Zmienne losowe – teoria (Ω, F,P) – przestrzeń probabilistyczna

Zmienne losowe – teoria
(Ω, F, P ) – przestrzeń probabilistyczna.
Definicja Niech (Ω1 , F1 ), (Ω2 , F2 ) będą przestrzeniami mierzalnymi. Odwzorowanie f : Ω1 → Ω2 jest mierzalne, jeśli ∀B∈F2 f −1 (B) ∈ F1 . Zapis: f : (Ω1 , F1 ) → (Ω2 , F2 ).
Definicja Zmienna losowa to funkcja mierzalna X : (Ω, F) → (R, B).
Definicja Rozkład zmiennej losowej X to miara probabilistyczna PX na (R, B) dana wzorem
PX (A) = P ◦ X −1 (A) = P (X ∈ A).
Definicja Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję FX : R → [0, 1] określoną wzorem
FX (x) = P (X 6 x).
Twierdzenie Dystrybuanta F ma własności:
1. F jest funkcją niemalejącą,
2. F jest prawostronnie ciągła,
3.
lim F (x) = 0,
x→−∞
lim F (x) = 1.
x→+∞
Definicja Zmienna losowa X ma rozkład dyskretny, jeśli istnieją liczby x1 , x2 , . . . i prawdopodobieństwa
∞
P
p1 , p2 , . . . > 0 takie, że
pi = 1 oraz P (X = xi ) = pi , i = 1, 2, . . ..
i=1
Definicja Zmienna
losowa X ma rozkład absolutnie ciągły o gęstości f , jeśli dla każdego A ∈ B zachodzi
Z
P (X ∈ A) =
f (x)dx.
A
Z
Uwaga: f (x) > 0 prawie wszędzie i
f (x)dx = 1.
R
Definicja Wartością oczekiwaną zmiennej losowej X o rozkładzie dyskretnym nazywamy liczbę
EX =
∞
P
xi pi .
i=1
Definicja Wartością oczekiwaną zmiennej losowej X o rozkładzie absolutnie ciągłym nazywamy liczbę
Z
EX =
xf (x)dx.
R
Uwaga. Wartość oczekiwana zmiennej losowej może nie istnieć.
Twierdzenie Wartość oczekiwana ma własności:
1. E(aX + b) = aEX + b, a, b ∈ R,
2. jeśli zmienne losowe X i Y określone są na tej samej przestrzeni Ω, to E(X + Y ) = EX + EY .
Definicja Wariancją zmiennej losowej X nazywamy liczbę
Var X = E(X − EX)2 = EX 2 − (EX)2 .
Uwaga. Wariancję oznacza się również przez D2 X. Wariancja zmiennej losowej może nie istnieć.
Twierdzenie Wariancja ma własności:
1. Var X > 0,
2. Var (aX + b) = a2 Var X, a, b ∈ R.
Definicja Odchyleniem standardowym zmiennej losowej X nazywamy liczbę DX =
√
Var X.
Definicja Momentem rzędu p > 0 zmiennej losowej X nazywamy liczbę EX p .
Definicja Momentem absolutnym rzędu p > 0 zmiennej losowej X nazywamy liczbę E|X|p .
Uwaga. Moment (absolutny) rzędu p zmiennej losowej może nie istnieć.