Matura 2017 PP III stereometria

I.
Zadania powtórzeniowe
stereometria (poziom podstawowy)
1. (1pkt) Pole powierzchni sześcianu jest równe 24dm2. Długość przekątnej tego
sześcianu wynosi:
A. 2 2 dm
B. 2 3 dm
C. 4 2 dm
D. 4 3 dm
2. (1pkt) Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 2. Ściana
1
boczna ostrosłupa tworzy z podstawą kąt α, taki, że tg   . Pole podstawy
3
ostrosłupa jest równe:
16
A.
B. 72
C. 36
D. 144
9
3. (1pkt) Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o wszystkich krawędziach równych 12.
Wysokość tego ostrosłupa jest równa:
5 33
C. 8 3
D. 4 5
6
4. (1pkt) Na wykonanie szkieletu modelu czworościanu foremnego zużyto w całości
kawałek drutu o długości 24 cm. Krawędź czworościanu ma długość:
A. 3 cm
B. 4 cm
C. 6 cm
D. 8 cm
A. 4 6
B.
5. (1pkt) Szklanka o średnicy podstawy 8 cm i wysokości 10 cm napełniona jest w 60%
wodą. Przyjmijmy, że  = 3. Objętość wody znajdującej się w szklance jest równa:
A. 480 cm3
B. 288 cm3
C. 144 cm3
D. 384 cm3
6. (1pkt) Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu jest kwadratem o polu 4  .
Objętość tego walca jest równa:
2
A. 2  2
B. 4  3
C. 8 
D. 8  3
7. (1pkt) Przekrój osiowy walca jest kwadratem o polu 36 cm2. Pole powierzchni
bocznej walca jest zatem równe:
A. 54 cm2
B. 36 cm2 C. 72 cm2 D. 16 cm2
8. (1pkt) Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu jest prostokątem, którego boki
mają długość 6 i 8. Promień podstawy walca ma długość:
4
3
4
A. 3
B. 3 lub 4
C.
D. lub



9. (1pkt) Jeśli tworząca stożka tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 30  , a średnica tej
podstawy ma długość 10 3 , to
A. P=25  (3 + 2 3 ) , V = 125 
B. P=25  (1 +
C. P=25  (3 + 2 3 ) , V = 375 
D. P=25  (1 +
3
), V = 375 
3
3
), V = 125 
3
10. (1pkt) Najdłuższy odcinek, który może być zawarty w pewnej kuli ma długość 12.
Objętość tej kuli jest równa:
A. 144 B. 2304
C. 288
D. 216
11. (1pkt) W sześcianie o wysokości 2 dm umieszczono kulę największą z możliwych.
Pole powierzchni tej kuli jest równe:
A.  dm2 B. 32 dm2 C. 16 dm2 D. 4 dm2
12. (1pkt) Z uszkodzonego balonu w kształcie kuli uchodzi powietrze. W wyniku
uszkodzenia kuli, jej promień zmniejszył się o połowę. Pole powierzchni balonu
zmniejszyło się zatem:
1
A. 8 razy B. 4 razy
C. 2 razy
D. razy
8
13. (2pkt) Oblicz miarę kąta między przekątnymi sąsiednich ścian bocznych sześcianu
wychodzącymi z jednego wierzchołka.
14. (2pkt) Wyznacz objętość i pole całkowite sześcianu, którego przekątna ma długość 9
cm.
15. (2pkt) Przekątna prostopadłościanu jest nachylona do płaszczyzny podstawy,
będącej kwadratem o boku 2, pod kątem 45  . Oblicz objętość tego
prostopadłościanu.
16. (2pkt) Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma
długość równą 6cm i tworzy z krawędzią podstawy kąt 60  . Oblicz pole powierzchni
bocznej tego graniastosłupa.
17. (2pkt) Podstawą graniastosłupa prostego jest romb, którego jedna przekątna jest
dwa razy dłuższa od drugiej, a pole rombu wynosi 16. Oblicz długość krótszej
przekątnej tego graniastosłupa, jeśli jego wysokość jest równa 2.
18. (2pkt) Tekturowe pudełko ma kształt graniastosłupa prawidłowego trójkątnego.
Na podstawy pudełka zużyto 50 3 cm2 tektury, a na powierzchnię boczną 330 cm2.
Oblicz objętość tego pudełka.
