Statystyka Ubezpieczeniowa Część 1. Rachunek

Statystyka Ubezpieczeniowa
Część 1.
Rachunek prawdopodobieństwa:
- prawdopodobieństwo klasyczne
- zdarzenia niezależne
- prawdopodobieństwo warunkowe
- prawdopodobieństwo całkowite
- wzór Bayesa
Schemat Klasyczny
Zadanie. 1
Rzucamy dwa razy sprawiedliwą, sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo
otrzymania:
a) sumy oczek równej 6
b) iloczynu oczek równego 6
c) wartości bezwzględnej różnicy liczby oczek równej 1.
Zadanie. 2.
Rzucamy trzy razy sprawiedliwą, sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo
otrzymania:
a)
b)
c)
d)
w każdym rzucie innej liczby oczek
co najmniej raz nieparzystej liczby oczek
co najmniej raz sześciu oczek
co najmniej raz sześciu oczek i co najmniej raz nieparzystej liczby
Zadanie. 3.
Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7} losujemy jednocześnie dwie liczby. Oblicz
prawdopodobieństwo otrzymania:
a)
b)
c)
d)
dwóch liczb parzystych
dwóch liczb nieparzystych
dwóch liczb, których suma jest parzysta
dwóch liczb, których iloczyn jest parzysty
Zadanie. 4.
Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7,8,9} losujemy jednocześnie trzy liczby. Oblicz
prawdopodobieństwo otrzymania:
a)
b)
c)
d)
trzech liczb parzystych
co najmniej jednej liczby parzystej
dwóch liczb parzystych
liczby 1 wśród wylosowanych liczb
Zadanie. 5.
Na loterii jest 100 losów w tym 5 wygrywających. Oblicz prawdopodobieństwa, że wśród
kupionych pięciu losów będziemy mieli
a) dwa losy wygrywające
b) co najmniej jeden los wygrywający
Zadanie. 6.
Z talii 52-kartowej losujemy pięć kart. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
pięciu kierów
dwóch kierów i trzech pików
dwóch kierów
dwóch asów
trzech króli
dwóch asów i trzech króli
co najmniej jednego asa
Zadanie. 7.
Kupujemy jeden los w Dużego Lotka. Jakie jest prawdopodobieństwo:
a)
b)
c)
d)
trafienia „szóstki”
trafienia „piątki”
trafienia „czwórki”
trafienia „trójki”
Los kosztuje 3 zł. Przy jakiej kumulacji i założeniu, że nikt inny nie trafi „szóstki” warto
zagrać w Dużego Lotka?
Prawdopodobieństwo Warunkowe
Zadanie. 1.
Z talii 52-kartowej losujemy jedną kartę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania kiera, jeżeli
wiadomo że otrzymana karta jest starsza od waleta.
Zadanie. 2.
Rzucamy dwa razy symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania
iloczynu oczek większego od siedmiu, jeżeli wiadomo, że suma otrzymanych oczek jest
równa sześć.
Zadanie. 3.
Wiedząc, że 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 1/6, 𝑃(𝐴|𝐵) = 1/3, 𝑃(𝐵|𝐴) = 1/2, oblicz 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵).
Zadanie. 4.
Wiedząc, że 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐵′), 𝑃(𝐴|𝐵) + 𝑃(𝐴|𝐵′) = 2/3, oblicz 𝑃(𝐴).
Niezależność zdarzeń
Zadanie. 1.
Z pojemnika, w którym znajduje się sześć kul białych oraz pięć czarnych losujemy dwie kule.
Czy zdarzenia A i B są niezależne, jeżeli:
A – otrzymamy co najmniej jedną kulę białą
B – otrzymamy co najmniej jedną kulę czarną
Zadanie. 2.
Z talii 52-kartowej losujemy jedną kartę. Sprawdź czy zdarzenia A i B są niezależne, jeżeli:
a) A – otrzymamy figurę, B – otrzymamy pika
b) A – otrzymamy kartę młodsza od piątki, B – otrzymamy kartę starszą od trójki.
Zadanie. 3.
Zdarzenia A i B są niezależne, 𝑃(𝐵′) = 1/4, 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 2/3. Oblicz 𝑃(𝐴).
