Ciekawe liczby

Artykuł pobrano ze strony eioba.pl
Ciekawe liczby
Pośród liczb są również takie, które posiadają interesujące właściwości. Dowiedz się, co to liczby bliźniacze,
doskonałe, polindromiczne czy złote.
Liczby pierwsze
Liczbę naturalną, która ma dokładnie dwa dzielniki, nazywamy liczbą pierwsza. Liczb pierwszych jest nieskończenie
wiele. Znajdowanie ich nie jest jednak łatwe. Od pewnego czasu używa się do tego komputerów. Największa znana
dziś liczba pierwsza została odkryta w lipcu 2004 roku (Findley, Woltman, Kurowski) ma postać 224036583-1. Ma ona aż
7 milionów 235 tysiące 733 cyfr.
Po co szuka się takich olbrzymek? Wielkie liczby pierwsze służą do testowania mocy obliczeniowej
superkomputerów. Bez nich również nie moglibyśmy skutecznie szyfrować informacji, bo klucze najlepszych
szyfrów oparte są na liczbach pierwszych. Są także bardzo użyteczne przy konstruowaniu kodów korekcyjnych do
wyszukiwania błędów w przekazie obrazów i danych (satelity, sondy kosmiczne...) oraz w czytnikach CD wysokiej
jakości.
Świat liczb pierwszych do dziś stanowi tajemnicę dla matematyków. Są wielocyfrowe liczby pierwsze, które
składają się z samych jedynek, np. 23-cyfrowa 11 111 111 111 111 111 111 111. Niektóre liczby pierwsze zapisane
są kolejnymi cyframi. Liczbą pierwszą jest każda z liczb: 23, 67, 89, 789, 456, 23456789, 1234567891. Niektóre
liczby pierwsze to palindromy, np.: 11, 757, 111181111. Wśród liczb pierwszych są liczby lustrzane, np.: 13 i 31, 37
i 73, 79 i 97, 113 i 311.
W XVIII wieku Christian Goldbach dostrzegł, iż w każdym przypadku, który wypróbował, dowolna liczba parzysta
większa od 4 może być przedstawiona jako suma dwóch liczb pierwszych. Na przykład 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 5
+ 3, 48 = 29 + 19, 100 = 97 + 3 itd.
Liczby względnie pierwsze
Liczby, które nie mają wspólnego dzielnika nazywamy liczbami względnie pierwszymi. Przykłady liczb względnie
pierwszych: 6 i 13 , 20 i 35 ....
Liczby bliźniacze
Dwie liczby pierwsze różniące się o 2 to liczby bliźniacze. Przykładami par liczb bliźniaczych są: 3 i 5 ; 5 i 7; 11 i 13
; 17 i 19. Nie wiadomo do chwili obecnej, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb bliźniaczych. Największą znaną
parą liczb bliźniaczych jest para 260497545 x 26625 + 1 i 260497545 x 26625 - 1.
Liczby doskonałe
Liczbę naturalną nazywamy doskonałą, gdy jest sumą wszystkich swoich dzielników właściwych. Przykładem takich
liczb są 6, 28, 496, ponieważ dzielniki właściwe tych liczb (dzielnik właściwy liczby to każdy dzielnik mniejszy od tej
liczby) to:
D6={1,2,3}
1+2+3=6
D28={1,2,4,7,14}
1+2+4+7+14=28
D496={1,2,4,8,16,31,62,124,248}1+2+4+8+16+31+62+124+248=496
Dotychczas znaleziono tylko 39 liczb doskonałych. Starożytni Grecy przypisywali liczbie 6 szczególne znaczenie.
Wcześni komentatorzy Biblii upatrywali doskonałości liczb 6 i 28 specjalnego sensu. Bo czyż nie w 6 dni został
stworzony świat i czy Księżyc nie obiega Ziemi w czasie 28 nocy? Wiele wymiarów w świątyni Salomona nawiązuje
do liczby sześć. Żyjący na przełomie I i II wieku Mikomachos, autor "Arytmetyki", uważał, że obiekty doskonałe i
piękne zawsze są rzadkie, toteż nie należy się spodziewać, że liczb doskonałych będzie dużo. I rzeczywiście
Euklides zauważył, że liczby postaci 2p-1(2p - 1) są doskonałe, o ile 2p - 1 jest liczbą pierwszą. Dzięki temu mógł
podać dwie nowe liczby typu: 496 i 8128. Kolejną, piątą liczbę doskonałą znaleziono dopiero w XV wieku - była to
33550336. Dwa tysiące lat po Euklidesie Leonhard Euler wykazał, że wszystkie parzyste liczby doskonałe mają
postać zaproponowaną przez Euklidesa. Euler znalazł trzy kolejne liczby doskonałe. Szczęśliwym dla liczb
doskonałych był rok 1952, kiedy po raz pierwszy do poszukiwań użyto maszyny liczącej. Do tej pory znano ich tylko
12, w ciągu roku znaleziono kolejne 5. Ostatnią znaleziono w 2001 roku.
