Kurs e-learningowy matematyka Opracowanie: Piotr Kaźmierczyk 13.Rozwiązywanie równań i nierówności kwadratowych. I. Przypomnij sobie: 1. Co to jest równanie /nierówność kwadratowa? Równanie postaci ax2+bx+c = 0, gdzie a0 i a,b,cR nazywamy równaniem kwadratowym. Jeżeli a0, to każdą z nierówności postaci: ax2+bx+c > 0, ax2+bx+c 0, ax2+bx+c < 0 i ax2+bx+c 0 nazywamy nierównością kwadratową z jedną niewiadomą. 2. Jak obliczamy pierwiastki równania kwadratowego? a. zupełnego (gdy a b c 0 , czyli żadna z liczb: a, b, c nie jest zerem): obliczamy wyróżnik równania b 2 4ac b jeżeli 0 , to równanie ma dwa różne pierwiastki: x1 2a b oraz x2 , 2a jeżeli 0 , to równanie ma jeden tzw. podwójny pierwiastek: b x1 x2 2a jeżeli 0 , to równanie nie ma pierwiastków; b. niezupełnego postaci: ax 2 0 jedno rozwiązanie x 0 , b ax 2 bx 0 dwa rozwiązania: x 0 oraz x , a 2 ax c 0 - jeśli a c 0 , to brak rozwiązań, c c - jeśli a c 0 , to x1 oraz x2 . a a 3. W jaki sposób szukamy rozwiązań nierówności kwadratowej? a. w pierwszej fazie postępujemy jak przy obliczaniu pierwiastków równania kwadratowego (musimy znaleźć pierwiastki), b. następnie rysujemy szkic wykresu pamiętając o tym, że: dla a 0 ramiona paraboli skierowane są do góry, natomiast dla a 0 - do dołu, liczba pierwiastków zależy od wartości , c. odczytujemy rozwiązanie z wykresu: Kurs e-learningowy matematyka Opracowanie: Piotr Kaźmierczyk a0 +++0-----0++x ++++0+++x 0 a0 ---0++++0-x II. +++++++ x 0 0 -----0----- ---------x x przy nierówności typu ax2+bx+c > 0 ( ax2+bx+c 0 ) interesuje nas, dla jakich wartości x wykres znajduje się nad (nad lub na ) osi OX, przy nierówności typu ax2+bx+c < 0 ( ax2+bx+c 0 ) interesuje nas, dla jakich wartości x wykres znajduje się pod (pod lub na ) osią OX. Zobaczmy, jak możemy wykorzystać to w konkretnych przykładach (z uwzględnieniem czasami nieco innej strategii rozwiązywania zadań zamkniętych i otwartych). Przykład Równanie x 2 4 x c 0 nie ma pierwiastków, gdy: A. c 4 , B. c ; 4 , C. c 4; , D. c 4; . Rozwiązanie: Pamiętając, że równanie kwadratowe nie ma pierwiastków, gdy 0 obliczamy: 2 b 2 4ac 4 4 1 c 16 4c 0 16 4c 0 4c 16 / : 4 c 4 , czyli c 4; . Odpowiedź D. Przykład Do zbioru rozwiązań nierówności x 2 4 nie należy liczba: A. 2 , Rozwiązanie: B. 3, C. 5 , D. 1 2 . Kurs e-learningowy matematyka Opracowanie: Piotr Kaźmierczyk Łatwo sprawdzić, że : ( 2 ) 2 2 4 ; ( 3 ) 2 3 4 ; ( 5 ) 2 5 4 , czyli liczba 5 nie należy do zbioru rozwiązań nierówności x 2 4 . Trochę trudniej byłoby sprawdzić przez podstawienie, czy liczba 1 2 należy do zbioru rozwiązań podanej nierówności, ale nie musimy tego robić gdyż znaleźliśmy tę liczbę, która spełnia podany warunek. Wybieramy odpowiedź C. Można też, oczywiście, rozwiązać nierówność i sprawdzić po kolei, która z podanych liczb należy do zbioru jej rozwiązań: x 2 4 x 2 4 0 x 2 22 0 x 2x 2 0 , czyli mamy dwa pierwiastki: 2 i –2. Rysujemy: -2 2 ++++++--------++++ x Nierówność jest spełniona dla x 2;2 . Do tego przedziału nie należy, naturalnie, liczba 5 <-2. Pozostałe liczby należą do tego przedziału, bo 5 2 2 1 2 3 2 . Odpowiedź C Przykład Rozwiązaniem nierówności x 2 c 0 jest każda liczba rzeczywista x , gdy: A. c 0 , B. c ;0 , C. c 0; , D. c ; . Rozwiązanie: Ponieważ mamy do czynienia z nierównością typu ax2+bx+c > 0, gdzie a =1>0, to jej rozwiązaniem jest każda liczba x w przypadku przedstawionym na rysunku: Czyli wtedy, gdy 0 . Obliczamy: b 2 4ac 02 4 1 c 4c 0 4c 0 / : 4 c 0 Wybieramy odpowiedź C. +++++++++++ x Przykład Gdy n jest liczbą naturalną dodatnią, to rozwiązaniami nierówności n 2 n 6 0 są wszystkie liczby należące do zbioru: Kurs e-learningowy matematyka Opracowanie: Piotr Kaźmierczyk A. 1,0,1,2, B. 0,1,2,3, C. 1,2, D. 1,2,3. Rozwiązanie: Sposób 1: Ponieważ liczby –1 i 0 nie są liczbami naturalnymi dodatnimi, to odpowiedzi A i B odpadają natychmiast. Odpowiedzi C i D różnią się tylko tym, że w D mamy dodatkowo liczbę 3. Wystarczy sprawdzić, czy liczba ta wstawiona za n zamienia naszą nierówność w zdanie prawdziwe. Sprawdzamy: 32 3 6 9 3 6 0 . Nie jest prawdą, że 0 <0, więc 3 nie należy do zbioru rozwiązań nierówności n 2 n 6 0 . Odpowiedź D nie jest prawdziwa. Wybieramy odpowiedź C. Sposób 2: Rozwiązujemy nierówność: 2 b 2 4ac 1 4 1 6 1 24 25 25 5 b 1 5 1 5 4 2 2a 2 1 2 2 b 1 5 1 5 6 n2 3 2a 2 1 2 2 n1 -2 3 Zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział (-2;3). Wybierając z niego liczby naturalne dodatnie otrzymujemy zbiór 1,2. Prawidłowa odpowiedź to C. ZADANIA DO ROZWIĄZANIA Zadanie 1. (1 pkt) Większą z dwóch liczb spełniających równanie x 2 5 x 6 0 jest liczba: A. –6, B. –3, C. –2, D. –1. Zadanie 2. (1 pkt) Liczbą całkowitą, spełniającą nierówność x 2 x 20 może być: A. 5, Zadanie 3. (1 pkt) B. -1, C. 0, D. 1. n Kurs e-learningowy matematyka Opracowanie: Piotr Kaźmierczyk Przedział (-12;5) jest zbiorem rozwiązań nierówności kwadratowej: A. x 2x 5 0 , B. x 2x 5 0 , C. x 2x 5 0 , D. x 12x 5 0 . Zadanie 4. (1 pkt) Do zbioru rozwiązań nierówności x 3 A. nie należą liczby całkowite, C. należą dwie liczby całkowite, 5x 0 : B. należy jedna liczba całkowita, D. należą trzy liczby całkowite. Zadanie 5. (1 pkt) Rozwiązaniem nierówności x 15 0 jest liczba: 2 A. 15, B. -5, C. 0, D. 25.