19. (2pkt) Kielich ma kształt ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym
wysokość jest równa 9 cm i tworzy z krawędzią boczną kąt o mierze 45o .
Oblicz ile soku zmieści się w tym kielichu.
20. (2pkt) Wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 6, a kąt
nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi 60  . Oblicz wysokość
podstawy tego ostrosłupa.
21. (2pkt) Promień podstawy walca wynosi 2, a jego pole powierzchni całkowitej 20  .
Wyznacz długość wysokości tego walca.
22. (2pkt) Czy sok z dwóch butelek o pojemności 250ml zmieści się w szklance kształcie
walca o promieniu podstawy 4 cmi wysokości 10cm?
23. (2pkt) Półkole o średnicy 2 2 cm obracamy dookoła tej średnicy. Wykaż, że pole
powierzchni otrzymanej bryły wyraża się liczbą niewymierną.
24. (2pkt) Wyznacz pole powierzchni i objętość kuli wpisanej w sześcian o objętości 216
cm3.
25. (2pkt) Duży arbuz w kształcie kuli o promieniu r kosztuje 8 zł. Jaka powinna być
cena małego arbuza, mającego kształt kuli o promieniu 0,5r?
26. (2pkt) Stożek przecięto płaszczyzna równoległą do płaszczyzny podstawy
i przecinającą wysokość stożka w połowie. Jaki jest stosunek objętości powstałych po
rozcięciu brył?
27. (2pkt) Rozwinięcie powierzchni stożka jest półkolem o promieniu 10cm. Oblicz pole
podstawy tego stożka.
28. (2pkt) Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o wysokości 6. Oblicz
pole powierzchni całkowitej stożka.
29. (2pkt) Kąt rozwarcia stożka ma miarę 60  , a średnica podstawy jest równa 4. Oblicz
pole powierzchni bocznej stożka.
30. (2pkt) Pole powierzchni bocznej stożka jest równe 136  , a pole podstawy 64  .
Oblicz objętość stożka.
31. (3pkt) Krawędź sześcianu jest o 2 krótsza od przekątnej sześcianu. Oblicz długość
krawędzi tego sześcianu.
32. (3pkt) Przekątne przekroju osiowego walca o długości 20 cm przecinają się pod
kątem 1200. Oblicz pole powierzchni bocznej walca.
33. (4pkt) Długości krawędzi prostopadłościanu są trzema kolejnymi liczbami
naturalnymi. Długość przekątnej prostopadłościanu jest równa
a) objętość prostopadłościanu
b) pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu
29 cm. Oblicz:
34. (4pkt) Oblicz pole papierowego wycinka koła, z którego wykonano torebkę w
kształcie stożka mającego wysokość czterokrotnie większą od promienia podstawy.
W torebce ma się zmieścić 500 cm3 cukru. Pomiń pole ewentualnych zakładek.
Przyjmij  = 3.
35. (4pkt) Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 100cm2,
a jego pole powierzchni bocznej jest równe 260 cm2. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
36. (4pkt) Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, którego wszystkie krawędzie
są równej długości. Oblicz tangens kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny
podstawy oraz sinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.
37. (4pkt) Oblicz pole powierzchni czworościanu foremnego, którego wysokość jest
równa 5.
38. (4pkt) Przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym. Objętość stożka wynosi
216  . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego stożka.
39. (4pkt) Naczynie w kształcie walca o średnicy podstawy równej 18cm i wysokości
16cm napełniono w trzech czwartych wodą. Następnie włożono sześcienną kostkę o
krawędzi długości 10cm. Sprawdź, czy woda wylała się z naczynia. W obliczeniach
przyjmij  =3,14.
40. (5pkt) Podstawą ostrosłupa jest prostokąt, w którym stosunek długości boków
wynosi 3:4. Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa maja jednakową długość, równą
długości dłuższego boku prostokąta będącego podstawą. Oblicz cosinus kąta
nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do jego podstawy.
41. (5pkt) Sinus kąta nachylenia przekątnej graniastosłupa do jego ściany bocznej jest
2
równy . Oblicz objętość tego graniastosłupa, jeśli jego podstawą jest kwadrat o
3
boku 4.
42. (5pkt) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt między jego wysokością a
ścianą boczną ma miarę 45  . Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi ostrosłupa,
jeżeli jego objętość jest równa 4,5.
II .
Zadania z arkuszy maturalnych 2013-2016
Zad. 1. (1pkt) (CKE, przykładowy arkusz, XII 2013) Rysunek przedstawia ostrosłup
prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆.
