(0; 30)2 = 0; 15
0; 15 + 3; 11; 6; 40 = 3; 11; 21; 40
p
3; 11; 21; 40 = 13; 50
13; 50 0; 30 = 13; 20
1
= 1; 30
0;40
13; 20 1; 30 = 20
x = 20
x2 13 x2 + x = 4; 46; 40
(1 0; 20)x2 + x = 4; 46; 40
0; 40x2 + x = 4; 46; 40 j 0; 40
(0; 40x)2 + 0; 40x = 3; 11; 6; 40
t 0; 40x
t2 + t = 3; 11; 6; 40 j +(0; 30)2
t2 + t + (0; 30)2 = 3; 11; 6; 40 + (0; 30)2
(t + 0; 30)2 = 3; 11; 21; 40
t + 0; 30 = 13; 50
t = 13; 50 0; 30 = 13; 20
0; 40x = 13; 20
x = 13;20
= 20:
0;40
Wida´c zatem, ·ze w przypadku gdy wspó÷czynnik przy najwy·zszej potedze
¾ by÷
ró·zny od 1, wówczas stosowano operacje¾(O2) i równanie rozwiazywano
¾
wzgle¾
dem nowej niewiadomej (u nas t): Analogicznie rozwiazane
¾
sa¾zadania 3 i 7
powy·zszej tabliczki.
50
3.3.2
Uk÷
ady równań stopnia drugiego dwu zmiennych
Bogatszy jest juz· materia÷źród÷
owy dotyczacy
¾ uk÷
adów równań pierwszego i
drugiego stopnia o dwóch niewiadomych. Zawiera on albo rozwiazania
¾
zadań,
albo tez· same teksty zadań u÷
oz·one systematycznie od ÷
atwiejszych do trudniejszych, przy czym uporzadkowanie
¾
to jest czasem bardziej monotonne niz·
w dzisiejszych podrecznikach:
¾
to samo zadanie, z niewielkimi mody…kacjami,
powtarzane jest wiele razy, a ponadto we wszystkich rozwiazanie
¾
jest identyczne (np.55 zadań z tabl. YBC 4709 [14] (t.I, str.415)).
Babilończycy nie mieli z góry ustalonego algorytmu do rozwiazywania
¾
uk÷
adów; kaz·dy z nich traktowali indywidualnie, o czym świadczyć moga¾
zadania: 9 z tabliczki BM 34568 oraz np. zadanie 1 z tabliczki AO 6484.
x+y =a
Oba zadania reprezentuja¾ typ (I)
, jednak zosta÷
y rozwiazane
¾
xy = b
za pomoca¾ zupe÷
nie innych przekszta÷
ceń.
Uwaga 16 Przyk÷ady te zaprzeczaja¾jednocze´snie tezie S.Gandza, jakoby typ
(I) by÷zawsze rozwiazywany
¾
przez wprowadzenie nowej niewiadomej (patrz
rozdzia÷3.2).
Tabliczka AO 6484
51
Tabliczka BM 34568
Przyk÷
ad 17 Zad.9 tabl. BM 34568 [14] (t.III, str.18)
"D÷ugo´s´c i szeroko´s´c doda÷em i jest 14; a powierzchnia wynosi 48:"
52
x + y = 14
xy = 48
142 = 3; 16
48 4 = 3; 12
3;
p 16 3; 12 = 4
4=2
14 2 = 12
12 0; 30 = 6
6=y
2+6=8
x=8
x + y = 14 j2
(x + y)2 = 3; 16
xy = 48 j 4
4xy = 3; 12
(x + y)2 4xy = 3; 16 3; 12 = 4
(x y)2 = 4; x y = 2
(x + y) (x y) = 2y = 14 2 = 12
y = 12 0; 30
(x y) + y = x = 6 + 2 = 8:
Wida´c tu zatem zastosowanie kolejno przekszta÷ce´n: (O4), (O2), (O1), (R5),
(O5), (R2), (O2).
Przyk÷
ad 18 Zad.1 tabl. AO 6484 Rs.10-14 [14] (t.I, str.101)
x + y = 2; 0; 0; 33; 20
:
xy = 1
Kroki z tabliczki sa¾nastepuj
¾ ace:
¾
2;0;0;33;20
2
= 1; 0; 0; 16; 40
(1; 0; 0; 16; 40)2 = 1; 0; 0; 33; 20; 4; 37; 46; 40
1;
p 0; 0; 33; 20; 4; 37; 46; 40 1 = 0; 0; 0; 33; 20; 4; 37; 46; 40
1; 0; 0; 33; 20; 4; 37; 46; 40 = 0; 0; 44; 43; 20
1; 0; 0; 16; 40 + 0; 0; 44; 43; 20 = 1; 0; 45
1; 0; 0; 16; 40 0; 0; 44; 43; 20 = 0; 59; 15; 33; 20,
co odpowiada przekszta÷ceniom:
x+y
= 1; 0; 0; 16; 40
2
x+y 2
( 2 ) = 1; 0; 0; 33; 20; 4; 37; 46; 40
( x+y
)2 xy = 1; 0; 0; 33; 20; 4; 37; 46; 40 1
2
( x 2 y )2 = 0; 0; 0; 33; 20; 4; 37; 46; 40
x y
= 0; 0; 44; 43; 20
2
x y
x+y
+
= x = 1; 0; 0; 16; 40 + 0; 0; 44; 43; 20
2
2
x = 1; 0; 45
x+y
x y
= y = 1; 0; 0; 16; 40
2
2
y = 0; 59; 15; 33; 20:
53
0; 0; 44; 43; 20
= 1; 0; 45
U·zyto tu kolejno operacji: (O4), (O1), (R5), (O5), (R1), (R2). Zadanie
to, jak i reszta przyk÷adów z tej tabliczki pokazuje nam ponadto, ·ze dzia÷ania
na liczbach wielocyfrowych nie stanowi÷y problemu dla uczonych staro·zytnych.
Wśród uk÷
adów drugiego stopnia równiez· odnaleźć moz·na te same typy
rozwiazane
¾
inna¾ metoda.¾ W poniz·szych dwóch przyk÷
adach rozwaz·ymy typ
x+y =a
(III):
.
