Kąty w kole

Kąty w kole
1. Wiedząc, że kąt wpisany równy jest połowie kąta środkowego opartego
na tym samym łuku, pokazać, że:
a) kąt z wierzchołkiem wewnątrz okręgu, równy jest połowie sumy łuków,
b) kąt z wierzchołkiem poza okręgiem, którego ramiona przecinają okrąg
równy jest połowie różnicy łuków,
c) kąt między styczną, a cięciwą przechodzącą przez punkt styczności równy jest połowie kąta środkowego.
2. Na płaszczyżnie dane są dwa punkty A,B. Znaleźć miejsce geometryczne punktów M płaszczyzny, dla których ∠AM B = α, gdzie α jest
danym kątem (odcinek AB jest widoczny z punktu M pod kątem α).
3. Pokazać, że trójkąt jest ostrokątny, prostokątny lub rozwartokątny w
zależności od tego, gdzie położony jest środek opisanego na nim okręgu;
wewnątrz, na brzegu lub poza trójkątem.
4. Dany jest kwadrat. Znaleźć miejsce geometryczne punktów płaszczyzny, z których kwadrat ten widziany jest pod kątem 60◦ .
5. Twierdzenie sinusów. Pokazać, że jeśli a-cięciwa okręgu, α-wielkość kąta
wpisanego w okrąg i opartego na tej cięciwie, to a = 2Rsinα, gdzie R-promień okręgu.
6. W trójkącie ABC : ∠A = 30◦ , ∠B = 70◦ . Na boku BC utworzony jest
4 równoboczny BMC tak, że punkt M leży po tej samej stronie prostej
BC, co A. Znaleźć ∠M AC.
1
2
7. Znaleźć promień okręgu przechodzącego przez wierzchołek A kwadratu
ABCD, przez jego środek oraz przez środek odcinka BC, jeśli a-bok
kwadratu.
8. Przekątne czworokąta ABCD wpisanego w okrąg przecinają się w punkcie K. Wiadomo, że ∠ABC = 76◦ , ∠BCD = 82◦ , ∠AKD = 100◦ . Znaleźć ∠ABD.
9. Wiadomo, że środki okręgów opisanych na trójkątach ABD i BDC
leżą na przekątnej AC równoległoboku ABCD. Znaleźć ∠ACD, jeśli
∠ACB = 40◦ .
10. Trzy proste , leżące na jednej płaszczyżnie, przecinają się w jednym
punkcie. Kąty między prostymi są równe : 40◦ , 65◦ , 75◦ . Z dowolnego
punktu płaszczyzny opuszczono na te proste, proste prostopadłe. Znaleźć kąty trójkąta z wierzchołkami powstałymi w tych nowych punktach.
11. Na boku AB trapezu ABCD wzięto punkt K. Pokazać, że drugi punkt
przecięcia okregów, opisanych na trójkątach AKD i BKC, leży na prostej CD.
12. Na okręgu opisanym na 4ABC obrano punkty K, P i M, różne od jego
wierzchołków tak, że AK = AB, BP = BC, CM = CA. Znaleźć kąty
trójkąta KPM, jeśli w trójkącie ABC : ∠A = 32◦ , ∠B = 72◦ .
13. Niech A1 , A2 , A3 , ..., A7 −wierzchołki siedmiokąta wypukłego. Znaleźć
sumy kątów każdej z dwóch ”gwiazdek” : A1 A4 A7 A3 A6 A2 A5 oraz
A 1 A3 A 5 A7 A2 A 4 A6 .
14. Na bokach AB, BC, CA 4ABC obrano punkty C1 , A1 , B1 odpowiednio,
różne od jego wierzchołków. Pokazać, że okręgi opisane na trójkątach
A1 B1 C, A1 BC1 , AB1 C1 mają wspólny punkt (punkt Miquela).
15. Dane są cztery proste na płaszczyżnie, żadne dwie nie są równoległe
i żadne trzy nie przecinają się w jednym punkcie. Przedstawiają one
cztery trójkąty. Pokazać, że okręgi opisane na tych trójkątach mają
wspólny punkt.
3
16. Z dowolnego punktu leżącego na okręgu opisanym na trójkącie, opuszczono proste prostopadłe na jego boki (lub na ich przedłużenia). Pokazać, że spodki tych prostych leżą na jednej prostej (prosta Simsona).
17. Dane są punkty A,B. Znaleźć geometryczne miejsce punktów C takich, że 4ABC jest trójkątem ostrokątnym z najmniejszym kątem przy
wierzchołku A i największym przy wierzchołku C.
18. Dane są punkty A,B. Znaleźć miejsce geometryczne punktów C takich,
że prosta przechodząca przez B prostopadła do BC, przecina AC i dzieli
AC w stosunku 2:1 (zaczynając od wierzchołka).
19. Dwa okręgi przecinają sie w punktach A i B. Prosta przechodząca przez
A przecina okręgi w punktach C i D. Znaleźć miejsce geometryczne
środków okręgów opisanych na 4BCD.
20. Bok BC trójkąta ABC ma długość a. Przez wierzchołek A przechodzi
prosta, przecinająca BC w punkcie D i tworząca z BC kąt α. Znaleźć
odległość miedzy środkami okręgów opisanych na trójkątach ABD i
ACD.
21. Przez wierzchołki A i B, B i C, C i A trójkąta ABC przechodzą odpowiednio trzy okręgi. Pokazać, że jeśli suma łuków tych okręgów, położonych po wewnętrznej stronie trójkąta równa jest 2π lub 4π, to te
okręgi przecinają się w jednym punkcie.
22. Przekątne czworokąta wypukłego ABCD przecinają sie w punkcie K.
Pokazać, że jeśli ∠AKB = ∠BCK + ∠KDA, to okręgi opisane na
trójkątach BCK i DAK są styczne.