Kątem między krawędzią 𝐶𝑆 a płaszczyzną podstawy tego ostrosłupa jest kąt
A. 𝐷𝐶𝑆
B. 𝐴𝐶𝑆
C. 𝑂𝑆𝐶
D. 𝑆𝐶𝐵
Zad. 2. (1pkt) (CKE, przykładowy arkusz, XII 2013) Tworząca stożka ma długość 𝑙, a
promień jego podstawy jest równy 𝑟 (zobacz rysunek).
Powierzchnia boczna tego stożka jest 2 razy większa od pola jego podstawy. Wówczas
1
1
1
1
A. 𝑟 = 6 𝑙
B. 𝑟 = 4 𝑙
C. 𝑟 = 3 𝑙
D. 𝑟 = 2 𝑙
Zad. 3. (1pkt) (CKE, matura, V 2014) Jeżeli ostrosłup ma 10 krawędzi, to liczba ścian
bocznych jest równa
A. 5
B. 7
C. 8
D. 10
Zad. 4. (1pkt) (CKE, matura, V 2014) Stożek i walec mają takie same podstawy i równe
pola powierzchni bocznych. Wtedy tworząca stożka jest
A. sześć razy dłuższa od wysokości walca
B. trzy razy dłuższa od wysokości walca
C. dwa razy dłuższa od wysokości walca
D. równa wysokości walca
Zad. 5. (1pkt) (CKE, matura, VI 2014) W sześcianie 𝐸𝐹𝐺𝐻𝐼𝐽𝐾𝐿 poprowadzono z
wierzchołka 𝐹 dwie przekątne sąsiednich ścian, 𝐹𝐼 oraz 𝐹𝐾 (zobacz rysunek). Miara kąta 𝐼𝐹𝐾
jest równa:
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
Zad. 6. (1pkt) (CKE, matura, VI 2014) Objętość walca o promieniu podstawy 4 jest równa
96𝜋. Pole powierzchni bocznej tego walca jest równe:
A. 16𝜋
B. 24𝜋
C. 32𝜋
D. 48𝜋
Zad. 7. (1pkt) (CKE, matura, VI 2014) Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego
jest równa 432, a krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość 12. Wysokość tego
ostrosłupa jest równa:
A. 3
B. 9
C. 27
D. 108
Zad. 8. (1pkt) (CKE, matura, VIII 2014) Pole powierzchni całkowitej walca, którego
przekrojem osiowym jest kwadrat o boku długości 4, jest równe
A. 256𝜋
B. 128𝜋
C. 48𝜋
D. 24𝜋
Zad. 9. (1pkt) (CKE, matura, VIII 2014) Ostrosłup i graniastosłup mają równe pola
podstaw i równe wysokości. Objętość ostrosłupa jest równa 81√3. Objętość graniastosłupa
jest równa
A. 27
C. 27√3
C. 243
D. 243√3
Zad. 10. (1pkt) (CKE, matura próbna, XII 2014) Z sześcianu 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 o krawędzi
długości 𝑎 odcięto ostrosłup 𝐴𝐵𝐷𝐸 (zobacz rysunek).
Ile razy objętość tego ostrosłupa jest mniejsza od objętości pozostałej części sześcianu?
A. 2 razy
B. 3 razy
C. 4 razy
D. 5 razy
Zad. 11. (1pkt) (CKE, matura próbna, XII 2014) Na rysunkach poniżej przedstawiono
siatki dwóch ostrosłupów.
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa o krawędzi 𝑎 jest dwa razy większe od pola
powierzchni całkowitej ostrosłupa o krawędzi 𝑏. Ile razy objętość ostrosłupa o krawędzi 𝑎 jest
większa od objętości ostrosłupa o krawędzi 𝑏?
A. √2
B. 2
C. 2√2
D. 4
Zad. 12. (1pkt) (CKE, matura, V 2015) W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym
𝐸𝐹𝐺𝐻𝐼𝐽𝐾𝐿 wierzchołki 𝐸, 𝐺, 𝐿 połączono odcinkami (tak jak na rysunku).
Wskaż kąt między wysokością 𝑂𝐿 trójkąta 𝐸𝐺𝐿 i płaszczyzną podstawy tego graniastosłupa.
