POMIARY MOCY (OBWODY JEDNO- I TRÓJFAZOWE). POMIARY

POMIARY MOCY (OBWODY JEDNO- I TRÓJFAZOWE). POMIARY PRĄDÓW I
NAPIĘĆ W OBWODACH TRÓJFAZOWYCH
MATERIALY POMOCNICZE
1. Pomiary mocy w obwodzie jednofazowym RL.
W obwodach prądu stałego moc określamy jako iloczyn napięcia i prądu stałego, wobec
czego również moc prądu stałego jest niezmienna w czasie. W przypadku prądu zmiennego
iloczyn wartości chwilowych napięcia i prądu jako iloczyn wielkości zmiennych w czasie
ogólnie biorąc będzie funkcją czasu i nosi nazwę mocy chwilowej.
Przy przebiegach okresowych interesuje nas zazwyczaj wartość średnia mocy chwilowej za
okres, którą nazywamy mocą czynną i oznaczamy P:
𝑃 = 𝑈𝐼𝑐𝑜𝑠𝜑
(1)
Moc czynna równa jest iloczynowi wartości skutecznych napięcia i prądu oraz współczynnika
mocy 𝑐𝑜𝑠𝜑.
W obwodach elektrycznych prądu przemiennego oprócz mocy czynnej występuje także moc
bierna będąca iloczynem wartości skutecznych napięcia i prądu oraz sinusa kąta przesunięcia
fazowego między prądem i napięciem.
𝑄 = 𝑈𝐼𝑠𝑖𝑛𝜑
(2)
Moc bierną mierzymy w warach (var).
Iloczyn wartości skutecznych napięcia i prądu sinusoidalnego nazywamy mocą pozorną i
oznaczmy S:
𝑆 = 𝑈𝐼
(3)
Jednostką mocy pozornej jest woltoamper (VA).
Moce P,Q,S można przedstawić w postaci trójkąta mocy (rys.1). Wynika z niego, że
𝑐𝑜𝑠𝜑 =
𝑃
(4)
𝑆
2. Pomiary prądów, napięć i mocy w obwodach trójfazowych
Obwody trójfazowe
W układach trójfazowych występują trzy przebiegi sinusoidalnie zmienne przesunięte
względem siebie o kąt 120°. Przebiegi te można zapisać następująco:
𝑢1 (𝑡) = 𝑈𝑚 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡
(5)
2
𝑢2 (𝑡) = 𝑈𝑚 𝑠𝑖𝑛 (𝜔𝑡 − 3 𝜋)
(6)
2
𝑢3 (𝑡) = 𝑈𝑚 𝑠𝑖𝑛 (𝜔𝑡 + 3 𝜋)
(7)
Na rysunku 2 przedstawiono sposoby skojarzenia odbiorników w układach trójfazowych.
I1
a)
U1f
U3f
U12
U2f
I1
I1f
L1
I2f
U12
U31
I2
I2
U23
I3
b)
L1
L2
L3
I3f
U23
I3
U31
L2
L3
Rys. 2. Sposoby skojarzenia odbiornika w układach trójfazowych: a) połączenie w gwiazdę, b)
połączenie w trójkąt
Strona 1 z 4
W przypadku połączenia w gwiazdę (rys.2a) końce poszczególnych faz są zwarte, tworząc
tzw. punkt zerowy, a początki faz są wolne. Między początkami faz występują napięcia
międzyprzewodowe 𝑈12 , 𝑈23 , 𝑈31 . Wynikają one z różnic geometrycznych poszczególnych
napięć fazowych:
𝑈12 = 𝑈1𝑓 − 𝑈2𝑓
(8)
𝑈23 = 𝑈2𝑓 − 𝑈3𝑓
(9)
𝑈31 = 𝑈3𝑓 − 𝑈1𝑓
(10)
Skuteczne wartości napięć międzyprzewodowych obliczmy następująco:
𝑈12 = √3𝑈1𝑓
(11)
𝑈23 = √3𝑈2𝑓
(12)
𝑈31 = √3𝑈3𝑓
(13)
Widać zatem, że skuteczna wartość napięcia międzyprzewodowego U jest związana ze
skuteczną wartością napięcia fazowego Uf zależnością:
𝑈 = √3𝑈𝑓
(14)
Przy połączeniu w gwiazdę prądy w przewodach doprowadzających, tzw. prądy przewodowe
I, są równe prądom płynącym w poszczególnych fazach If. Zatem dla układu gwiazdowego
(Y) podstawowe zależności można dla wartości skutecznych napisać następująco:
𝑈 = √3𝑈𝑓 ; 𝐼 = 𝐼𝑓
(15)
W przypadku połączenia w trójkąt końce i początki kolejnych faz są ze sobą połączone (rys.