Zadanie. 4.
Zdarzenia A i B są niezależne, 𝑃(𝐴) > 0, 2 ∙ 𝑃(𝐴) = 5 ∙ 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵). Oblicz 𝑃(𝐵′).
Prawdopodobieństwo całkowite oraz wzór Bayesa
Zadanie. 1.
Strzelec A trafia do celu pojedynczym strzałem z prawdopodobieństwem 0.7, strzelec B z
prawdopodobieństwem 0.6, strzelec C z prawdopodobieństwem 0.8. Oblicz
prawdopodobieństwa:
a) losowo wybrany strzelec trafi do celu
b) wszyscy strzelcy oddadzą jeden celny strzał
c) strzelał jeden strzelec i to dokładnie C, jeżeli okazało się, że cel został trafiony
Zadanie. 2.
Stacja benzynowa obsługuje samochody osobowe i dostawcze. Stosunek liczby samochodów
osobowych do dostawczych pobierających paliwo jest równy 7:3. Około 80 % samochodów
osobowych tankuje etylinę zaś 20% olej napędowy. W przypadku samochodów dostawczych
90% tankuje olej napędowy zaś 10% etylinę. Oblicz prawdopodobieństwo, że:
a) samochód, który podjedzie po paliwo, będzie tankował etylinę
b) podjechał samochód dostawczy, jeżeli wiadomo, że tankował etylinę
Zadanie. 3.
Mamy trzy fabryki produkujące ten sam produkt. Pierwsza wypuszcza 𝑝1 % wadliwych
towarów, druga 𝑝2 % a trzecia 𝑝3 %. W partii towaru znajduje się 𝑛1 , 𝑛2 , 𝑛3 sztuk
pochodzących odpowiednio z trzech fabryk. Jakie jest prawdopodobieństwo, że:
a) losowo wybrana sztuka towaru będzie wadliwa
b) sztuka towaru pochodzi z pierwszej fabryki jeżeli wiadomo, że jest wadliwa
Zadanie. 4.
Z badań rynku ubezpieczeń na życie dla osób w wieku 25-30 lat wynika, że kobiety dwa razy
częściej ubezpieczają swoje życie niż mężczyźni. Dla tej samej grupy osób ryzyko zgonu
mężczyzn w ciągu trwania ubezpieczenia wynosi 0,009 zaś dla kobiety 0,003. Oblicz
prawdopodobieństwo, że wśród ubezpieczonych w wieku 25-30 lat:
a) losowo wybrana osoba umrze w czasie trwania polisy
b) będzie to kobieta, jeżeli wiadomo, że nastąpił zgon.
Zadanie. 5.
W worku jest (1 − 𝑝)𝑚 rzetelnych, symetrycznych monet i 𝑝𝑚 monet, które po obu stronach
mają orła. Wybieramy losowo jedną monetę i rzucamy nią 𝑛 razy. We wszystkich rzutach
wypadł orzeł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że moneta jest nierzetelna.