x2 + y 2 = b
Przyk÷
ad 19 Zad. 8 tabl. BM 13901 [14] (t.III, str.7)
Dana jest tu suma powierzchni dwóch kwadratów, równa 21; 40 oraz suma
boków - 50. Zatem zadanie prowadzi do uk÷adu:
x + y = 50
:
x2 + y 2 = 21; 40
Rozwiazanie
¾
przebiega nastepuj
¾ aco:
¾
2
2
21; 40 21;40
= 10; 50 x +y
= 10; 50
2
2
x+y
50
50 2 = 25
= 25
2
x+y 2
2
25 = 10; 25
( 2 ) = 10; 25
x2 +y 2
10;
( x+y
)2 = ( x 2 y )2 = 10; 50
2
2
p 50 10; 25 = 25
x y
25 = 5
=5
2
x+y
x y
25 + 5 = 30 = x
+
= x = 25 + 5 = 30
2
2
x y
x+y
25 5 = 20 = y
= y = 25 5 = 20:
2
2
10; 25 = 25
Przyk÷
ad 20 Zad.10 tabl. BM 34568 [14] (t.III, str.18)
Tutaj z kolei dana¾ mamy sume¾ boków prostokata,
¾ równa¾ 23 oraz przekatn
¾ a¾
17. Powstaje zatem uk÷ad:
x + y = 23
;
z = 17
wiedzac
¾ jednak, ·ze z jest przekatn
¾ a¾i stosujac
¾ twierdzenie Pitagorasa mo·zemy
zapisa´c uk÷ad:
x + y = 23
;
x2 + y 2 = 172 = 4; 49
54
tak·ze reprezentujacy
¾ typ (III). I tu kroki rachunkowe sa¾nastepuj
¾ ace:
¾
232 = 8; 49
172 = 4; 49
8; 49 4; 49 = 4; 0
4; 0 2 = 8; 0
8;
p 49 8; 0 = 49
49 = 7
23 7 = 16
16 0; 30 = 8 = y
7 + 8 = 15 = x
(x + y)2 = 8; 49
z 2 = 4; 49 = x2 + y 2
(x + y)2 (x2 + y 2 ) = 2xy = 8; 49 4; 49 = 4; 0
2 2xy = 8; 0
(x + y)2 4xy = (x y)2 = 8; 49 8; 0 = 49
(x y) = 7
(x + y) (x y) = 2y = 23 7 = 16
y = 16 0; 30 = 8
(x y) + y = x = 7 + 8 = 15:
Zauwa·zmy, ·ze przekszta÷cenia w drugim i trzecim wierszu wyra´znie potwierdzaja¾
znajomo´s´c twierdzenia Pitagorasa.
Przeanalizujemy teraz kilka mniej lub bardziej skomplikowanych uk÷
adów,
które droga¾ przekszta÷
ceń zosta÷
y sprowadzone do postaci (I) lub (II).
Przyk÷
ad 21 Zad. 12 tabl. BM 13901 [14] (t.III, str.7)
Suma powierzchni dwóch kwadratów wynosi tu 21; 40, za´s pomno·zone boki
obu kwadratów daja¾10; 0. Mamy wiec:
¾
x2 + y 2 = 21; 40
:
xy = 10; 0
= 10; 50
21; 40 21;40
2
2
(10; 50) = 1; 57; 46; 40
10; 02 = 1; 40; 0; 0
1; 57; 46; 40 1; 40; 0; 0 =
= 17; 46; 40
p
17; 46; 40 = 4; 10
4; 10 + 10; 50 = 15; 0
p
15; 0 = 30 = x
10; 50 4; 10 = 6; 40
p
6; 40 = 20
y = 20
x2 +y 2
=
2
x2 +y 2 2
( 2 )
2
10; 50
= 1; 57; 46; 40
(xy) = x2 y 2 = 1; 40; 0; 0
x2 + y 2 = 21; 40
x2 y 2 = 1; 40; 0; 0
2
2
( x +y
)2 (x2 y 2 ) = 1; 57; 46; 40 1; 40; 0; 0
2
2
2
2
2
( x 2 y )2 = 17; 46; 40; x 2 y = 4; 10
2
2
x2 +y 2
+ x 2 y = x2 = 10; 50 + 4; 10 = 15; 0
2 p
x = 15; 0 = 30
x2 +y 2
x2 y 2
= y 2 = 10; 50 4; 10 = 6; 40
2 p
2
y = 6; 40 = 20:
55
x2 + y 2 = a
i rozwiazany
¾
x2 y 2 = b
wzgledem
¾
nowych niewiadomych x2 i y 2 metoda¾identyczna¾jak uk÷ad z poprzedniego przyk÷adu.
Uk÷ad ten zosta÷zatem sprowadzony do postaci
Przyk÷
ad 22 Zad.1 (I,1-I,29), tabl. AO 8862 [14] (t.I, str.113)
"To o co d÷ugo´s´c przewy·zsza szeroko´s´c doda÷em do powierzchni i to jest
3; 3. D÷ugo´s´c i szeroko´s´c doda÷em i jest 27:´Stad:
¾
xy + (x y) = 3; 3
x + y = 27
Tu skorzysta÷am z podpowiedzi O.Neugebauera, o u·zyciu pomocniczej zmiennej, co po dopracowaniu szczegó÷ów w rozwiazaniu
¾
(zawartych w prawej
cze¾´sci tabeli) przedstawia sie¾ nastepuj
¾ aco:
¾
27 + 3; 3 = 3; 30
2 + 27 = 29
= 14; 30
29 29
2
2
(14; 30) = 3; 30; 15
3;
p 30; 15 3; 30 = 0; 15
0; 15 = 0; 30
14; 30 + 0; 30 = 15 = x
14; 30 0; 30 = 14
14 2 = 12 = y
(x + y) + xy + (x y) = 27 + 3; 3
2x + xy = 3; 30
x(2 + y) = 3; 30
x + y + 2 = 27 + 2
x + (y + 2) = 29
x(2 + y) = 3; 30
x + (2 + y) = 29
z 2+y
xz = 3; 30
x + z = 29
x+z
= 14; 30
2
x+z 2
( 2 ) = 3; 30; 15
)2 p xz = ( x 2 z )2 = 3; 30; 15 3; 30 = 0; 15
( x+z
2
x z
= 0; 15 = 0; 30
2
x+z
+ x 2 z = x = 14; 30 + 0; 30 = 15
2
x z
x+z
= z = 14; 30 0; 30 = 14
2
2
(y + 2) 2 = y = 14 2 = 12:
Podobnie zadanie 2 powyz·szej tabliczki zostaje sprytnie sprowadzone do
postaci (I):
Przyk÷
ad 23 Zad.2 (I,30-II,37), tabl. AO 8862 [14] (t.I, str.114)
56
"Po÷owe¾ d÷ugo´sci i jedna¾ trzecia¾ szeroko´sci doda÷em do powierzchni; to
daje 15. D÷ugo´s´c i szeroko´s´c doda÷em; to daje 7:"
1
x
2
+ 13 y + xy = 15
:
x+y =7
x + y = 7 j 0; 30
1
x + 12 y = 3; 30
2
1
15 3; 30 = 11; 30
( 2 x + 13 y + xy) 12 x
1
= 0; 10; 7 0; 10 = 6; 50 xy 16 y = 11; 30
6
6;50
= 3; 25
y(x 16 ) = 11; 30
2
2
(3; 25) = 11; 40; 25
x + y = 7 j 0; 10
11; 40; 25 11; 30 = 0; 10; 25 y + (x 16 ) = 6; 50
3; 25 + 0; 25 = 3; 50
z x 61
yz = 11; 30
3; 50 + 0; 10 = 4 = x
:
y + z = 6; 50
3; 25 0; 25 = 3 = y
...
0; 30 7 = 3; 30
1
y
2
= 15
3; 30
yz = 11; 30
schemat rozwiazania
¾
przey + z = 6; 50
biega analogicznie jak w poprzednim przyk÷adzie (co potwierdza ostatnie sze´s´c
kroków zawartych w lewej cze¾´sci tabeli).
Po doprowadzeniu do postaci
Przyk÷
ad 24 Zad.4 (III,21-III,26), tabl. AO 8862 [14] (t.I, str.116)
"D÷ugo´s´c i szeroko´s´c pomno·zy÷em i utworzy÷em powierzchnie.
