okręgi - Napoleon.org.pl
advertisement
OKRĘGI Okrąg to brzeg koła, a zarazem zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od ustalonego punktu, o zadaną odległość. Punkt O nazywamy środkiem okręgu, zaś każdy z odcinków o początku O i końcu w jednym z punktów okręgu nazywamy promieniem. Wszystkie promienie okręgu mają taka samą długość. Natomiast prostą mająca dokładnie jeden punkt wspólny nazywamy styczną do okręgu. Cięciwą nazywamy odcinek wyznaczony przez punkty wspólne dowolnej siecznej i okręgu, czyli łączący dwa dowolne punkty okręgu. Średnica okręgu to cięciwa przechodząca przez środek okręgu. Średnica zwyczajowo oznaczana jest przez d. Zachodzi równość d = 2r. Jedną z najsłynniejszych stałych matematycznych jest stała π, która jest równa stosunkowi długości okręgu do jego średnicy. Stąd długość okręgu wyraża się wzorem: L=2∏r Pole powierzchni koła ograniczonego okręgiem (sam okrąg ma puste wnętrze, a więc i zerową powierzchnię) wyraża się wzorem: S=∏r² r d r 3,14159265 Wzajemne położenie dwóch okręgów Są to okręgi wzajemnie zewnętrzne, tzn. każdy z nich leży na zewnątrz drugiego. |AB| > a + b |AB| = a + b Okręgi są zewnętrznie styczne, tzn. mają jeden punkt wspólny, a pozostałe punkty każdego z tych okręgów leżą na zewnątrz drugiego okręgu. |AB| < a - b Jeden okrąg leży wewnątrz koła ograniczonego drugim okręgiem. |AB| = 0 Okręgi są współśrodkowe mają wspólny środek. a - b < |AB| < a + b Okręgi przecinają się tzn. mają dokładnie dwa punkty wspólne |AB| = a - b Okręgi są wewnętrznie styczne, tzn. mają jeden punkt wspólny przy czym każdy punkt jednego z tych okręgów należy do koła ograniczonego drugim okręgiem. Kąty wpisane w okrąg Kąt środkowy to kąt, którego wierzchołkiem jest środek okręgu. Kąt wpisany to kąt wypukły, wyznaczony przez dwie cięciwy wychodzące z jednego punktu okręgu. Kąt wpisany oparty na półokręgu. Definicja: Jeżeli kąt wpisany jest oparty na półokręgu, to kąt ten jest prosty. Kąt wpisany, a kąt środkowy oparty na tym samym łuku. Twierdzenie: Kąt wpisany jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Kąty wpisane oparte na tym samym łuku. Twierdzenie: Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe. Okrąg opisany na wielokącie Okrąg opisany na wielokącie to okrąg, na którym leżą wszystkie wierzchołki wielokąta. Na wielokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy symetralne jego wszystkich boków przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten jest wówczas środkiem okręgu opisanego. Wynika stąd, że na żadnym wielokącie nieforemnym nie da się opisać okręgu. Również nie na każdym wielokącie wypukłym można go opisać. Można to jednak zrobić dla każdego trójkąta, prostokąta oraz wielokąta foremnego. Okrąg opisany na czworokącie. Kąty α i α' oraz β i β' są parami kątów opartych na tym samym łuku. Na mocy twierdzenia o kącie wpisanym i kącie środkowym opartych na tym samym łuku otrzymujemy następujące zależności: Jednocześnie kąty α' i β' tworzą razem kąt pełny. Zatem: TEST ZADANIE 1. Wypisz wszystkie kąty środkowe i wpisane: ODPOWIEDŹ! ZADANIE 2. Suma miar kątów: wpisanego i środkowego opartego na tym samym łuku wynosi 189°. Jaką miarę ma każdy z tych kątów. ODPOWIEDŹ! ZADANIE 3. Oblicz ile stopni ma kąt środkowy oparty na: a) ⅓ okręgu b) ⅔ okręgu ODPOWIEDŹ! ZADANIE 4 Na każdym trójkącie można opisać okrąg. - prawda - fałsz ODPOWIEDŹ! ZADANIE 5 Środek okręgu opisanego na trójkącie rozwartokątnym leży wewnątrz trójkąta. - prawda - fałsz ODPOWIEDŹ! Odpowiedź: Kąty środkowe: EOD, EOA, AOD Kąty wpisane: CAD, CAB, DAB, ABF, ABE, FBE, BED, ADE Odpowiedź: Na mocy twierdzenia 1. wiemy, że kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego. Stąd miara kąta wpisanego wynosi: 189° : 3 = 63°. Miara kąta środkowego wynosi: 63° ∙ 2 = 126°. Odpowiedź: Wiemy, że kąt środkowy oparty na połowie okręgu ma miarę 180°. Stąd a) 120° b) 240° Odpowiedź: PRAWDA Odpowiedź: FAŁSZ BIBLIOGRAFIA ,,Encyklopedia matematyka” Maryla Czernich. Wikipedia. Obrazki google. „Matematyczny kuferek” Joanna Karłowska-Pik. „Słownik matematyka” Piotr Kosowicz. www.megamatma.pl wiki.wolnepodręczniki.pl OPRACOWAŁA: Alicja Czuba kl.1e