A. ∢ 𝐻𝑂𝐿
B. ∢ 𝑂𝐺𝐿
C. ∢ 𝐻𝐿𝑂
D. ∢ 𝑂𝐻𝐿
Zad. 13. (1pkt) (CKE, matura, V 2015) Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt
równoboczny o boku długości 6 . Objętość tego stożka jest równa
A. 27𝜋√3
B. 9𝜋√3
C. 18𝜋
D. 6𝜋
Zad. 14. (1pkt) (CKE, matura, V 2015) Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego
trójkątnego ma długość równą 8 . Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe
A.
82 √3
(2 +
3
3)
B. 82 ∙ √3
C.
82 √6
3
√3
D. 82 ( 2 + 3)
Zad. 15. (1pkt) (CKE, matura, VI 2015) Tworząca stożka o promieniu podstawy 3 ma
długość 6 (zobacz rysunek).
Kąt 𝛼 rozwarcia tego stożka jest równy
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
Zad. 16. (1pkt) (CKE, matura, VI 2015) Graniastosłup o podstawie ośmiokąta ma
dokładnie
A. 16 wierzchołków
B. 9 wierzchołków
C. 16 krawędzi
D. 8 krawędzi
Zad. 17. (1pkt) (CKE, matura, VI 2015) W ostrosłupie czworokątnym, w którym wszystkie
krawędzie mają tę samą długość, kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy
ma miarę
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°
Zad. 18. (1pkt) (CKE, matura, VIII 2015) Przekątna przekroju osiowego walca, którego
promień podstawy jest równy 4 i wysokość jest równa 6, ma długość
A. √10
B. √20
C. √52
D. 10
Zad. 19. (1 pkt) (CKE, matura, VIII 2015) Dany jest trójkąt prostokątny o długościach
boków 𝑎, 𝑏, 𝑐, gdzie 𝑎 < 𝑏 < 𝑐. Obracając ten trójkąt, wokół prostej zawierającej dłuższą
przyprostokątną o kąt 360°, otrzymujemy bryłę, której objętość jest równa
1
1
A. 𝑉 = 3 𝑎2 𝑏𝜋
B. 𝑉 = 𝑎2 𝑏𝜋
C. 𝑉 = 3 𝑏 2 𝑎𝜋
D. 𝑉 = 𝑎2 𝜋 + 𝜋𝑎𝑐
Zad. 20. (1pkt) (CKE, matura, V 2016) Kąt rozwarcia stożka ma miarę 120°, a tworząca
tego stożka ma długość 4. Objętość tego stożka jest równa
A. 36𝜋
B. 18𝜋
C. 24𝜋
D. 8𝜋
Zad. 21. (1pkt) (CKE, matura, V 2016) Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego
czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto
płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy
(patrz rysunek).
Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt 𝛼 o mierze
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°
Zad. 22. (1pkt) (CKE, matura, VI 2016) Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego
𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 jest kwadrat 𝐴𝐵𝐶𝐷 . Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami
równobocznymi. Miara kąta 𝐴𝑆𝐶 jest równa
A. 45°
B. 30°
C. 75°
D. 90°
Zad. 23. (1pkt) (CKE, matura, VIII 2016) Kąt rozwarcia stożka ma miarę 120°, a tworząca
tego stożka ma długość 6 . Promień podstawy stożka jest równy
A. 3
B. 6
C. 3√3
D. 6√3
Zad. 24. (1pkt) (CKE, matura, VIII 2016) Dany jest walec, w którym promień podstawy
jest równy 𝑟, a wysokość walca jest od tego promienia dwa razy większa. Objętość tego walca
jest równa
A. 2𝜋𝑟 3
B. 4𝜋𝑟 3
C. 𝜋𝑟 2 (𝑟 + 2)
D. 𝜋𝑟 2 (𝑟 − 2)
Zad. 25. (1pkt) (CKE, matura, VIII 2016) Podstawą graniastosłupa prawidłowego
czworokątnego jest kwadrat o boku długości 2, a przekątna ściany bocznej ma długość 3
(zobacz rysunek). Kąt, jaki tworzą przekątne ścian bocznych tego graniastosłupa wychodzące
z jednego wierzchołka, ma miarę 𝛼.
𝛼
Wtedy wartość sin 2 jest równa
2
A. 3
B.
√7
3
C.
√7
7
D.