¾ D÷ugo´s´c i
szeroko´s´c doda÷em i to jest tyle co powierzchnia. D÷ugo´s´c i szeroko´s´c doda÷em;
to daje 9."
x + y = xy
:
x + y + xy = 9
Obliczenia nie sa¾podane, ale by´c mo·ze przebiega÷y jak poni·zej:
57
(x + y) + (x + y) = 9
2(x + y) = 9
x + y = 4; 30
xy = 4; 30
x+y
= 2; 15
2
x+y 2
( 2 ) = 5; 3; 45
( x+y
)2 xy = 5; 3; 45 4; 30 = 0; 33; 45
2
( x 2 y )2 = 0; 33; 45
x y
= 0; 45
2
x y
x+y
+
= x = 2; 15 + 0; 45 = 3
2
2
x+y
x y
= y = 2; 15 0; 45 = 1; 30:
2
2
Próby samodzielnego odtworzenia tekstu rozwiazania,
¾
zgodnie z duchem babilo´nskim, przynios÷y nastepuj
¾ ace
¾ efekty: "D÷ugo´s´c i szeroko´s´c dodaj do sumy
d÷ugo´sci i szeroko´sci, to jest 9. Po÷owa z 9 jest 4; 30. Po÷owa z 4; 30, twojej
sumy, jest 2; 15. 2; 15 razy 2; 15 jest 5; 3; 45. Od 5; 3; 45 odejmij 4; 30 i to jest
0; 33; 45. 0; 33; 45 ma 0; 45 jako pierwiastek kwadratowy. 2; 15 dodaj do 0; 45.
3 jest d÷ugo´scia.¾ 0; 45 odejmij od 2; 15, to daje 1; 30. 1; 30 jest szeroko´scia."
¾
Widać wiec,
¾ z·e stosujac
¾ róz·ne chwyty rachunkowe uk÷
ady redukowane
by÷
y w taki sposób, by utworzyć znany typ dla nowej badź
¾ tez·starej niewiadomej.
Równiez· uk÷
ady stopnia drugiego upraszczano stosujac
¾ przekszta÷
cenia, o
których wspomina Sz.Weksler [16] (str.67). Poniz·sze zadanie zosta÷
o sprowadzone do uk÷
adu stopnia pierwszego. Treść zadania przetrwa÷
a, lecz algorytm
rozwiazania
¾
jest prawie ca÷
kowicie zniszczony, zachowa÷sie¾ tylko pierwszy
krok: 00 23; 20 2 = 46; 4000 : Nakazuje on zatem podwoić pierwsze wyraz·enie z
uk÷
adu. Wystarcza to jednak znaleźć prawdopodobny schemat rozwiazania:
¾
Przyk÷
ad 25 Zad.19 tabl. BM 13901 [14] (t.I, str.9)
"Moje dwa kwadraty pomno·zy÷em przez siebie i te powierzchnie doda÷em.
To o co kwadrat przewy·zsza kwadrat pomno·zy÷em przez siebie i doda÷em do
powierzchni i to jest 23,20. Moje kwadraty doda÷em i jest 50". Mamy zatem:
x2 + y 2 + (x
x + y = 50
y)2 = 23; 20
:
Wydaje mi sie,
¾ ·ze by´c mo·ze rozwiazanie
¾
przebiega÷o nastepuj
¾ aco:
¾
58
x2 + y 2 + (x y)2 = 23; 20 j 2
2(x2 + y 2 ) + 2(x y)2 = 46; 40
(x + y)2 = 502 = 41; 40
2(x2 + y 2 ) + 2(x y)2 (x + y)2 = 46; 40
(x y)2 + 2(x y)2 = 5; 0
3(x y)2 = 5; 0 j 3
[3(x y)]2 = 15; 0
3(x y) = 30
1
= 0; 20
3
x y = 30 0; 20 = 10
x y = 10
x + y = 50
x y
=5
2
x+y
= 25
2
x y
x+y
+
= x = 25 + 5 = 30
2
2
x y
x+y
= y = 25 5 = 20:
2
2
41; 40
Uk÷
ad drugiego stopnia w zadaniu 3 tabliczki YBC 6504 sprowadzony
zostaje z kolei (jak sugeruje O.Neugebauer [14] (t.III, str. 25)) do typu AI, i
59
rozwiazany,
¾
jak zawsze ten typ, metoda¾ uzupe÷
nień do kwadratu.
Tabliczka YBC 6504
Przyk÷
ad 26 Zad.3 tabl. YBC 6504 Rs.1-10 [14] (t.III, str.24)
"To o co d÷ugo´s´c przewy·zsza szeroko´s´c podnios÷em do kwadratu i odja÷
¾em
od powierzchni, i jest 8; 20. D÷ugo´s´c wynosi 30. Ile wynosi szeroko´s´c?"
60
xy (x
x = 30
y)2 = 8; 20
:
302 = 15; 0
15; 0 8; 20 = 6; 40
x2 = 15; 0
x2 xy + (x y)2 = 15; 0 8; 20 = 6; 40
(x y)2 + x(x y) = 6; 40
(x y)2 + 30(x y) = 6; 40
t x y
30
30 2 = 15
t2 + 30t = 6; 40 j +( 30
)2
2
30
152 = 3; 45
t2 + 30t + ( 2 )2 = 6; 40 + ( 30
)2
2
2
3;
= 6; 40 + 3; 45 = 10; 25
p 45 + 6; 40 = 10; 25 (t + 15) p
10; 25 = 25
t + 15 = 10; 25 = 25
25 15 = 10
t = 25 15 = 10
30 10 = 20
x y = 10
y = 20
x (x y) = y = 30 10 = 20:
Przy okazji zacytujemy teraz zadanie 4 powyz·szej tabliczki, jest ono symetryczne do zadania 3, jednak tekst podaje zupe÷
nie inny, b÷
edny
¾
algorytm:
Przyk÷
ad 27 Zad.4 tabl. YBC 6504 Rs.11-15 [14] (t.III, str.24)
"To o co d÷ugo´s´c przewy·zsza szeroko´s´c podnios÷em do kwadratu, odja÷
¾em
od powierzchni, i jest 8; 20. 20 jest szeroko´scia.¾ Ile wynosi d÷ugo´s´c?"
xy (x
y = 20
y)2 = 8; 20
:
Tekst rozwiazania
¾
g÷osi: ”20 do kwadratu jest 6; 40. 6; 40 doda÷em do 8; 20
jest 15; 0. 15; 0 ma 30 jako pierwiastek kwadratowy. 30 jest d÷ugo´scia”
¾.
Rozwiazanie
¾
ostateczne (x = 30) przypadkowo zgadza sie,
¾ jednak kroki algorytmu sa¾zupe÷nie niezrozumia÷e. Zauwa·zmy, ·ze je´sli oznaczymy
p
xy (x y)2 = b
, wówczas tekst podaje rozwiazanie
¾
x = a2 + b; co
y=a
zupe÷nie odbiega od rozwiazania
¾
poprzedniego zadania, w którym, zmieniajac
¾ w drugim równaniu
oznaczenie
na x = a; zgodnie z tekstem otrzymujemy
p a
2
2
b) a2 ): Opierajac
¾ sie¾na zadaniu poprzedrozwiazanie
¾
y = a ( ( 2 ) + (a
61
nim rozwiazanie
¾
w tym przyk÷adzie powinno przebiega´c nastepuj
¾ aco:
¾
y 2 = 6; 40
xy (x y)2 y 2 = 8; 20 6; 40
y(x y) (x y)2 = 1; 40
(x y)2 + 20(x y) = 1; 40
(x y)2 20(x y) = 1; 40
t x y
t2 20t = 1; 40 j +( 20
)2
2
20 2
2
t
20t + ( 2 ) = 0
(t 10)2 = 0
t = 10
x y = 10
(x y) + y = x = 10 + 20 = 30
p
ad
Czyli rozwiazaniem
¾
jest x = a + ( ( a2 )2 + (b a2 ) + a2 ): Nie wiemy czy b÷¾
2
ten by÷zwyk÷¾
a pomy÷ka¾ czy mo·ze powsta÷e wyra·zenie t
20t + 1; 40 = 0,
zawierajace
¾ nieznany symbol "0"przeszkodzi÷o w poprawnym rozwiazaniu,
¾
czy
zawa·zy÷y inne przyczyny.
