Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz A jest macierzą kwadratową stopnia n . Mówimy, że macierz B tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną do A , jeżeli spełniona jest równość: A B B A I . Uwaga: Macierz A jest odwracalna, czyli posiada macierz odwrotną, wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest różny od zera, czyli jest ona tzw. macierzą nieosobliwą. Zadanie 1 Sprawdź, czy podane macierze są do siebie wzajemnie odwrotne: 3 2 1 2 , B A 1 3 1 1 1 2 5 A 0 0 1 , 3 2 2 1 4 3 B 8 0 3 4 17 8 1 1 4 1 8 0 Rozwiązanie: A) Obliczymy iloczyn A B : 3 2 6 6 1 12 A B , czyli A B I , a więc podane macierze nie są do siebie 1 1 2 3 0 1 wzajemnie odwrotne. OCZYOCZYWIŚCIE NIE musimy JUŻ OBLICZAĆ DRUGIEGO Z ILOCZYNÓW PODANYCH W DEFINICJI MACIERZY ODWROTNEJ. B) Podobnie jak powyżej, obliczymy iloczyn: 1 Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych 1 3 44 A B 0 3 3 4 4 3 17 1 1 5 1 0 0 4 4 4 4 1 0 0 1 0 , 9 17 3 1 2 0 0 1 4 4 4 4 2 2 5 2 3 1 3 4 4 4 4 4 4 4 1 0 0 3 3 6 2 15 17 2 B A 0 1 0 , 8 8 8 8 8 8 8 0 1 0 0 0 1 zatem podane macierze są do siebie wzajemnie odwrotne. Uwaga powyższa nie podaje sposobu, jak obliczyć macierz odwrotną do danej. Sposób ten (jeden z możliwych ) jest opisany poniżej: Aby wyznaczyć macierz odwrotną do A , wykonujemy następujące czynności: 1) Obliczamy wyznacznik macierzy A ; jeśli det A 0 , to macierz odwrotna nie istnieje, 2) Jeśli det A 0 , to obliczamy dopełnienia algebraiczne wszystkich wyrazów macierzy A ( dopełnieniem algebraicznym wyrazu a ij macierzy A nazywamy wyznacznik podmacierzy powstałej z A przez wykreślenie i tego wiersza i j tej kolumny, pomnożony przez liczbę 1 i j ) dopełnienie algebraiczne wyrazu a ij będziemy oznaczać przez Aij . 3) Tworzymy macierz D Aij 4) Wyznaczamy macierz transponowaną do D 5) Macierzą odwrotną do A jest macierz A1 i , j 1,..., n , 1 DT det A Zadanie 2 Sprawdź, czy dana macierz jest odwracalna i, jeśli tak, wyznacz macierz odwrotną: 1 3 2 1 A) A 2 Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych 1 1 2 B) A 3 0 1 0 1 1 2 3 1 C) A 2 4 9 1 2 2 Rozwiązanie: A) 1 3 2 1 Najpierw obliczymy wyznacznik macierzy A : 1 6 5 0 , zatem A jest odwracalna. Obliczymy teraz dopełnienia algebraiczne wszystkich wyrazów tej macierzy: A11 1 11 1 1 , A12 1 1 2 2 2 , A21 1 2 1 3 3 , A22 1 2 2 1 1 . Zauważmy, że w tym przypadku dopełnienia algebraiczne wyrazów są wyznacznikami macierzy wymiaru 1 1 , czyli zawierającej tylko jeden wyraz. Taki wyznacznik jest równy temu wyrazowi. Macierz 1 2 1 3 D ma więc postać : D , zatem D T i otrzymujemy wreszcie 3 1 2 1 1 3 1 1 3 5 5 1 macierz A . 