1 Lista 5 1. Niech A = {1, 2, 3}, B = {n ∈ N : n jest parzyste}, C = {n

logika pragmatyczna sem. zimowy 2016/2017, lista 5
1
Lista 5
1. Niech A = {1, 2, 3}, B = {n ∈ N : n jest parzyste}, C = {n ∈ N : n jest nieparzyste}.
(a) Wyznacz zbiory A ∩ B, B ∩ C, B ∪ C i B ⊕ C
(b) Wypisz wszystkie podzbiory zbioru A
(c) Które ze zbiorów A ⊕ B, A ⊕ C, A \ C, C \ A są nieskończone?
2. Niech zbiór liczb rzeczywistych R będzie zbiorem uniwersalnym. Wyznacz zbiory: [0, 3]∩[2, 6],
[0, 3] ∪ [2, 6], [0, 3] \ [2, 6], [0, 3] ⊕ [2, 6], [0, 3], [0, 3] ∩ ∅.
3. Niech A = {x ∈ R : |x| ≥ 5}, B = {x ∈ R : −6 ≤ x < 0}. Przedstaw graficznie zbiory
A ∪ B, A ∩ B, A, A \ B, B \ A.
4. Udowodnij następujące prawa dla dowolnych zbiorów A, B, C:
(a) A ∩ B ⊆ A
(c) A = (A ∩ B) ∪ (A \ B)
(e) (A ⊆ B ∧ A ⊆ C) → (A ⊆ B ∩ C)
(g) (A ∪ B) = A ∩ B
(b) A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ C
(d) (A ∪ B ⊆ A ∩ B) → (A = B)
(f) (A ⊆ B) ≡ (B ⊆ A)
(h) (A ⊆ B) ≡ (A ∪ B = B).
5. Zbadaj, które rozumowania są poprawne (zapisz odpowiednie zdania i posłuż się diagramami
Venna):
• Nie każdy sławny aktor jest dobrym aktorem. Każdy dobry aktor jest artystą. Zatem
nie każdy sławny aktor jest artystą.
• Żaden młody człowiek nie jest człowiekiem doświadczonym. Każdy człowiek doświadczony jest realistą. Zatem żaden młody człowiek nie jest realistą.
• Nie każde kłamstwo jest złem. Każde oszustwo jest złem. Zatem nie każde kłamstwo
jest oszustwem.
6. Niech A = {a, b, c} i B = {a, b, d}. Wypisz zbiory A×A, A×B, C = {(x, y) ∈ A×B : x = y}.
7. Czemu jest równy iloczyn kartezjański A × B jeżeli:
(a) A = [0, 1], B = [−1, 0] (b) A = [−1, 1], B = {1}
(c) A = [0, 1] ∪ [3, 4], B = [1, 2] ∪ [3, 4]
8. Udowodnij następujące równości:
(a) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)
(b) A × (B \ C) = (A × B) \ (A × C)
9. Dla podanych relacji w zbiorze S = {0, 1, 2, 3}, określ które z własności: zwrotność, przeciwzwrotność, symetryczność, przeciwsymetryczność, antysymetryczność, przechodniość, spójność spełniają te relacje:
(a) mR1 n jeżeli m + n = 3
(c) mR3 n jeżeli m ≤ n
(e) mR5 n jeżeli max{m, n} = 3
(b) mR2 n jeżeli m − n jest parzyste
(d) mR4 n jeżeli m + n ≤ 4
10. W zbiorze liczb naturalnych określone są dwie relacje: mR1 n jeżeli m dzieli n i mR2 n jeżeli
min{m, n} = 2. Które z własności: zwrotność, przeciwzwrotność, symetryczność, przeciwsymetryczność, antysymetryczność, przechodniość, spójność spełniają te relacje?