Niezrozumia÷
y jest tez· algorytm poniz·szego zadania, które zacytujemy w
ca÷
ości:
Przyk÷
ad 28 Zad.3 (II,33-III,20) tabl. AO 8862 [14] (t.I, str.115)
Brzmi ono nastepuj
¾ aco:
¾ ”D÷ugo´s´c i szeroko´s´c pomno·zy÷em i utworzy÷em powierzchnie.
¾ To o co d÷ugo´s´c przewy·zsza szeroko´s´c pomno·zy÷em przez sume¾ d÷ugo´sci i szeroko´sci; do tego doda÷em moja¾ powierz- chnie;
¾ i to daje 1; 13; 30.
Znów d÷ugo´s´c i szeroko´s´c doda÷em i jest 1; 40. Do twojego mno·zenia: we´z
1; 40, sume¾ d÷ugo´sci i szeroko´sci. 1; 40 razy 1; 40 jest 2; 46; 40. Od 2; 46; 40
odejmij 1; 13; 20; to jest 1; 33; 20. Po÷owe¾ z 1; 40 odejmij (jest 50). 50 razy 50
jest 41; 40 dodaj do 1; 33; 20. 2; 15; 0 ma 1; 30 jako pierwiastek kwadratowy;
1; 40 o ile wykracza ponad 1; 30? o 10 wykracza. 10 dodaje¾ do 50; 1; 0 jest
d÷ugo´scia.¾ 10 od 50 odejmuje;
¾ 40 jest szeroko´scia.”
¾
Mamy zatem do rozwiazania
¾
nastepuj
¾ acy
¾ uk÷ad:
(x + y)(x y) + xy = 1; 13; 20
.
x + y = 1; 40
62
(x + y)(x
x+y =a
Je´sli oznaczymy
y) + xy = b
, wówczas zgodnie z tekstem wynikiem
jest:
a
x = + (a
2
r
a2
a
a
b + ( )2 ) ; y =
2
2
(a
r
a2
a
b + ( )2 ):
2
(16)
Zastosowanie wzorów i operacji, które wymienia Sz.Weksler (patrz rozdzia÷
3.2) nie pomaga w uproszczeniu wyra·ze´n i w efekcie uniemo·zliwia znalezienie
rozwiazania.
¾
O.Neugebauer sadzi,
¾
¾ zwyk÷e równanie
·ze wystarczy rozwiaza´c
kwadratowe wzgledem
¾
x i y [14] (t.I, str. 119) i nie widzi ·zadnego problemu,
nie wyja´snia te·z sensu poszczególnych kroków, tylko podaje ostateczny wynik
(16). Gandz [8] natomiast w celu znalezienia rozwiazania
¾
sugeruje skorzystanie ze swojej hipotezy o podstawieniu x y = 2z (patrz rozdzia÷3.2). Wiemy
z niej, ·ze xy = ( a2 )2 z 2 ; mamy te·z dana¾sume¾ x + y = 1; 40(= a): Wówczas
(x + y)(x y) = a 2z; i wtedy zgodnie z krokami algorytmu:
(1; 40)2 = 2; 46; 40
2; 46; 40
1; 13; 20 = 1; 33; 20
1;40
2
= 502 = 41; 40
41;
p 40 + 1; 33; 20 = 2; 15; 0
2; 15; 0 = 1; 30
1; 40 1; 30 = 10
50 + 10 = 1; 0
50
10 = 40
a2 = (x + y)2
a2 b = a2 (x + y)(x y)
= a2 2az ( a2 )2 + z 2
Stad
¾ :
2
a
b + ( a2 )2 = a2 2az + z 2
a 2
2
2
a
p b + ( 2 ) a = (a z)
a2p b + ( 2 )2 = a z
a
a2 b + ( a2 )2 = z
p
a
(a
a2 b + ( a2 )2 ) = a2
2
xy =
z=
x
:
y
Metoda¾podstawiania Gandz proponuje tez·[8] (str.420) rozwiazać
¾ zadania
z tabliczki VAT 8390:
Przyk÷
ad 29 Zad.1:Vs.I 1-Vs.II 13, zad.2: Vs.II 14-Rs.24 tabl. VAT 8390
[14] (t.I, str.337)
Zadanie to zacytujemy równie·z w ca÷o´sci, poniewa·z jest problemem dyskusyjnym
i zinterpretowane zosta÷o na ró·zne sposoby. Liczby oznaczaja¾numer wiersza
tabliczki:
”1. D÷ugo´s´c i szeroko´s´c pomno·zy÷em i 10; 0 (jest) powierzchnia.¾
2. D÷ugo´s´c pomno·zy÷em (przez siebie) i
63
3. utworzy÷em powierzchnie.
¾
4. To o co d÷ugo´s´c przewy·zsza szeroko´s´c
5. pomno·zy÷em przez siebie i zwielokrotni÷em 9 razy i
6/7. to jest tyle co powierzchnia, która¾ utworzy÷a d÷ugo´s´c pomno·zona przez
siebie.
8. Ile wynosi d÷ugo´s´c i szeroko´s´c?
9. 10; 0 przyjmij jako powierzchnie¾
10. i we´z 9, które zwielokrotni÷e´s i
11. pierwiastek (z) 9, które zwielokrotni÷e´s, ile (jest)? 3 (jest).
12. 3 przyjmij jako d÷ugo´s´c.
13. 3 przyjmij jako szeroko´s´c.
14/15. Co oznacza, ·ze on powiedzia÷: ” to o co d÷ugo´s´c przewy·zsza szeroko´s´c
pomno·zy÷em”:
16. 1 od 3, które przyja÷
¾e´s za d÷ugo´s´c ,
17. odejmij i zostaje 2.
18. 2, które zosta÷o, przyjmij za szeroko´s´c.
19. 3, które wzia÷
¾e´s za d÷ugo´s´c,
20. i 2, które wzia÷
¾e´s za szeroko´s´c, pomnó·z, (jest) 6 .
21. Odwrotno´s´c 6 utwórz i 0; 10 (to jest).
22. 0; 10 i 10; 0 powierzchni, pomnó·z (jest) 1; 40.
23. Pierwiastek z 1; 40 ile (jest) ? 10 (jest).
24. 10 i 3, wziete
¾ za d÷ugo´s´c,
25. pomnó·z. 30 jest d÷ugo´scia.¾
26. 10 i 2, wziete
¾ za szeroko´s´c,
27. pomnó·z. 20 jest szeroko´scia.”
¾
Z wierszy 1-8 mo·zemy sformu÷owa´c uk÷ad postaci:
xy = 10; 0
9(x y)2 = x2 ;
gdzie x jest oczywi´scie d÷ugo´scia,¾ y szeroko´scia.¾
Zauwa·zmy, ·ze po wyciagni
¾ eciu
¾ pierwiastka z drugiego wyra·zenia uk÷adu mamy
x = 3(x y): Gandz sugeruje podstawienie x = 3(x y) = 3z: Poniewa·z
64
wiemy te·z, ·ze x przewy·zsza y o warto´s´c (x
y) = z, wówczas:
y = x (x y) = 3z z = 2z:
I stad:
¾
xy = 3z 2z = 6z 2
10; 0 = 6z 2
z 2 = 10;0
= 100
6
z = 10; x = 3z = 30; y = 2z = 20;
które to przekszta÷cenia wyra´znie potwierdzaja¾wersy tekstu.