2b). Napięcia międzyprzewodowe U są w tym układzie równe napięciom fazowym Uf:
𝑈 = 𝑈𝑓
(16)
Zespolone prądy przewodowe stanowią różnicę geometryczną prądów poszczególnych faz.
Zatem:
𝐼1 = 𝐼1𝑓 − 𝐼2𝑓
(17)
𝐼2 = 𝐼2𝑓 − 𝐼3𝑓
(18)
𝐼3 = 𝐼3𝑓 − 𝐼1𝑓
Skuteczne wartości prądów przewodowych obliczmy następująco:
(19)
𝐼1 = √3𝐼1𝑓
(20)
𝐼2 = √3𝐼2𝑓
(21)
𝐼3 = √3𝐼3𝑓
(22)
Wartość skuteczna prądu przewodowego I jest powiązana z wartością skuteczną prądu
fazowego If zależnością:
𝐼 = √3𝐼𝑓
(23)
Zatem dla układu trójkątnego (D) zawiązki podstawowe można zapisać następująco:
𝑈 = 𝑈𝑓 ; 𝐼 = √3𝐼𝑓
(24)
Na rysunku 3 pokazano wykresy wektorowe dla układu połączonego w gwiazdę i trójkąt.
Strona 2 z 4
a)
+
b)
U12
U1f -U3f
-U2f
I2
+j I3f
U2f
-U1f
U31
-I3f
I1f
-I2f
U23
+j U3f
I1
+
I2f
-I1f
I3
Rys. 3. Wykresy wektorowe: a) napięć przy połączeniu w gwiazdę, b) prądów przy połączeniu
w trójkąt.
Pomiar mocy w obwodach trójfazowych
W przypadku sieci trójfazowej symetrycznej wystarczy dokonać pomiaru mocy w jednej fazie
(rys. 4), a następnie wynik pomiaru pomnożyć razy 3 zgodnie z podanym związkiem:
𝑃 = 3𝑈𝑓 𝐼𝑓 𝑐𝑜𝑠𝜑
(25)
czyli
𝑃 = 3𝑃𝑊
gdzie: P - moc czynna w sieci trójfazowej,
PW - moc czynna wskazana przez watomierz,
Uf - napięcie fazowe,
If - prąd fazowy,
cosφ - współczynnik mocy odbiornika.
a)
(26)
b)
L1
W
L2
L3
U1f
If
c)
L1
W
If
Z
L2
Z
L3
Z
N
L1
N
W
If
L2
L3
U1f
R R
R
N
Rys. 4. Pomiary mocy czynnej w sieci trójfazowej symetrycznej: a) 4-przewodowej, b) 3przewodowej z dostępnym punktem zerowym, c) 3-przewodowej bez dostępu punktu zerowego.
Wybór sposobu pomiaru zależy bezpośrednio od rodzaju sieci (sieć 3-przeweodowa, sieć 4przewodowa). Najwięcej kłopotów sprawia pomiar w sieci 3-przewodowej bez dostępnego
punktu zerowego. W takim przypadku można dokonać pomiaru, tworząc tzw. punkt zerowy
(rys. 4c) przez dołączenie do poszczególnych faz trzech jednakowych rezystancji połączonych
w gwiazdę.
Przy jakiejkolwiek niesymetrii w sieci trójfazowej (najczęściej poprzez niesymetryczny
odbiornik) pomiary mocy czynnej należy przeprowadzić z użyciem trzech lub dwóch
watomierzy. Metodę trzech watomierzy można zastosować wtedy, gdy dostępny jest przewód
zerowy lub punkt zerowy (rys. 5a) lub gdy w sieci 3-przewodowej można utworzyć sztuczny
punkt zerowy (rys.5b). Całkowita moc czynna wynosi:
𝑃 = 𝑃𝑊1 + 𝑃𝑊2 + 𝑃𝑊3
(27)
gdzie: PW1, PW2, PW3 - wskazania watomierzy
Strona 3 z 4
b)
L1
L2
L1
W
W
L2
W
L3
W
L3
W
W
N
N
Rys.5. Pomiary mocy czynnej: a) w sieci niesymetrycznej z dostępnym przewodem lub
punktem zerowym, b) w sieci 3-przewodowej ze sztucznym zerem.
W sieci 3-przewodowej niesymetrycznej najbardziej uzasadniony jest tzw. układ Arona,
złożony z dwóch watomierzy (rys.6). Realizacja układu Arona polega na tym, że cewki
prądowe oraz początki cewek napięciowych włącza się w dwie dowolne fazy, a końce cewek
napięciowych przyłącza się do fazy pozostałej. Całkowita moc czynna wynosi:
𝑃 = 𝑃𝑊1 + 𝑃𝑊2
(27)
gdzie: PW1, PW2 - wskazania watomierzy
L1
W
L2
L3
W
Rys. 6. Układ Arona do pomiaru mocy czynnej w sieci 3-przewodowej.
Strona 4 z 4