Liczby zaprzyjaźnione
Dwie liczby naturalne nazywamy zaprzyjaźnionymi, gdy każda z nich jest równa sumie dzielników właściwych
drugiej liczby (dzielnik właściwy liczby to każdy dzielnik mniejszy od tej liczby). Przykładem pary najmniejszych
liczb zaprzyjaźnionych są liczby 220 i 284. Dzielniki właściwe liczby 220 to:
{1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110} więc 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284
Dzielniki właściwe liczby 284 to:
{1,2,4,71,142} więc 1+2+4+71+142=220
Inną parą liczb zaprzyjaźnionych jest para liczb 1184 i 1210.
Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona ze sobą. Znanych jest blisko 8000 par liczb zaprzyjaźnionych, nie
wiadomo jednak, czy istnieje ich nieskończenie wiele. Liczby zaprzyjaźnione znane były już w szkole Pitagorasa (VI
w.p.n.e), przypisywano im znaczenie mistyczne. Starożytni Grecy wierzyli, że amulety z wygrawerowanymi liczbami
zaprzyjaźnionymi zapewniają szczęście w miłości.
Liczby palindromiczne
Liczbę naturalną, którą czyta się tak samo od początku i od końca nazywamy palindromem. Przykłady liczb
palindromicznych: 55, 494, 30703, 414, 5115...
Liczba złota
Liczba 1/2(√5-1) to liczba złota. Wyraża ona długość odcinka spełniającego warunek tzw. złotego podziału. Pierwszy
wyrysował złoty podział Hippasus w V wieku p.n.e. Starożytni Grecy uważali złoty podział za idealną proporcję,
którą chętnie realizowali w architekturze. Wielki astronom Kepler powiedział:
"Geometria ma dwa cenne skarby: jeden z nich to twierdzenie Pitagorasa, drugi - podział odcinka w stosunku
średnim i skrajnym. Pierwsze porównać do miary złota. Drugie jest niby kamień drogocenny".
Obecnie złoty podział jest też często stosowany, np. wymiary znormalizowanego zeszytu pozostają w stosunku w
przybliżeniu równym stosunkowi złotego podziału.
Liczba złota ma ciekawe własności:
- aby ją podnieść do kwadratu, wystarczy dodać do niej jedynkę,
- aby znaleźć jej odwrotność, wystarczy odjąć jedynkę.
Liczby Fermata
Liczby postaci Fk = 22^k+1, gdzie k jest liczbą całkowitą nieujemną. Matematyk francuski P. de Fermat
przypuszczał, że wszystkie liczby mające tę postać są liczbami pierwszymi. Okazało się, że liczby F0=3, F1=5,
F2=17, F3=257, F4=65537 są liczbami pierwszymi, natomiast F5 = 4294967297 jest liczbą złożoną i dzieli się
przez 641.
Liczby Mersenne'a
Liczby postaci 2p-1, gdzie p jest liczba pierwszą. Przyjmując p = 2,3,5,7, otrzymujemy liczby Mersenne'a pierwsze,
natomiast 211-1=2047=23*89 jest liczbą złożoną. Nie wiadomo, czy wśród liczb Mersenne'a jest nieskończenie
wiele liczb pierwszych, nie wiadomo też, czy wśród tych liczb jest nieskończenie wiele liczb złożonych. Liczby
Mersenne'a zasługują na szczególną uwagę, gdyż wśród nich możliwe jest wskazanie największych znanych liczb
pierwszych. Największą znaną obecnie liczbą Mersenne'a pierwszą jest liczba 2216091-1, mającą w rozwinięciu
dziesiętnym 65050 cyfr. Znalezienie każdej nowej liczby Mersenne'a pierwszej powoduje odkrycie nowej parzystej
liczby doskonałej.
Liczby trójkątne
Liczby postaci tk=k(k+1)/2, gdzie k jest liczbą naturalną. Liczba tk jest sumą k kolejnych liczb naturalnych. Nazwa
liczby trójkątne pochodzi stąd, że tk jest liczbą monet jednakowej wielkości, z których można utworzyć trójkąt
równoboczny o boku zbudowanym z k monet. Przykłady liczb trójkątnych:
t1=1, t2=3, t3=6, t4=10.
Liczby lustrzane
Liczby lustrzane to takie dwie liczby, które są lustrzanym odbiciem, np.: 125 i 521, 68 i 86, 3245 i 5423, 17 i 71.
Jeżeli napiszemy dowolną liczbę i jej lustrzane odbicie , np.1221, to tak otrzymana liczba jest podzielna przez 11.
1221:11=192.
Liczby Fibonacciego
Liczby naturalne tworzące ciąg o takiej własności, że kolejny wyraz (z wyjątkiem dwóch pierwszych) jest sumą
dwóch poprzednich (tj. 1,1,2,3,5,8,13... ). Nazwa pochodzi od imienia Leonarda z Pizy zwanego Fibonaccim, który w
1202 podał ten ciąg. Ciąg Fibonacciego to ulubiony ciąg przyrody. Taki ciąg liczbowy opisuje np. liczbę pędów
rośliny jednostajnie przyrastającej w latach (np. drzewa). Róże kalafiora zielonego, poczynając od czubka układają
się w kształt spiral. Jeśli obliczymy ilość lewo- i prawoskrętnych spiral, to okaże się, że są to liczby z ciągu
Fibonacciego. Podobną ilość spiral tworzą ziarna słonecznika czy łuski szyszki.
Autor dokumentu: Janina Świątek
Link do źródła: http://j-swiatek.w.interia.pl
Autor: Janina Świątek
Artykuł pobrano ze strony eioba.pl