odległość na płaszczyźnie - sprawdzian

ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN
Gr. 1
Zad. 1.
Dane są punkty: P = (-2, 1), R = (5, -1), S = (2, 3).
a) Oblicz odległość między punktami R i S.
b) Wyznacz współrzędne środka odcinka PR.
c) Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkty P i S.
d) Oblicz odległość punktu P od prostej 3x – 2y + 4 = 0.
Zad. 2.
Okrąg o środku S = (-1, 5) przechodzi przez punkt P = (0, 3).
a) Napisz równanie tego okręgu.
b) Wyznacz równanie stycznej do okręgu w punkcie P.
Zad. 3.
Wierzchołkami trójkąta są punkty: K = (-2, 2), L = (1, 3), M = (2, 0).
a) Wykonując odpowiednie obliczenia sprawdź, czy trójkąt jest
prostokątny.
b) Oblicz obwód i pole trójkąta.
c) Wyznacz współrzędne środka ciężkości.
Gr. 2
Zad. 1.
Dane są punkty: P = (-2, 1), R = (1, -2), S = (2, 3).
a) Oblicz odległość między punktami P i S.
b) Wyznacz współrzędne środka odcinka RS.
c) Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkty P i R.
d) Oblicz odległość punktu P od prostej 2x + y - 3 = 0.
Zad. 2.
Okrąg o środku S = (1, 0) przechodzi przez punkt P = (-1, 1).
a) Napisz równanie tego okręgu.
b) Wyznacz równanie stycznej do okręgu w punkcie P.
Zad. 3.
Wierzchołkami trójkąta są punkty: K = (1, -4), L = (3, -3), M = (-2, 2).
a) Wykonując odpowiednie obliczenia sprawdź, czy trójkąt jest
prostokątny.
b) Oblicz obwód i pole trójkąta.
c) Wyznacz współrzędne środka ciężkości.
ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - TEST
Gr.1.
1) Prawdziwe jest zdanie:
- Prosta jest figurą wypukłą.
- Okrąg jest figurą wypukłą.
- Koło jest figurą wypukłą.
2) Równanie
- 2x + y –1 = 0
- –2x – y + 1 = 0
- –6x – 3y +3 = 0
jest równaniem ogólnym prostej y = -2x +1.
3) Do postaci kierunkowej można sprowadzić równanie prostej
- 3x + 7y + 8 = 0;
- x – 5 = 0;
- y + 0,3 = 0.
4) Odległość między punktami A = (1, 0) i B = (3, 2)
- wynosi 2 ;
- jest liczbą niewymierną;
- jest większa od 3.
5) Punkt S jest środkiem odcinka o końcach A = (4, 3 ) i B = (2, − 3 3 ). Wobec tego:
- S = (4, − 3 );
- AB = 2 3 ;
- jeśli C jest takim punktem, że B jest środkiem odcinka AC, to C = (0,
− 6 3 ).
6) Odległość punktu P = (0, 4) od prostej y = 3x – 2
- wynosi 10 ;
- jest liczbą wymierną;
- jest mniejsza od 3.
7) Prosta przechodząca przez punkty A = (0, 1) i B = (2, 0) ma równanie:
1
- y = − x+2;
2
- x + 2y – 4 = 0;
- x + 2y – 2 = 0.
8) Okrąg ( x + 1) 2 + ( y − 5) = 5
- ma środek w punkcie S = (-1, 5);
- ma promień r = 5;
- przechodzi przez punkt P = (0, 3).
2
9) Równanie x 2 + y 2 − 6 x + 8 y = 0 :
- przedstawia okrąg o środku S = (-3, 4);
- przedstawia okrąg o promieniu r = 6;
- nie przedstawia żadnego okręgu.
10) Okręgi ( x + 2) 2 + ( y − 4) = 1 oraz x 2 + ( y − 4) = 9 :
- są styczne zewnętrznie;
- są styczne wewnętrznie;
- leżą poniżej osi OX.
2
2
11) Prosta x + y – 2 = 0
- jest styczna do okręgu x 2 + y 2 = 1 ;
- jest sieczną okręgu x 2 + y 2 = 2 ;
- jest styczna do okręgu x 2 + ( y − 4) = 2 .
2
12) Można zbudować trójkąt z odcinków o długościach:
- 10, 6, 5
- 8, 5, 3
- 4, 2, 1
13) W każdym trójkącie
- punkt przecięcia środkowych dzieli każdą z nich w stosunku 2:1;
- punkt przecięcia środkowych należy do trójkąta;
- punkt przecięcia prostych zawierających wysokości trójkąta należy do
trójkąta.
