ANALIZA -Ir. informatyki LISTA ZADAŃ nr 2

ANALIZA MATEMATYCZNA - Ir. Informatyki
LISTA ZADAŃ nr 2. LICZBY ZESPOLONE
1. Znaleźć potęgi naturalne liczby i, czyli wyznaczyć liczby zespolone postaci i dla wszystkich
liczb naturalnych n.
2. Dla danych liczb zespolonych z,w wyznaczyć: Re(z+w), Im(z+w), Re(zw), Im(zw), w
zależności od Re(z), Im(z), Re(w) oraz Im(w).
3. Wyznaczyć Re(1/z) w zależności od Re(z) i Im(z).
4. Udowodnić następujące własności sprzężenia liczb zespolonych:
n
(1) z  z ; (2) z  w  z  w ; (3) z  w  z  w ; (4) Re(z) = (z+ z )/2, Im(z) = (z- z )/2i;
5. Znaleźć moduł liczby zespolonej z = -2 - 3i oraz z=1-i.
6. Udowodnić, że dla dowolnych liczb zespolonych z, w mamy następujące własności:
(1) | z| 0 ; (2) | z| 0 wtedy i tylko wtedy gdy z = 0; (3) | z|=| -z| ; (4) | z  w|=| z|  | w| ;
(5) | z  w|| z| -| w|
7. Podać interpretację geometryczną sprzężenia liczb zespolonych oraz liczby zespolonej 0.
8. Wyznaczyć geometrycznie (na płaszczyźnie) zbiór {z C: | z - 1|= 1}
9. Narysować na płaszczyźnie zbiór liczb zespolonych z spełniających równość | z + 4 - 2i|= 3
10. Udowodnić, że w przedziale [0,2 ) znajduje się dokładnie jedna liczba postaci
gdzie k jest liczbą całkowitą.
(wskazówka: przedział ma długość 2
 + 2k  ,
 , a kolejne dwie takie liczby są odległe od siebie też o 2  )
11. Wyznaczyć postać trygonometryczną następujących liczb zespolonych: -6+6i, 2i, 1+i,
12. Wyznaczyć postać trygonometryczną liczb zespolonych o module 1.
1  i  sin1 ) oraz z 2  r2(cos  2  i  sin 2 ) jest
13. Udowodnić, że dla z 1  r(cos
1
z 1  z 2  r1  r2(cos(
3 +i.
 1   2 )  i  sin(  1 +  2 ))
14. Podać interpretację geometryczną mnożenia liczb zespolonych.
15. Udowodnić, że dla każdej liczby zespolonej z różnej od 0 istnieje liczba zespolona w do niej
odwrotna, to znaczy taka że zw=1
16. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n i dowolnej liczby zespolonej z, o postaci
n
n
trygonometrycznej z = r· (cos  +i· sin  ) mamy wzór: z = r · (cos(n ·  ) + i· sin(n ·  ))
17. Wyznaczyć wszystkie różne pierwiastki stopnia 3 oraz stopnia 4 z liczby 1 oraz z liczby -1.
(w postaci trygonometrycznej oraz zwykłej algebraicznej). Podać ich położenie na płaszczyźnie
(interpretację geometryczną).
18. Wyznaczyć wszystkie różne pierwiastki stopnia 3 oraz stopnia 4 z liczby 1+i oraz z liczby 22i. (w postaci trygonometrycznej oraz zwykłej algebraicznej). Podać ich położenie na
płaszczyźnie (interpretację geometryczną).
19. Niech  1,  2 ,...,  n będą różnymi pierwiastkami stopnia n z liczby 1. Ile wynosi suma
 1 +  2 + ... +  n ? A jaka jest suma wszystkich n różnych pierwiastków stopnia n z liczby i?
20. Uzasadnić, że geometrycznie nierówność | z  w|| z| +| w| jest nierównością trójkąta.
21. Udowodnić tożsamość | z  w|  | z  w| 2 | z| +2| w| .
22. Niech a,b,c będą dowolnymi liczbami zespolonymi, i niech d będzie jedną z liczb
2
2
zespolonych spełniających równość d  b  4ac . Udowodnić, że pierwiastki zespolone
2
2
równania az  bz  c  0 są postaci z 1,2 
2
2
2
b  d
2a
Janusz Wysoczański