5 2 1 2 1 5 5 Aby sprawdzić poprawność wykonanych obliczeń, możemy obliczyć odpowiednie iloczyny: 1 6 5 5 1 A A 2 2 5 5 3 3 5 5 1 0 , 6 1 0 1 5 5 3 Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych 1 6 5 5 1 A A 2 2 5 5 3 3 1 0 5 5 , 6 1 0 1 5 5 zatem otrzymaliśmy poprawny wynik. 1 1 B) det A 3 2 1 1 0 1 3 1 1 0 0 0 0 0 6 0 1 3 10 0 1 Zatem istnieje macierz odwrotna do A . OBLICZYMY DOPEŁNIENIA ALGEBRAICZNE WSZYSTKICH WYRAZÓW MACIERZY A : 0 A11 1 11 A13 1 1 3 A22 1 1 A31 1 A32 1 3 2 1 3 3 , 2 1 1 31 1 3 3 , 0 1 A23 1 23 1 0 1 2 2 3 3 0 A21 1 21 1 , 1 1 A12 1 1 2 1 1 1 2 3 , 1 2 0 1 1 1 0 1 2 0 1 1 1 1 1 , 1, 1 2 3 1, 1 1 1 6 7 , 4 Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych A33 1 3 3 1 1 3 0 3 . 1 3 3 Otrzymujemy stąd macierz D 3 1 1 , 1 7 3 1 3 1 następnie D 3 1 7 , 3 1 3 T 1 3 1 1 i wreszcie A 3 1 7 . 10 3 1 3 1 Wykonamy jeszcze sprawdzenie: 1 3 6 3 1 2 1 7 6 10 0 0 1 1 A A 3 3 9 1 3 3 0 10 0 I , 10 10 1 1 7 3 3 3 0 0 10 1 1 9 1 1 2 3 1 10 0 0 1 1 A A 3 3 3 7 6 1 7 0 10 0 I 10 10 3 3 3 3 6 1 3 0 0 10 1 ZATEM WYKONALIŚMY POPRAWNE OBLICZENIA. C) 1 2 3 1 2 det A 2 4 9 2 4 1 2 2 1 2 8 18 12 12 18 8 0 Zatem macierz powyższa jest nieodwracalna. 5 Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych 6 Układ równań liniowych to układ równań postaci: a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n b1 a x a x ... a x b 21 1 22 2 2n n 2 ’ ........................................ a k1 x1 a k 2 x 2 ... a kn x n bk gdzie aij , bi R dla i 1, 2,..., k ; j 1,2,..., n . Macierz A aij i 1, 2 ,..., k j 1, 2 ,..., n nazywamy macierzą tego układu. Jeśli w powyższym układzie równań liczba równań jest równa liczbie niewiadomych, czyli n k , i wyznacznik macierzy tego układu jest różny od zera, to układ ten nazywamy układem Cramera. Uwaga Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie. Jest nim ciąg liczb x1 , x2 ,..., xn , gdzie każdą z liczb xi można obliczyć korzystając z wzoru: xi Wi ( dla i 1,2,..., n ) W W jest wyznacznikiem macierzy tego układu (tzw. wyznacznikiem głównym), zaś Wi jest wyznacznikiem macierzy powstałej przez zastąpienie w macierzy układu i tej kolumny kolumną wyrazów wolnych. Opisana powyżej metoda rozwiązywania układów Cramera, nazywa się metodą wyznaczników. Zadanie 3 Sprawdź, czy podany układ jest układem Cramera. Jeśli tak, rozwiąż go metodą wyznaczników. A) 2 x1 x2 1 x1 4 x2 13 Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych B) x1 x2 3x3 5 5 x1 x2 x3 2 x x x 3 2 3 1 C) x1 x2 x3 0 2 x1 3x2 2 x3 1 3x 2 x 3x 1 1 2 3 Rozwiązania: A) Obliczymy najpierw wyznacznik główny tego układu, aby sprawdzić, czy jest to układ Cramera: W 2 1 1 4 8 1 9 0 , A zatem jest to układ Cramera i możemy zastosować metodę wyznaczników: W1 W2 1 1 13 4 4 13 9 , 2 1 1 13 26 1 27 . Stosując teraz podane powyżej wzory, otrzymujemy: 9 x1 9 1 , x 27 3 2 9 Czyli