Lista 2 Ci¡g arytmetyczny i geometryczny. Funkcje. Warto±¢ bezwzgl¦dna. Zadanie 1 Znale¹¢ liczb¦ x , dla której liczby 2, 2x+1 , 2x+1 + 6 w podanej kolejno±ci tworz¡ ci¡g arytmetyczny. Wyznaczy¢ wyraz ogólny ci¡gu arytmetycznego oraz sum¦ Zadanie 2 dwudziestu pocz¡tko- S20 wych wyrazów gdy: (a) a3 = 3, a12 = 21, (b) a1 + a2 + a3 = 18, a21 + a22 + a23 = 116. Zadanie 3 Obliczy¢ sum¦ wszystkich liczb trzycyfrowych podzielnych przez 3. Zadanie 4 Cztery liczby tworz¡ ci¡g geometryczny. Je»eli od pierwszej z nich odejmiemy 2, od drugiej 3, od trzeciej 9, a od czwartej 25, to otrzymane ró»nice utworz¡ ci¡g arytmetyczny. Znale¹¢ te liczby. Wyznaczy¢ wyraz ogólny ci¡gu geometrycznego oraz sum¦ Zadanie 5 S5 pi¦ciu pocz¡tkowych wyrazów gdy: (a) a3 = 54, a6 = 2, Zadanie 6 (a) f (x) = (b) oraz S7 = 127 16 . 0.313131 . . .. Rozwi¡za¢ równanie Zadanie 8. a) q = 21 Wykorzystuj¡c wzór na sum¦ szeregu geometrycznego zamieni¢ na uªamek zwykªy 1.888 . . . , Zadanie 7 (b) iloraz √ x2 − x3 + x4 − · · · = 12 . Wyznaczy¢ dziedzin¦ i zbiór warto±ci nast¦puj¡cych funkcji: 16 − x2 , Zadanie 9 b) f (x) = √ 1 2 x + 2x + 5 Poda¢ wzory funkcji zªo»onych c) f (x) = f (x) = x − 1, g = 3x + 2, Zadanie 10 a) a) e) f (x) = f (x) = x2 , g(x) = √ x, c) x2 − 4 . x+2 oraz okre±li¢ dziedziny tych f (x) = |x|, g(x) = √ x + 1. Znale¹¢ funkcje odwrotne do podanych funkcji: x+1 f (x) = x−1 Zadanie 11 b) d) f ◦ f, f ◦ g, g ◦ f, g ◦ g funkcji: a) x−1 x+1 b) f (x) = 5 − √ 3 x + 1, c) f (x) = 3x+1 , d) f (x) = x2 + 2x + 2 dla Narysowa¢ wykresy funkcji: f (x) = |6 − 2x|, b) f (x) = |x + 1| + |x − 1|, c) f (x) = x2 − 2|x| + 1, d) f (x) = f (x) = 2|x−1| . √ x ≥ −1. x2 − 6x + 9 + |x|, 2 Zadanie 12 Korzystaj¡c z geometrycznej interpretacji warto±ci bezwzgl¦dnej zaznaczy¢ na osi liczbowej zbiory punktów speªniaj¡cych podany ni»ej warunek. Znale¹¢ rozwi¡zanie równania lub nierówno±ci: a) |x + 2| = 2, Zadanie 13 b) |3x − 2| > 1, c) |x − 2| = |3 − x|, d) |x + 2| > |x − 1|, e) |x + 1| + |x − 2| = 3. Korzystaj¡c z geometrycznej interpretacji warto±ci bezwzgl¦dnej zapisa¢ podane zbiory √ | · |. √ √ a) {2, 16}, b) {1 + 3, 3 + 3}, c) 0 ≤ x ≤ 4 3, √ √ e) x ∈ (−∞, − 3] ∪ [4 + 3, ∞). punktów przy pomocy symbolu Zadanie 14 a) |x| + √ d) x ∈ (−∞, 2) ∪ (8, ∞), Rozwi¡za¢ równania lub nierówno±ci: 2 = |x + √ 2|, b) |x + 1| + |x − 2| = 5, c) |x − 2| < x, d) |1 − 2x| − |x + 3| > x + 4. Jerzy Legut x = 2. Zad 2. a) a = −1, r = 2, S20 = 360, b) a1 = 4, r = 2, S20 = 460 lub a1 = 8, r = −2, S20 = −220. Zad 3. S300 = 165150. Zad 4. 17 31 . Zad 6. a) 9 , b) 99 . Zad 7. 5, 10, 20, 40. Zad 5. a) a1 = 486, q = 31 , S5 = 726, b) a1 = 4, S5 = 31 4 √ x = − 12 . Zad 10. d) f −1 (x) = −1 + x − 1, dla x ≥ 1. Odpowiedzi do wybranych zada«. Zad. 1.