Sz.Weksler z kolei sadzi
¾ [16] (str.81), ·ze w transkrypcji O.Neugebauera w
wierszu 13 wystapi÷
¾ b÷¾
ad i powinna tam by´c liczba 2, poniewa·z symbol liczby na
tabliczce jest cze¾´sciowo zatarty. Wida´c to na poni·zszym fragmencie tabliczki,
wiersz 13 rzeczywi´scie jest cze¾´sciowo wykruszony, po odszyfrowaniu przez
O.Neugebauera [14] (t.II, tabl.50) wyglada
¾ on nastepuj
¾ aco:
¾
Fragment tabliczki VAT 8390
Sz.Wekslerowi wydaje sie,
¾
nia. Autor odgad÷wprost,
i 2, drugi warunek bedzie
¾
¾
zosta÷o znalezione droga¾ zgadywa·ze rozwiazanie
¾ d÷ugo´sci niewiadomych boków za 3
·ze przyjmujac
spe÷niony, a aby spe÷ni´c równie·z pierwszy trzeba
65
warto´sci odgadniete
¾ pomno·zy´c przez wspó÷czynnik k (= 10), który obliczony
zosta÷w wierszu 23.
Zupe÷nie inna¾metode¾proponuje O.Neugebauer [14] (t.I, str.339). Uwa·za on,
¾
zosta÷droga¾rugowania niewiadomej y i sprowadzony do
·ze uk÷ad rozwiazany
równania dwukwadratowego. Przyjmujac
¾ oznaczenia = 9; F = 10; 0 mamy:
(x y)2 = x2
x2 2 xy + y 2 = x2
(
1)x2 2 F + y 2 = 0
2
2
x
F + 1 y 2 = 0 j x2
1
2
x4
F x2 + 1 F 2 = 0;
1
skad
¾ rozwiazaniem
¾
równania kwadratowego jak zawsze w typie AIII jest:
s
s
(
)
2F 2
2
2
F
(
1)
F
x2 =
=F
=
1
(
1)2
1
1
(
1)2
=F
p
p
p
(
1)
F
p
=F p
=p
:
1
(
+ 1)(
1)
1
Stad:
¾
x=
s
p
F
p
p
Poniewa·z F = xy, wiec:
¾
s p
F
p
y=
1
1
=
p
=(
p
s
p
F
p
(
s
1)
F
p
1)
:
p
1
:
Rzeczywi´scie, kroki rachunkowe od wiersza 9, u·zywajac
¾ powy·zszych oznacze´n,
zgadzaja¾sie¾z podanym wzorem na x. Zastanawiajacy
¾ jest jednak fakt, i·z wzór
ten otrzymujemy po ·zmudnych przekszta÷ceniach, których nigdy nie spotkali´smy
przy rozwiazywaniu
¾
równa´n i których brak w tek´scie. Dlatego ma÷o prawdopodobna jest hipoteza O.Neugebauera, spogladaj
¾ aca
¾ na ten przyk÷ad przez
pryzmat wspó÷czesnych metod.
Najbardziej logiczne wydaje sie¾ tu by´c rozwiazanie
¾
Gandza. Liczba 3 w wierszu 13 nie jest b÷edem,
¾
poniewa·z skorzystano tu z metody fa÷szywego za÷o·zenia
(patrz rozdzia÷3.2) i przyjeto
¾ najpierw x = y (wiersz 12,13). Lecz wiadomo,
·ze y jako szeroko´s´c musi by´c mniejsza od x o warto´s´c (x y) = z, dlatego
66
y = x (x y) = 3(x y) 1(x y) = 2(x y) = 2z, co jest uzasadnieniem
wersu 16. Podobne rozumowanie zastosowane zosta÷o w zadaniu 2 powy·zszej
tabliczki, w którym pierwszy warunek pozostaje bez zmian (xy = 10; 0), drugi
natomiast brzmi: 4(x y)2 = y 2 ; pierwiastkujac
¾ mamy stad:
¾ y = 2(x y).
I dalej czytamy: ”...przyjmij 2 jako d÷ugo´s´c i 2 jako szeroko´s´c. Co oznacza:
”to o co d÷ugo´s´c przewy·zsza szeroko´s´c pomno·zy÷em?”: do 1 dodaj 2, które
przyja÷
¾e´s jako d÷ugo´s´c i 3 przyjmij jako d÷ugo´s´c...”. W tym przypadku równie·z
za÷o·zono najpierw x = y, ale wiemy ·ze x bed
¾ acy
¾ d÷ugo´scia¾jest wiekszy
¾
od y o
warto´s´c (x y); dlatego x = y + (x y) = 2(x y) + 1(x y) = 2z+1z = 3z:
Dlatego przypuszczenie Sz.Wekslera o pomy÷ce w transkrypcji jest raczej nie
uzasadnione, co potwierdza równie·z zadanie 2.
3.3.3
Uk÷
ady równań stopnia drugiego trzech i czterech zmiennych
Wspomnieć jeszcze nalez·y, z·e matematykom babilońskim nieobce tez· by÷
y
uk÷
ady pierwszego i drugiego stopnia z trzema, a nawet czterema niewiadomymi.
Potwierdzaja¾ to poniz·sze przyk÷
ady.
Przyk÷
ad 30 Zad.13 tabl. BM 34568 [14] (t.III, str.18)
"Przekatn
¾ a¾ i d÷ugo´s´c doda÷em i jest 9. Przekatn
¾ a¾ i szeroko´s´c doda÷em i jest
8". Mamy zatem:
x+z =9
:
y+z =8
Zadanie to potwierdza znajomo´s´c wzoru:
(x + y + z)2 =x2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2xz + 2yz = 2z 2 + 2xy + 2xz + 2yz =
| {z }
z2
= 2z(z + x) + 2y(x + z) = 2(z + y)(x + z):
67
Rozwiazanie
¾
przebiega nastepuj
¾ aco:
¾
92 = 1; 21
(x + z)2 = 1; 21
82 = 1; 4
(y + z)2 = 1; 4
1; 21 + 1; 4 = 2; 25 (x + z)2 + (y + z)2 = 2; 25
(x + z) (y + z) = 1
2; 25 1 = 2; 24
(x + z)2 + (y + z)2 [(x + z)
2(x + z)(y + z) = 2; 24
(x + y + z)2 =p2; 24
p
2; 24 = 12
(x + z) + y = 2; 24 = 12
9 + y = 12
12 9 = 3 = y
y = 12 9 = 3
3+z =8
8 3=5=z
z=8 3=5
x+5=9
9 5=4=x
x = 9 5 = 4:
(y + z)]2 = 2; 24
W wierszu 5 i 6 prawej tabeli skorzystano ze wzoru a2 + b2
Zadanie 19 rozwiazane
¾
jest na tej samej zasadzie.
:
(a
b)2 = 2ab:
Przyk÷
ad 31 Zad. 14 tabl. BM 34568 [14] (t.III, str.19)
Suma d÷ugo´sci(x), szeroko´sci (y) i przekatnej
¾
(z) wynosi 1; 10, natomiast
powierzchnia 7; 0. Uk÷ad ma posta´c:
x + y + z = 1; 10
xy = 7; 0:
Tu równie·z wykorzystano wzór na kwadrat sumy trzech niewiadomych.