√2
3
Zad. 26. (1pkt) (CKE, matura, VIII 2016) Różnica liczby krawędzi i liczby wierzchołków
ostrosłupa jest równa 11. Podstawą tego ostrosłupa jest
A. dziesięciokąt
B. jedenastokąt
C. dwunastokąt
D. trzynastokąt
Zad. 27. (2pkt) (CKE, informator) Oblicz sinus kąta między przekątną sześcianu a jego
płaszczyzną podstawy.
Zad. 28. (4pkt) (CKE, przykładowy arkusz, XII 2013) Jacek bawi się sześciennymi
klockami o krawędzi 2 cm. Zbudował z nich jeden duży sześcian o krawędzi 8 cm i
wykorzystał do tego wszystkie swoje klocki. Następnie zburzył budowlę i ułożył z tych
klocków drugą bryłę – graniastosłup prawidłowy czworokątny. Wtedy okazało się, że został
mu dokładnie jeden klocek, którego nie było gdzie dołożyć. Oblicz stosunek pola powierzchni
całkowitej pierwszej ułożonej bryły do pola powierzchni całkowitej drugiej bryły i wynik
podaj w postaci ułamka nieskracalnego.
Zad. 29. (4pkt) (CKE, matura, V 2014) Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest
równe 198. Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego
wierzchołka prostopadłościanu to 1: 2: 3. Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.
Zad. 30. (4pkt) (CKE, matura, VI 2014) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym
𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 (zobacz rysunek) przekątna 𝐴𝐶podstawy ma długość 4√2. Kąt 𝐴𝑆𝐶 między
przeciwległymi krawędziami bocznymi ostrosłupa ma miarę 60°. Oblicz objętość tego
ostrosłupa.
Zad. 31. (4 pkt) (CKE, matura, VIII 2014) Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest kwadrat.
Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest równa 22, a tangens kąta nachylenia ściany
bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy jest równy
ostrosłupa.
4√6
5
. Oblicz objętość tego
Zad. 32. (4pkt) (CKE, matura próbna, XII 2014) Tworząca stożka ma długość 17, a
wysokość stożka jest krótsza od średnicy jego podstawy o 22. Oblicz pole powierzchni
całkowitej i objętość tego stożka.
Zad. 33. (4 pkt) (CKE, matura, V 2015) Wysokość graniastosłupa prawidłowego
czworokątnego jest równa 16 . Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego
3
podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy 5 . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego
graniastosłupa.
Zad. 34. (4pkt) (CKE, matura, VIII 2015) Podstawą ostrosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑆 jest prostokąt,
którego boki pozostają w stosunku 3 ∶ 4, a pole jest równe 192 (zobacz rysunek). Punkt 𝐸
jest wyznaczony przez przecinające się przekątne podstawy, a odcinek 𝑆𝐸 jest wysokością
ostrosłupa. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy
pod kątem 30°. Oblicz objętość ostrosłupa.
Zad. 35. (4pkt) (CKE, matura, VI 2016) Dany jest stożek o objętości 8𝜋 , w którym
stosunek wysokości do promienia podstawy jest równy 3: 8. Oblicz pole powierzchni bocznej
tego stożka.
Zad. 36. (4 pkt) (CKE, informator) W graniastosłupie czworokątnym prawidłowym
przekątna o długości 𝑑 jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 𝛼 takim, że
sin 𝛼 = 0,2. Wyznacz objętość tego graniastosłupa.
Zad. 37. (5pkt) (CKE, matura, VI 2015) Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego
𝐴𝐵𝐶𝑆 jest równa 27√3 . Długość krawędzi 𝐴𝐵 podstawy ostrosłupa jest równa 6 (zobacz
rysunek). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
Zad. 38. (5pkt) (CKE, matura, V 2016) Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego
𝐴𝐵𝐶𝑆 jest trójkąt równoboczny 𝐴𝐵𝐶 . Wysokość 𝑆𝑂 tego ostrosłupa jest równa wysokości
jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa 27. Oblicz pole powierzchni bocznej
ostrosłupa 𝐴𝐵𝐶𝑆 oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna
podstawy ostrosłupa.
Zad. 39. (5pkt) (CKE, matura, VIII 2016) Trójkąt równoboczny 𝐴𝐵𝐶 jest podstawą
ostrosłupa prawidłowego 𝐴𝐵𝐶𝑆, w którym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny
podstawy pod kątem 60°, a krawędź boczna ma długość 7 (zobacz rysunek). Oblicz objętość
tego ostrosłupa.