Rozmaitości matematyczne

Rozmaitości matematyczne
dr Agnieszka Kozak
Instytut Matematyki UMCS
Liczby i zbiory
Liczby naturalne
Liczby pierwsze
Liczby złożone
Liczby doskonałe I i II
Liczby bliźniacze
Liczby zaprzyjaźnione
Liczby całkowite
Liczby wymierne
Liczby rzeczywiste
Liczby niewymierne
dr Agnieszka Kozak, IM UMCS
Liczby pierwsze
Liczbę naturalną n nazywamy liczbą pierwszą
jeśli
n>1
Jedynymi jej dzielnikami są 1 i n
Przykłady: 2,3,5,7,11,13
Zasadnicze twierdzenie arytmetyki
Każda liczba naturalna może być
przedstawiona w postaci iloczynu liczb
pierwszych.
dr Agnieszka Kozak, IM UMCS
Euklides
Euklides – ur. 330 BC
Miejsce zamieszkania:
Aleksandria- Egipt
Narodowość: Grek
Niezapomniane dzieło:
Elementy Euklidesa
dr Agnieszka Kozak, IM UMCS
Istnieje nieskończenie wiele liczb
pierwszych - Euklides
Jak je znaleźć?
Eratostenes - odkrył w jaki sposób można
znaleźć liczby pierwsze pośród innych.
(metoda sita)
Uwaga: Każda liczba naturalna złożona n ma
co najmniej jeden dzielnik pierwszy p,
który spełnia nierówność
p≤√n.
dr Agnieszka Kozak, IM UMCS
Przykład
N=100
p=2,3,5,7 < 10
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,
19, 20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,...... 100
Usuwamy podzielne przez 2
1,3,5,7,9,11,13,15,17,19, 21,23,25,27,29,...99
Usuwamy podzielne przez 3
1,5,7,11,13,17,19,23,25,29,31, ....,.97
Usuwamy podzielne przez 5
1,7,11,13,17,19,23,29,31,...97
Usuwamy podzielne przez 7 i
ostatecznie dostajemy:
dr Agnieszka Kozak, IM UMCS
Liczby pierwsze, które są w przedziale
od 1 do 100
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,
53,59,61,71,73,79,83,89,97
dr Agnieszka Kozak, IM UMCS
Twierdzenie Czebyszewa
Dla dowolnej liczby naturalnej n większej
od jedynki, między liczbami n i 2n istnieje
co najwyżej jedna liczba pierwsza.
Erdös-wzmocnił to twierdzenie.
dr Agnieszka Kozak, IM UMCS
Liczby doskonałe
Liczbę m nazywamy liczbą doskonałą
gdy jest równa sumie wszystkich
swoich dzielników
6=1+2+3
28=1+2+4+7+14
496=1+2+4+8+16+31+62+124+248
dr Agnieszka Kozak, IM UMCS
Znów Euklides
Euklides odkrył, że niektóre liczby
parzyste, doskonałe zapisuja się w
postaci:
2n−1(2n − 1)
Nie wiedział, czy wszystkie!!!
Wyznaczył cztery pierwsze
dr Agnieszka Kozak, IM UMCS
Liczby doskonałe znane w
starożytności
d=2n−1(2n − 1)
n = 2: 21(22 − 1) = 6
n = 3: 22(23 − 1) = 28
n = 5: 24(25 − 1) = 496
n = 7: 26(27 − 1) = 8128
dr Agnieszka Kozak, IM UMCS
Uwagi o liczbach doskonałych
Co będzie następne (n=11)?
Jaka jest długość kolejnych liczb
doskonałych (1,2,3,4, ?)
Jaka jest ostatnia cyfra w liczbie
doskonałej (6,8)?
Czy czynnik iloczynu 2n − 1 daje nam
zawsze liczbę pierwszą?
dr Agnieszka Kozak, IM UMCS
Co będzie następne ? (n=11)
Następna liczba niestety nie jest doskonała.
Dla n=11 mamy
210(211 − 1) = 2096128= 21023·89
dr Agnieszka Kozak, IM UMCS
Następna:
Okazuje się, że nastepną liczba
doskonałą jest liczba, ktorej długość
nie wynosi 5 cyfr, ale 8 i na końcu ma
planową 6
212(213 − 1) = 33550336
dr Agnieszka Kozak, IM UMCS
Następna?