(1; 10)2 = 1; 21; 40
7; 0 2 = 14; 0
1; 21; 40 14; 0 = 1; 7; 40
(x + y + x)2 = (1; 10)2 = 1; 21; 40
2xy = 2 7; 0 = 14; 0
2z 2 + 2xy + 2xz + 2yz 2xy = 1; 21; 40
1; 7; 40 0; 30 = 33; 50
1; 10 razy ile wynosi 33; 50?
1; 10 29 = 33; 50
z = 29
2z(z + x + y) = 1; 7; 40
2z 1; 10 = 1; 7; 40
z 1; 10 = 1; 7; 40 0; 30 = 33; 50
z = 29:
14; 0
W zadaniu tym wyliczono tylko przekatn
¾ a¾ i na tym ko´ncza¾ sie¾ obliczenia.
Znalezienie pozosta÷ych niewiadomych by÷o ju·z najwidoczniej formalno´scia.¾
68
:
x + y = 41
, którego schemat rozwiazania
¾
xy = 7; 0
zawiera zadanie 9 powy·zszej tabliczki (patrz: przyk÷ad 17). Bed
¾ a¾ to liczby
x = 21; y = 20. Ta¾sama¾metoda¾rozwiazane
¾
sa¾zadania 17 i 18 tej tabliczki.
Powstaje nam bowiem uk÷ad :
Przyk÷
ad 32 Zad.3 (Rs.8-23), tabl. Strass. 363 [14] (t.I, str.246)
Tabliczka Strass. 363
Mamy tu uk÷ad:
8 2
< x + y 2 = 52; 5
x = z + 20
:
y = 32 z + 5:
Zadanie to sprowadzone zosta÷o do typu (AI) i rozwiazane
¾
wzgledem
¾
nowej
40
niewiadomej t: Wspó÷czynnik = 23 , wyra·zony zosta÷za´s jako 1;0
: Rozwiazanie
¾
69
jest nastepuj
¾ ace:
¾
52 = 25
202 = 6; 40;
6; 40 + 25 = 7; 5
52; 5 7; 5 = 45; 0
1; 02 = 1; 0; 0;
402 = 26; 40
1; 0; 0 + 26; 40 = 1; 26; 40
1; 26; 40 45; 0 = 1; 5; 0; 0; 0
20 1; 0 = 20; 0
40 5 = 3; 20
20; 0 + 3; 20 = 23; 20
23; 202 = 9; 4; 26; 40
9; 4; 26; 40 + 1; 5; 0; 0; 0 = 1; 14; 4; 26; 40;
odpowiada to przekszta÷ceniom:
40 2 2
x2 = z 2 + 2 20z + 6; 40; y 2 = ( 1;0
) z +2 5
40 2 2
40
2
z + 2 20z + 6; 40 + ( 1;0 ) z + 2 5 1;0
z
40
z
1;0
+ 25
+ 25 = 52; 5
======
===========
z 2
z
( 1;0 ) ((1; 0)2 + 402 ) + 2 1;0
(20 1; 0 + 5 40) = 52; 5 6; 40
z 2
z
( 1;0
) 1; 26; 40 + 2 1;0
23; 20 = 45; 0 j 1; 26; 40
z
z
2
( 1;0 1; 26; 40) + 2 23; 20 ( 1;0
1; 26; 40) = 1; 5; 0; 0; 0
z
t = 1;0 1; 26; 40
2
25
t + 2 23; 20t = 1; 5; 0; 0; 0
(23; 20)2 = 9; 4; 26; 40
t2 + 2 23; 20t + (23; 20)2 = 1; 5; 0; 0; 0 + 9; 4; 26; 40
(t + 23; 20)2 = 1; 14; 4; 26; 40
t + 23; 20 = 1; 6; 40
t = 1; 6; 40 23; 20 = 43; 20
z
1; 26; 40 = 43; 20
1;0
43;20
z
= 1;26;40
= 12 = 0; 30
1;0
z = 0; 30 1; 0 = 30
x = z + 20 = 50
z
40
z + 5 = 40 10
+ 5 = 0; 30 40 + 5 = 25:
y = 1;0
Na tej samej zasadzie rozwiazane
¾
zosta÷y zadania 1 i 2 tej tabliczki.
Przyk÷
ad 33 Zad. 15 tabl. BM 13901 [14] (t.III, str.8).
Dana jest tu suma pól czterech kwadratów oraz zale·zno´sci miedzy
¾ bokami:
70
8 2
x + y 2 + z 2 + q 2 = 27; 5
>
>
<
y = 23 x
z = 12 x
>
>
:
q = 13 x
12 = 1
(0; 40)2 = 0; 26; 40
(0; 30)2 = 0; 15
(0; 20)2 = 0; 6; 40
0; 6; 40 + 0; 15 + 0; 26; 40 + 1 =
= 1; 48; 20
1
nie dzieli sie¾
1;48;20
1; 48; 20 razy ile wynosi 27; 5
1; 48; 20 15; 0 = 27; 5
p
15; 0 = 30
30 1 = 30 = x
30 0; 40 = 20 = y
30 0; 30 = 15 = z
30 0; 20 = 10 = q
3.3.4
y 2 = ( 23 x)2 = (0; 40)2 x2
z 2 = ( 12 x)2 = (0; 30)2 x2
q 2 = ( 13 x)2 = (0; 20)2 x2
x2 + (0; 40)2 x2 + (0; 30)2 x2 + (0; 20)2 x2 = 27; 5
x2 [12 + (0; 40)2 + (0; 30)2 + (0; 20)2 ] = 27; 5
x2 1; 48; 20 = 27; 5
x2 =p15; 0
x = 15; 0
x = 30
y = 0; 40 30 = 20
z = 0; 30 30 = 15
q = 0; 30 30 = 10:
Tabliczki z seriami uk÷
adów równań kwadratowych
Odszyfrowanych zosta÷
o takz·e wiele tabliczek zawierajacych
¾
serie¾ samych
zadań u÷
oz·onych od ÷
atwiejszych do trudniejszych, podanych jednak bez
rozwiazania.
¾
Nalez·y do nich np. tabliczka YBC 4709. Mimo niewielkich
rozmiarów - 6:5 cm na 9:5 cm, umieszczono na niej az· 55 uk÷
adów dwóch
71
równań stopnia drugiego.