ODP. Schemat Klasyczny
Zad.1. a) 5/36 b) 1/9 c) 5/18
Zad.2. a) 5/9 b) 7/8 c) 91/216 d) 1/3
Zad.3. a) 1/7 b) 2/7 c) 3/7 d) 5/7
Zad.4. a) 1/21 b) 5/42 c) 5/14 d) 1/3
Zad.5. a) 0,018384… b) 0,230410…
Zad.6. a)
13
)
5
52
( )
5
(
b)
(
13 13
)∙( )
2
3
52
( )
5
(
c)
13 39
)∙( )
2
3
52
( )
5
d)
4 48
( )∙( )
2
3
52
( )
5
e)
4 48
( )∙( )
3
2
52
( )
5
ODP. Prawdopodobieństwo warunkowe
Zad.1. 1/4
Zad.2. 0,6
Zad.3. 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 2/3
Zad.4. 𝑃(𝐴) = 1/3
ODP. Zdarzenia niezależne
Zad.1. Nie
Zad.2. a) Tak b) Nie
Zad.3. 𝑃(𝐴) = 8/9
Zad.4. 𝑃(𝐵′) = 3/5
ODP. Prawdopodobieństwo całkowite oraz wzór Bayesa
Zad.1. a) 0,7 b) 0,336 c) 8/21
Zad.2. a) 0,59 b) 3/59
Zad.3. a)
𝑝1 𝑛1 +𝑝2 𝑛2 +𝑝3 𝑛3
100(𝑛1 +𝑛2 +𝑛3 )
Zad.4. a) 0,005 b) 0,4
2𝑛 𝑝
Zad.5. 1+(2𝑛 −1)𝑝
b) 𝑝
𝑝1 𝑛1
1 𝑛1 +𝑝2 𝑛2 +𝑝3 𝑛3
f)
4 4
( )∙( )
2 3
52
( )
5
g) 1 −
48
)
5
52
( )
5
(
Schemat klasyczny prawdopodobieństwa (własności)
Ω – zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych (równo prawdopodobnych)
𝐴 ⊂ Ω jest dowolnym zbiorem zdarzeń elementarnych
𝑃(𝐴) =
𝐴̿
̿
Ω
0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1
𝑃(𝐴) = 0
to zdarzenie 𝐴 nazywamy zdarzeniem niemożliwym
𝑃(𝐴) = 1
to zdarzenie 𝐴 nazywamy zdarzeniem pewnym
𝑃(𝐴′) = 1 − 𝑃(𝐴)
gdzie 𝐴′ nazywamy zdarzeniem przeciwnym do 𝐴
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵)
Niezależność zdarzeń
Zdarzenia 𝐴 oraz 𝐵 są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy:
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵)
Prawdopodobieństwo warunkowe
Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia 𝐴 pod warunkiem 𝐵 określamy wzorem:
𝑃(𝐴|𝐵) =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐵)
o ile 𝑃(𝐵) > 0.
Prawdopodobieństwo to implikuje następujące zależności:
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴|𝐵) ∙ 𝑃(𝐵)
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵|𝐴) ∙ 𝑃(𝐴)
Zupełny układ zdarzeń
Zdarzenia 𝐵1 , 𝐵2 , … , 𝐵𝑛 tworzą zupełny układ zdarzeń jeżeli:
- 𝐵1 ∪ 𝐵2 ∪ … ∪ 𝐵𝑛 = Ω
- dla każdego 𝑖 ≠ 𝑗 zachodzi 𝐵𝑖 ∩ 𝐵𝑗 = ∅
- dla każdego 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 zachodzi 𝑃(𝐵𝑖 ) > 0
Prawdopodobieństwo całkowite
Niech 𝐵1 , 𝐵2 , … , 𝐵𝑛 będzie zupełnym układem zdarzeń.
Jeżeli 𝐴 jest dowolnym zdarzeniem takim, że 𝑃(𝐴) > 0, to dla dowolnego 𝑖 = 1,2, … , 𝑛:
𝑛
𝑃(𝐴|𝐵𝑖 ) = ∑ 𝑃(𝐴|𝐵𝑖 ) ∙ 𝑃(𝐵𝑖 )
𝑖=1
Twierdzenie Bayesa
Niech 𝐵1 , 𝐵2 , … , 𝐵𝑛 będzie zupełnym układem zdarzeń.
Jeżeli 𝐴 jest dowolnym zdarzeniem takim, że 𝑃(𝐴) > 0, to dla dowolnego 𝑖 = 1,2, … , 𝑛:
𝑃(𝐵𝑖 |𝐴) =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵𝑖 )
𝑃(𝐴|𝐵𝑖 ) ∙ 𝑃(𝐵𝑖 )
= 𝑛
∑𝑖=1 𝑃(𝐴|𝐵𝑖 ) ∙ 𝑃(𝐵𝑖 )
𝑃(𝐴)
Przykład. (wzór Bayesa)
Wśród szkód zgłaszanych przez ubezpieczonych będących mieszkańcami:
– miast 80% dotyczy wypadków w miastach, a 20% poza miastem
– wsi 40% dotyczy wypadków w miastach, a 60% poza miastem.
Wiadomo ponadto, że 70% wszystkich ubezpieczonych to mieszkańcy miast. Zgłoszono
roszczenie dotyczące wypadku poza miastem (na wsi). Jakie jest prawdopodobieństwo, że
ubezpieczony jest mieszkańcem miasta?