14) Istnieje taki trójkąt, że prostopadłe są:
- dwie jego wysokości;
- dwusieczne dwóch jego kątów;
symetralne dwóch jego boków.
Gr. 2
1) Równanie
a) –2x – y + 1 = 0
b) 2x + y –1 = 0
c) –6x – 3y +3 = 0
jest równaniem ogólnym prostej y = -2x +1.
2) Do postaci kierunkowej można sprowadzić równanie prostej
a) 3x + 7y + 8 = 0;
b) y + 0,3 = 0
c) x – 5 = 0.
3) Prosta przechodząca przez punkty A = (0, 1) i B = (2, 0) ma równanie:
1
a) y = − x + 2 ;
2
b) x + 2y – 4 = 0;
c) x + 2y – 2 = 0.
4) Okrąg ( x + 1) 2 + ( y − 5) = 5
a) ma środek w punkcie S = (-1, 5);
b) ma promień r = 5;
c) przechodzi przez punkt P = (0, 3).
2
5) Równanie x 2 + y 2 − 6 x + 8 y = 0 :
a) przedstawia okrąg o środku S = (3, -4);
b) przedstawia okrąg o promieniu r = 6;
c) nie przedstawia żadnego okręgu.
6) Okręgi ( x + 2) 2 + ( y − 4) = 1 oraz x 2 + ( y − 4) = 9 :
a) są styczne zewnętrznie;
b) są styczne wewnętrznie;
c) leżą powyżej osi OX.
2
2
7) Prosta x + y – 2 = 0
a) jest styczna do okręgu x 2 + y 2 = 1 ;
b) jest styczna do okręgu x 2 + ( y − 4) = 2 ;
2
c) jest sieczną okręgu x 2 + y 2 = 2 .
8) Można zbudować trójkąt z odcinków o długościach:
a) 8, 5, 3
b) 10, 6, 5
c) 4, 2, 1
9) W każdym trójkącie
a) punkt przecięcia środkowych dzieli każdą z nich w stosunku 2:1;
b) punkt przecięcia środkowych należy do trójkąta;
c) punkt przecięcia prostych zawierających wysokości trójkąta należy do trójkąta.
10) Istnieje taki trójkąt, że prostopadłe są:
(1) dwie jego wysokości;
(2) symetralne dwóch jego boków;
(3) dwusieczne dwóch jego kątów.
11) Odległość między punktami A = (1, 0) i B = (3, 2)
a) wynosi 2 ;
b) jest liczbą wymierną;
c) jest większa od 3.
12) Punkt S jest środkiem odcinka o końcach A = (4, 3 ) i B = (2, − 3 3 ). Wobec tego:
a) S = (4, − 3 );
b) AB = 2 3 ;
c) jeśli C jest takim punktem, że B jest środkiem odcinka AC, to C = (0, − 6 3 ).
13) Odległość punktu P = (0, 4) od prostej y = 3x – 2
a) wynosi 2 10 ;
b) jest liczbą niewymierną;
c) jest większa od 3.
14) Prawdziwe jest zdanie:
a) Trójkąt jest figurą wypukłą.
b) Okrąg jest figurą wypukłą.
c) Koło jest figurą wypukłą.
FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE – SPRAWDZIAN
Gr. 1.
Zad.1.
Ramiona trójkąta równoramiennego mają długości 10 cm, wysokość opuszczona na
podstawę wynosi 5 cm. Oblicz obwód i miary kątów wewnętrznych tego trójkąta.
Zad.2.
Kąt α jest taki, że cosα = -3/5 i 90°<α<180°.
a) Skonstruuj ten kąt.
b) Wyznacz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta α.
Zad.3.
Sprawdź tożsamość:
1 − tg 2 x
1 + tg 2 x
= 1 − 2 sin 2 x
Zad.4.
Naszkicuj wykres funkcji y = sin(x + Π) + 2. Określ jej zbiór wartości i miejsca zerowe.
Gr. 2.
Zad.1.
Dwa boki pewnego trójkąta mają długości: √6 cm, 2 cm, a wysokość poprowadzona z ich
wspólnego końca dzieli kąt wewnętrzny trójkąta na kąty o miarach odpowiednio równych:45°
i 30°.Wyznacz długość trzeciego boku i miary kątów tego trójkąta.
Zad.2.
Kąt α jest taki, że sinα=0,8 i 90°<α<180°
a) Skonstruuj ten kąt.
b) Wyznacz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych tego kąta.
Zad.3.
Sprawdź tożsamość:
ctg 2 x
= cos 2 x
2
1 + ctg x
Zad.4.
Naszkicuj wykres funkcji y = cos(x – Π) - 2. Określ jej zbiór wartości i miejsca zerowe.