lista zadań na dowodzenie

ZAJĘCIA WARSZTATOWE
NIWKI 2013
LISTA ZADAŃ DLA UCZESTNIKÓW - ZADANIA NA DOWODZENIE – GIMNAZJUM
I. ZDANIA ALGEBRAICZNE
1. Wykaż, że liczba a = 327 + 329 jest podzielna przez 30.
2. Wykaż, że różnica kwadratów kolejnych liczb parzystych jest liczbą podzielną przez 4.
3. Uzasadnij, że różnica kwadratu dowolnej liczby nieparzystej i liczby 1 jest podzielna
przez 4.
4. Wykaż, że liczba 7n+2 + 7n+1 jest liczbą podzielną przez 8.
5. Wykaż, że dla dowolnej nieparzystej liczby naturalnej x liczba 2x2 + 4x + 10 jest
podzielna przez 8.
6. Udowodnij, że jeśli k i l są liczbami naturalnymi oraz 1 ≤ k ≤ n, to k(n – k + 1) ≥ n
7. Wykaż, że suma trzech kolejnych parzystych liczb naturalnych jest podzielna przez 6.
8. Udowodnij, że jeśli a jest liczbą naturalną, to liczba a3 – a jest podzielna przez 6.
9. Wykaż, że różnica kwadratów dwóch kolejnych parzystych liczb naturalnych jest
równa podwojonej sumie tych liczb (od większej odejmujemy mniejszą).
10. Udowodnij, że iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych zwiększony o środkową
z nich jest sześcianem środkowej.
11. Udowodnij, że liczba 1011 + 1012 + 1013 + 1014 jest podzielna przez 101
II. ZADANIA Z GEOMETRII
1. Dany jest prostokąt ABCD. Bok AB podzielono na trzy równe odcinki: AX, XY i YB.
Wyznaczono trójkąty DAX, DXY i DYB. Uzasadnij, że wyznaczone trójkąty mają równe
pola.
2. Dany jest prostokąt ABCD i dowolny punkt P położony wewnątrz tego prostokąta.
Udowodnij, że 𝐴𝑃 2 + 𝐶𝑃 2 = 𝐵𝑃 2 + 𝐷𝑃 2 lub drugie pytanie: wykaż, że
𝑃Δ𝐴𝑃𝐷 + 𝑃Δ𝐵𝑃𝐶 = 𝑃Δ𝐴𝑃𝐵 + 𝑃Δ𝐶𝑃𝐷.
3. W trapezie ABCD, w którym AB||DC oraz |AB|>|CD|, przekątna DB zawiera się
w dwusiecznej kąt ABC. Wykaż, że |DC|=|BC|.
4. Dany jest prostokąt ABCD. Okręgi o średnicach AB i AD przecinają się w punktach A
i P (jak na rysunku). Wykaż, że punkty B, P i D leżą na jednej prostej.
5. Wykaż, że w trapezie prostokątnym różnica kwadratów długości przekątnych równa
jest różnicy kwadratów długości podstaw.
6. Dany jest trapez ABCD, w którym podstawa |AB| > |CD| > 0 oraz |∡ABC| + |.∡BAD|
= 90°. środek M podstawy AB połączono ze środkiem N podstawy CD. Wykaż, że
|MN|=
𝑎−𝑏
2
7. Punkt E leży na ramieniu BC trapezu ABCD, w którym AB∥CD. Udowodnij, że
|∡AED|=|∡BAE|+|∡CDE|.
8. Stosunek pól trzech parami stycznych zewnętrznie okręgów wynosi 1:4:9.
Uzasadnij, że środki tych okręgów są wierzchołkami trójkąta prostokątnego.