Tabliczka YBC 4709
Przyk÷
ad 34 Tabl. 4709 [14] (t.I, str.215)
Wspólna¾ cecha¾ wszystkich uk÷adów jest identyczne rozwiazanie
¾
x = 30 oraz
y = 20 oraz to, ·ze pierwsze równanie jest wszedzie
¾
jednakowe:
xy = 10; 0:
Drugie równanie uk÷adu wyglada
¾ nastepuj
¾ aco:
¾
1. (3x)2 + y 2 = 2; 21; 40
2. (3x)2 + 2y 2 = 2; 28; 20
3. (3x)2 y 2 = 2; 8; 20
————————————–
4. (3x + 2y)2 + x2 = 4; 56; 40
5. (3x + 2y)2 + 2x2 = 5; 11; 40
6. (3x + 2y)2 x2 = 4; 26; 40
72
7. (3x + 2y)2 2x2 = 4; 11; 40
————————————–
8. (3x + 2y)2 + y 2 = 4; 48; 20
9. (3x + 2y)2 + 2y 2 = 4; 55; 0
10. (3x + 2y)2 y 2 = 4; 35; 0
11. (3x + 2y)2 2y 2 = 4; 28; 20
————————————–
12. (3x + 4y)2 + x2 = 8; 16; 40
13. (3x + 4y)2 + 2x2 = 8; 31; 40
14. (3x + 4y)2 x2 = 7; 46; 40
15. (3x + 4y)2 2x2 = 7; 31; 40
————————————–
16. (3x + 4y)2 + y 2 = 8; 8; 20
17. (3x + 4y)2 + 2y 2 = 8; 15; 0
18. (3x + 4y)2 y 2 = 7; 55; 0
19. (3x + 4y)2 2y 2 = 7; 48; 20
————————————–
20. (3x + 2(x y))2 + x2 = 3; 36; 40
21. (3x + 2(x y))2 + 2x2 = 3; 51; 40
22. (3x + 2(x y))2 x2 = 3; 6; 40
23. (3x + 2(x y))2 2x2 = 2; 51; 40
————————————–
24. (3x + 2(x y))2 + y 2 = 3; 28; 20
25. (3x + 2(x y))2 + 2y 2 = 3; 35; 0
26. (3x + 2(x y))2 y 2 = 3; 15; 0
27. (3x + 2(x y))2 2y 2 = 3; 8; 20
————————————–
28. (3x 2(x y))2 + x2 = 1; 36; 40
29. (3x 2(x y))2 + 2x2 = 1; 51; 40
30. (3x 2(x y))2 x2 = 1; 6; 40
31. (3x 2(x y))2 2x2 = 51; 40
————————————–
32. (3x 2(x y))2 + y 2 = 1; 28; 20
33. (3x 2(x y))2 + 2y 2 = 1; 35; 0
34. (3x 2(x y))2 y 2 = 1; 15; 0
35. (3x 2(x y))2 2y 2 = 1; 8; 20
————————————–
36. (3x 2(x y))2 + (x2 + y 2 ) = 1; 43; 20
73
37. (3x 2(x y))2 + 2(x2 + y 2 ) = 2; 5; 0
38. (3x 2(x y))2 (x2 + y 2 ) = 1; 0; 0
39. (3x 2(x y))2 2(x2 + y 2 ) = 38; 20
————————————–
40. (3x + 5y + 2(x y))2 = 12; 15; 0
————————————–
41. (3x + 5y 2(x y))2 + x2 = 8; 16; 40
42: (3x + 5y 2(x y))2 + 2x2 = 8; 31; 40
43. (3x + 5y 2(x y))2 x2 = 7; 46; 40
44. (3x + 5y 2(x y))2 2x2 = 7; 31; 40
————————————–
45. (3x + 5y 2(x y))2 + y 2 = 8; 8; 20
46. (3x + 5y 2(x y))2 + 2y 2 = 8; 15; 0
47. (3x + 5y 2(x y))2 y 2 = 7; 55; 0
48. (3x + 5y 2(x y))2 2y 2 = 7; 48; 20
————————————–
49. (3x + 5y 2(x y))2 + (x2 + y 2 ) = 8; 23; 20
50. (3x + 5y 2(x y))2 + 2(x2 + y 2 ) = 8; 45; 0
51. (3x + 5y 2(x y))2 (x2 + y 2 ) = 7; 40; 0
52. (3x + 5y 2(x y))2 2(x2 + y 2 ) = 7; 18; 20
————————————–
53. (3y + (x y))2 + x2 = 1; 36; 40
54: (3y + (x y))2 + 2x2 = 1; 51; 40
55. (3y + (x y))2 + (x2 + y 2 ) = 1; 43; 20:
Wida´c zatem pewna¾logike¾ w u÷o·zeniu tych zada´n. By´c mo·ze mia÷y one s÷u·zy´c
jako materia÷´cwiczeniowy, cho´c przyzna´c trzeba, ·ze do´s´c ·zmudny. Uk÷ady te
prezentuja,¾ ogólna¾posta´c:
(ax + by)2 + cx2 + dy 2 = p
;
xy = q
(17)
gdzie a; b; c; d sa¾liczbami ca÷kowitymi, p liczba¾naturalna,¾ za´s q = 10; 0:
O.Neugebauer uwa·za, ·ze rozwiazania
¾
znajdywano sprowadzajac
¾ ten uk÷ad do
postaci (po zastosowaniu wzorów skróconego mno·zenia):
x2 + y 2 =
x2 y 2 = q 2
74
;
a nastepnie
¾
rozwiazywano
¾
równanie kwadratowe wzgledem
¾
x2 :
x4
x2 + q 2 = 0:
Sz.Weksler [16] (str.78) natomiast, u·zywajac
¾ przekszta÷ce´n z rozdzia÷u 3.2,
sprowadza uk÷ad (17) do tej samej postaci (zapisanej jednak dok÷adniej):
(a2 + c)x2 + (b2 + d)y 2 = p 2abq
;
(a2 + c)(b2 + d)x2 y 2 = (a2 + c)(b2 + d)q 2
i stad
¾ u·zywajac
¾ podstawienia: x~ = (a2 + c)x2 ; y~ = (b2 + d)y 2 ; k = p 2abq;
x~ + y~ = k
l = (a2 + c)(b2 + d)q 2 powstaje nam znana posta´c (I):
:
x~y~ = l
Rozwiazuj
¾ ac
¾ w ten sposób uk÷ad np. 29 mieliby´smy:
y))2 + 2x2 = 1; 51; 40
(3x
2(x
(3x
2x + 2y)2 + 2x2 = 1; 51; 40
x2 + 4xy + 4y 2 + 2x2 = 1; 51; 40
3x2 + 4y 2 = 1; 51; 40
4 10; 0 = 1; 11; 40
xy = 10; 0
x2 y 2 = 1; 40; 0; 0
j2
j 3
3x2 4y 2 = 20; 0; 0; 0:
j 4
x~ + y~ = 1; 11; 40
; gdzie x~ = 3x2 ; y~ = 4y 2 : Rozwiazanie
¾
x~y~ = 20; 0; 0; 0
przebiega dalej tak jak zawsze w tym typie:
Powsta÷stad
¾ uk÷ad
x~ + y~
x~ + y~ 2
= 35; 50 ; (
) = 21; 24; 1; 40
2
2
(
x~ + y~ 2
)
2
xy = (
x~
y~
2
)2 = 21; 24; 1; 40
(
(
x~
y~
2
20; 0; 0; 0 = 1; 24; 1; 40
) = 9; 10
x~ + y~
x~ y~
)+(
) = x~ = 45; 0
2
2
75
x~ + y~
x~ y~
) (
) = y~ = 26; 40
2
2
x~ = 3x2 = 45; 0 => x2 = 15; 0 => x = 30
(
y~ = 4y 2 = 26; 40 => y 2 = 6; 40 => y = 20:
Jeszcze bardziej skomplikowane uk÷
ady odnaleźć moz·na w tabliczce VAT
7537
Przyk÷
ad 35 Tabl. VAT 7537 [14] (t.I, str. 469)
Tabliczka VAT 7537
Tabliczka ta jest w znacznej cze¾´sci uszkodzona, jednak O.Neugebauerowi uda÷o
sie¾ odtworzy´c cze¾´s´c uk÷adów. Tu tak·ze powtarza sie¾ rozwiazanie
