Twierdzenie Czebyszewa o liczbach pierwszych. Twierdzenie

Arytmetyka teoretyczna
LISTA 3: Twierdzenie Czebyszewa o liczbach pierwszych.
Twierdzenie Czebyszewa Dla każdej liczby naturalnej n > 1
istnieje liczba pierwsza p taka, że n < p < 2n.
Lemat 1. Dla każdej liczby naturalnej n i liczby pierwszej p, wykładnik,
z którym liczba pierwsza p wchodzi do rozwiniȩcia liczby n! na czynniki
pierwsze jest równy
h i h i h i
α = np + pn2 + pn3 + . . . .
Lemat 2 (zadanie na indukcjȩ). Dla każdej liczby naturalnej n ≥ 5
mamy
2n
< 4n−1 .
n
22n
Lemat 3 (zadanie). Dla każdej liczby naturalnej n mamy 2n
≥ 2n .
n
2n
2345
2n − 2 2n − 1 2n 2n
Wskazówka : 2n
=
· ... ·
> 22n .
n
1122
n−1 n−1 n n
h i
h i
Lemat 4 (zadanie). Dla każdej liczby rzeczywistej x liczba 2x − 2 x
ma wartość 0 lub 1.
√
Lemat 5. Czynniki pierwsze liczby 2n
wiȩksze od 2n wystȩpuja̧ w jej
n
rozwiniȩciu z wykładnikiem 1.
Lemat 6. Dzieliniki liczby 2n
postaci pr , gdzie p jest liczba̧ pierwsza̧,
n
a r wykładnikiem naturalnym, sa̧ mniejsze od 2n.
Lemat 7. Dla każdej liczby naturalnej n > 2 i liczby
pierwszej p speł
2n
2
niaja̧cej nierówność 3 n < p ≤ n, p nie dzieli liczby n .
Lemat 8 (zadanie). Dla każdej liczby naturalnej n > 1 jeśli istnieja̧
liczby pierwsze p takie,
(a) że n < p < 2n, to ich iloczyn jest mniejszy od 4n−1
(Wskazówka:
Wykorzystać Lemat 2 i fakt, że dla n < p < 2n zachodzi
p| 2n
);
n
(b) że p ≤ n, to ich iloczyn jest mniejszy od 4n
(Wskazówka: wykorzystać punkt (a) i indukcjȩ matematyczna̧).
Lemat 9. Dla każdej liczby naturalnej n ≥ 14 liczba π(n) wszystkich
liczb pierwszych p ≤ n spełnia nierówność π(n) ≤ n2 − 1.
1
Lemat 10. Dla liczby każdej naturalnej n > 2, jeśli pomiȩdzy
n i√2n nie
2n
leży żadna liczba pierwsza, to spełniona jest nierówność n ≤ (2n)π( 2n) ·P ,
gdzie
Y
√
2n
P =
{p : p jest liczba̧ pierwsza̧ i 2n < p <
}.
3
Lemat 11. Dla każdej liczby naturalnej n ≥ 100 takiej, że nie ma liczb
pierwszych pomiȩdzy
liczbami n i 2n, spełnione
sa̧ nierówności:
√
√
2n
2n
3
2n
−1
2n
2
3
(b) 2
(a) n < (2n)
·4 ;
< (2n) 2 .
Lemat 12. (a) Dla każdej liczby naturalnej k ≥ 4, mamy 2k > 3(k + 1);
(b) Dla każdej liczby rzeczywistej x ≥ 4, mamy 2x > 3x;
(c) Dla każdej liczby rzeczywistej x ≥ 12 mamy 2x >
x3 .
√
3
Lemat 13. Dla liczb naturalnych n ≥ 100 mamy 2 2n > (2n) 2 .
Lemat 14. Jeśli n ≥ 100, to pomiȩdzy n i 2n leży liczba pierwsza.
Lemat 15 (zadanie). Jeśli istnieje cia̧g liczb pierwszych q1 , q2 , . . . , qn+1
taki, że q1 = 2 i qk+1 < 2qk dla k = 1, 2, . . . , m oraz qm+1 > 100, to Twierdzenie Czebyszewa prawdziwe jest dla każdej liczby naturalnej 2 ≤ n ≤ 100.
Zadania na zastosowanie Tw.Czebyzewa.
Zad.1. Pokazać, że dla każdej liczby naturalnej n > 1 istnieja̧ co najmniej
trzy różne liczby pierwsze maja̧ce w zapisie dziesiȩtnym po n cyfr.
Zad.2. Dla każdej liczby naturalnej n, niech pn oznacza n-ta̧ liczbȩ pierwsza̧. Pokazać, że dla dla każdej liczby naturalnej n > 2 mamy pn+1 <
p1 + p2 + . . . + pn .
Zad.3. Pokazać, że 5 jest jedyna̧ liczba̧ naturalna̧, która jest suma̧ wszystkich liczb pierwszych od niej mniejszych.
Zad.4 Dowieść, że dla n > 1 liczba n! nie jest potȩga̧ liczby naturalnej o
wykładniku wiȩkszym niż 1.
2