rozwiązaniem układu jest para liczb : 1, 3 B) Podobnie, jak poprzednio, obliczymy wyznacznik główny układu: 1 1 3 1 1 W5 0 1 5 0 0 1 15 0 1 5 22 0 1 1 1 1 1 7 Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych Zatem jest to układ Cramera. Mamy: 5 1 3 5 0 1 2 0 0 3 6 0 5 2 0 1 1 3 1 W1 2 3 1 1 5 3 1 5 1 3 1 1 3 W2 5 2 1 5 2 2 5 45 6 3 25 22 1 1 5 1 1 W3 5 0 2 5 1 1 3 1 0 0 2 25 0 2 15 44 , 1 0 x1 22 0 22 1 , Zatem x2 22 44 x3 22 2 czyli rozwiązaniem układu jest ciąg trzech liczb: 0,1, 2 . C) Tak, jak w poprzednich przykładach, obliczamy wyznacznik główny: 1 W 2 3 1 1 1 3 2 2 2 3 3 1 3 9 6 4 9 4 6 0`. 2 ponieważ wyznacznik główny jest równy 0 , więc powyższy układ nie jest układem Cramera. Zadania do samodzielnego rozwiązania 8 Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych Zadanie 1 Zbadaj, czy dana macierz posiada macierz odwrotną i, jeśli tak , wyznacz ją: A) 1 2 A 0 1 D) 1 0 A 1 1 B) 3 2 A 1 2 E) 2 3 A 4 5 1 4 2 8 F) 1 3 A 2 5 C) A Zadanie 2 Zbadaj, czy macierz B jest odwrotna do macierzy A : 3 2 , 1 1 A) A 4 2 , 0 1 B) A 1 2 B 1 3 1 B 4 0 1 0 1 C) A 1 1 0 , 0 1 1 1 2 1 D) A 0 1 3 , 2 1 3 Zadanie 3 1 2 1 1 2 1 B 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 3 5 1 B 3 1 3 4 1 3 1 9 Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych Oceń, czy następujący układ równań jest układem Cramera i, jeśli tak, rozwiąż go metodą wyznaczników. 2 x1 x2 3x2 5x1 3 3x2 2 x1 4 x1 5 x2 17 A) B) 8 31 2 x2 x1 C) 2 x1 x2 x 1 x3 1 3x3 8 2 x3 3 x2 x1 D) 2 x1 x2 x 1 x3 1 2 x3 0 x3 0 x1 x2 E) 3x1 x2 x 1 2 x2 x3 1 2 x3 11 x3 0 3x1 x2 F) 2 x2 x 1 x2 x3 4 3x3 2 2 x3 2 2 x1 x2 G) 5 x1 x2 x x2 1 x2 4 x1 H) 2 x1 x2 x x2 1 I) J) 3x1 x2 x2 x1 x 2 x 2 1 2 x1 x2 x2 x1 3x 1 5 x3 15 x3 4 x3 2 3x3 0 2 x3 1 x3 4 x3 6 2 x3 3 x3 4 x3 0 5 x3 0 3x3 0 10 Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych x1 K) 2 x1 x 1 x2 x3 0 3 x2 4 x3 0 x2 5 x3 0 3x1 2 x2 L) x1 5 x2 4 x 3x 2 1 x3 0 4 x3 0 2 x3 0 ODPOWIEDZI: ZADANIE 1 1 2 0 1 A) TAK; A1 3 2 1 2 B) TAK; A1 C) NIE 1 0 1 1 D) TAK; A1 5 E) TAK; A 2 2 1 5 3 2 1 F) TAK; A1 ZADANIE 2 A) NIE B) TAK C) TAK D) NIE 3 2 1 11 Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych ZADANIE 3 A) TAK; ROZWIĄZANIEM JEST PARA LICZB: 1,1 . B) TAK; ROZWIĄZANIEM JEST PARA LICZB: 4, 3 . C) TAK; ROZWIĄZANIEM JEST TRÓJKA LICZB: 1, 0, 2 . D) NIE JEST TO UKŁAD CRAMERA E) TAK; ROZWIĄZANIEM JEST TRÓJKA LICZB: 2, 3, 4 . F) TAK; ROZWIĄZANIEM JEST TRÓJKA LICZB: 4,10, 6 . G) TAK; ROZWIĄZANIEM JEST TRÓJKA LICZB: 1, 2, 3 . H) TAK; ROZWIĄZANIEM JEST TRÓJKA LICZB: 0, 3,1 . I) TAK; ROZWIĄZANIEM JEST TRÓJKA LICZB: 1, 2, 1 . J) TAK; ROZWIĄZANIEM JEST TRÓJKA LICZB: 0, 0, 0 . K) TAK; ROZWIĄZANIEM JEST TRÓJKA LICZB: 0, 0, 0 . L) TAK; ROZWIĄZANIEM JEST TRÓJKA LICZB: 0, 0, 0 . 12