¾
x = 30; y =
20 i równanie xy = 10; 0: W cze¾´sci C, D i E (wed÷ug oznacze´n O.Neugebauera)
znajdujemy takie oto równania:
C:
1
1. x2 + 11
f2[ 17 (2y + 3(x y))]2 + x2 g = 16; 40
1
2
f2[ 17 (2y + 3(x y))]2 + x2 g = 18; 20
2. x + 2 11
1
f2[ 17 (2y + 3(x y))]2 + x2 g = 13; 20
3. x2 11
1
2
4. x
2 11
f2[ 17 (2y + 3(x y))]2 + x2 g = 11; 40
76
———————————————————————–
1
5. (x y)2 + 11
f2[ 17 (2y + 3(x y))]2 + x2 g = 3; 20
1
6. (x y)2 11
f2[ 17 (2y + 3(x y))]2 + x2 g = 0
———————————————————————–
1
7. (x + y)2 + 11
f2[ 17 (2y + 3(x y))]2 + x2 g = 43; 20
1
8. (x + y)2 11
f2[ 17 (2y + 3(x y))]2 + x2 g = 40; 0
1
9. (x + y)2 2 11
f2[ 17 (2y + 3(x y))]2 + x2 g = 38; 20
D:
1
1. (3x + 2y)2 + 13
f4[ 17 ((x + y) ( 12 + 1)(x y))]2 + (x + y)2 g = 4; 45; 0
1
2
2. (3x + 2y) + 2 13
f4[ 17 ((x + y) ( 12 + 1)(x y))]2 + (x + y)2 g = 4; 48; 20
———————————————————————————————
1
3. (x y)2 + 13
f4[ 17 ((x + y) ( 12 + 1)(x y))]2 + (x + y)2 g = 5; 0
1
4. (x y)2 13
f4[ 17 ((x + y) ( 21 + 1)(x y))]2 + (x + y)2 g = 1; 40
E:
1
1
1. x2 + 13
f 19
[(x + y)2 10; 0] + 3y 2 g = 16; 40
1
1
2. x2 + 2 13
f 19
[(x + y)2 10; 0] + 3y 2 g = 18; 20
1
1
3. x2 13
f 19
[(x + y)2 10; 0] + 3y 2 g = 13; 20
1
1
2
4. x
2 13 f 19
[(x + y)2 10; 0] + 3y 2 g = 11; 40
————————————————————————
1
1
5. (x y)2 + 13
f 19
[(x + y)2 10; 0] + 3y 2 g = 3; 20
1
1
6. (x y)2 13
f 19
[(x + y)2 10; 0] + 3y 2 g = 0
————————————————————————
1
1
7. (x + y)2 + 13
f 19
[(x + y)2 10; 0] + 3y 2 g = 43; 20
Zastanawiajacy
¾ jest sposób rozwiazania
¾
powy·zszych zada´n. Staro·zytni nie
pozostawili w tym przedmiocie ·zadnych wskazówek, tylko same tre´sci zada´n.
W odszyfrowanych tabliczkach z rozwiazaniami
¾
brak te·z przyk÷adów ukazujacych
¾
sposób rozwiazania
¾
tak skomplikowanych uk÷adów. Prawdopodobnie,
jak powy·zej u·zywajac
¾ operacji Sz.Wekslera z rozdzia÷u 3.2 uk÷ady te, mo·zna
x2 + y 2 =
doprowadzi´c do postaci:
i rozwiaza´c
¾ analogicznie.
x2 y 2 = q 2
Dla przyk÷adu C1 przebiega to nastepuj
¾ aco:
¾
1
1
x2 + f2[ (2y + 3(x y))]2 + x2 g = 16; 40 j 11
11 7
1
11x2 + 2[ (2y + 3x 3y)]2 + x2 = 3; 3; 20
7
1
12x2 + 2[ (3x y)]2 = 3; 3; 20
7
77
1
(9x2 2 3x y + y 2 ) = 3; 3; 20 j 49
49
12 49x2 + 18x2
12xy + 2y 2 = 2; 29; 43; 20
12x2 + 2
(10; 6)x2 + 2y 2 = 2; 29; 43; 20 + 12 10; 0
(10; 6)x2 + 2y 2 = 2; 31; 43; 20
xy = 10; 0 j2
x2 y 2 = 1; 40; 0; 0 j 10; 6
j 2
(10; 6)x2 2y 2 = 33; 40; 0; 0; 0:
x~ + y~ = 2; 31; 43; 20
, gdzie x~ = (10; 6)x2 ; y~ = 2y 2 ;
x~y~ = 33; 40; 0; 0; 0
który rozwiazujemy
¾
tak jak w poprzednim przyk÷adzie:
Stad
¾ powstaje uk÷ad
x~ + y~
= 1; 15; 51; 40
2
(
x~ + y~ 2
)
2
x~y~ = (
;
(
x~
y~
x~
2
y~
2
x~ + y~ 2
) = 1; 35; 54; 54; 29; 26; 40
2
)2 = 1; 35; 21; 14; 29; 26; 40
= 1; 15; 38; 20
x~ + y~ x~ y~
+
= x~ = 1; 15; 51; 40 + 1; 15; 38; 20 = 2; 31; 30; 0
2
2
x~ + y~
2
x~
y~
2
= y~ = 1; 15; 51; 40
1; 15; 38; 20 = 13; 20
x~ = (10; 6)x2 = 2; 31; 30; 0 => x2 = 15; 0 => x = 30
y~ = 2y 2 = 13; 20 => y 2 = 6; 40 => y = 20:
78
Literatura
[1] W.S.Anglin, J.Lambek The Heritage of Thales, Springer-Verlag 1995
[2] A.Aaboe Matematyka w staro·zytno´sci, PWN, Warszawa 1968
[3] E.M. Bruins Revision of the mathematical texts of Teil Harmal, Summer
IX, 2, 1953
[4] H.Conway, R.K.Guy Ksiega
¾ liczb, Warszawa 1999
[5] R.Creighton Buck Sherlock Holmes in Babylon, American
¾
Mathematical
Monthly 87"(1980) (335-345)
[6] J.Drik Struik Krótki zarys historii matematyki do ko´nca XIX w., PWN,
Warszawa 1963
[7] D.Folwer, E.Robson, Square Root Approximations in Old Mathematica:
YBC 7289 in Context, "Historia Mathematica 25"(1998), 366-378, article no. HM982209
[8] S.Gandz The origin and development of the quadratic equations in Babylonian, Greek and early Arabic algebra, Orisis vol. 3, 1937, ( 405-557)
[9] L.C.Geerts, http://www.earth-history.com/Clay-tablets.htm
[10] A.H.Goetsch Die Algebra der Babylonier, Zürich 1968
[11] G.Ifrah Dzieje liczby, czyli historia wielkiego wynalazku, Ossolineum,
Wroc÷
aw 1990
[12] A.P.Juszkiewicz. Historia matematyki, Tom I, PWN, Warszawa 1975
[13] S.Kulczycki Z dziejów matematyki greckiej, PWN, Warszawa 1973
[14] O.Neugebauer Mathematische Keilschrifttexte (Quellen und Studien zur
Geschichte der Mathematik und Physik Abt. A), Berlin, I 1935, II 1935,
III 1937
[15] O.Neugebauer Vorlesungen über Geschichte der antiken mathematischen
Wissenschaften, tom I - Vorgriechische Mathematik, Berlin, 1934
[16] SZ.Weksler Arytmetyka i algebra babilo´nska, U××ódź, 1968
79