Nastepną liczbą doskonałą jest
liczba, która na końcu ma 6, a nie jak
przypuszczaliśmy 8.
216(217 − 1) =8589869056
dr Agnieszka Kozak, IM UMCS
Leonard Euler
Leonard Euler
ur. 15.04.1707
Narodowość:
Szwajcar
dr Agnieszka Kozak, IM UMCS
Twierdzenie Euklidesa-Eulera
2000 lat po Euklidesie, Euler pokazał,
że wzór
2n−1(2n − 1)
wyznacza wszystkie liczby doskonałe
parzyste.
Ponadto jeśli liczba 2n − 1jest liczbą
pierwszą, to powyższy wzór wyznacza
nam liczbe doskonałą.
dr Agnieszka Kozak, IM UMCS
Liczby Mersenne'a
Liczbę postaci M=2n − 1 nazywamy liczbą
Mersenne'a.
Niektóre z tych liczb są liczbami pierwszymi.
Np. dla n=3,5 mamy odpowiednio 7 i 31, ale
dla n=11 mamy 211 − 1=23·89.
Największa liczba Mersenne'a, która jest
pierwsza to: 232582657−1
dr Agnieszka Kozak, IM UMCS
Zatem liczba
(232582657−1)232582656
jest doskonała
Liczba ta ma 9808358 cyfr w zapisie
dziesiętnym . Została ona odkryta
4 września 2006 roku przez Curtisa
Coopera i Stevena Boone'a - uczestników
projektu GIMPS. Poprzednia największa
liczba pierwsza, 43 liczba Mersenne'a,
została odkryta w grudniu 2005.
Electronic Frontier Foundation ustanowiła
nagrodę 100 tysięcy dolarów dla odkrywcy
liczby pierwszej o więcej niż 10 milionach
cyfr.
dr Agnieszka Kozak, IM UMCS
Czego nie wiemy !
Nie wiemy, czy liczb doskonałych jest
nieskończenie wiele.
Nie wiemy, czy istnieją liczby doskonałe
nieparzyste.
Nie wiemy jak efektywnie wyznaczać
liczby pierwsze.
dr Agnieszka Kozak, IM UMCS
Ciekawostka
N=6
N=28
1/6+1/3+1/2+1/1=2
1/28+1/14+1/7+1/2+1/1=2
Co będzie dla innych liczb doskonałych?
Czy jest to przypadek?
dr Agnieszka Kozak, IM UMCS
Inne ciekawe liczby
Liczby lustrzane:
To pary liczb pierwszych, z których jedna
powstaje przez zapisanie cyfr dziesiętnych
drugiej w odwrotnej kolejności.
Przykłady: 13 i 31, 17 i 71, 37 i 73, 79 i 97,107
i 701,...
Liczby palindramiczne pierwsze
To liczby pierwsze, które nie zmieniają się,
gdy ich cyfry zapiszemy w odwrotnej
kolejności.
Przykłady: 11, 101, 131, 191, 929.
dr Agnieszka Kozak, IM UMCS
Cd. ciekawych liczb
Liczby bliźniacze:
Para liczb pierwszych różniacych się o 2.
5,7
Liczby zaprzyjaźnione:
Jedna liczba jest równa sumie dzielników
drugiej liczby.
220=1+2+4+71+142
284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110
1184 ~ 1210
17296~18416
dr Agnieszka Kozak, IM UMCS
Uwaga!
Każda liczba doskonała jest
zaprzyjażniona sama ze sobą.
Widziecie to?????
dr Agnieszka Kozak, IM UMCS
Zadania
Zadanie 1
Znaleźć wszystkie liczby pierwsze p takie,
że liczba p+4 jest kwadratem liczby
naturalnej.
Zadanie 2
Wykazać, że dla każdej liczby pierwszej
p>3 liczba p²-1 jest podzielna przez 24.
Zadanie 3
Znaleźć wszystkie liczby pierwsze p i q
takie, że
p²-2q²=1.
dr Agnieszka Kozak, IM UMCS