13. Zjawiska transportu w gazach Wybór i opracowanie zadań.13.1

13. Zjawiska transportu w gazach
Wybór i opracowanie zadań.13.1-13.11.Bogumiła Strzelecka
13.1. Ile razy zmieni się współczynnik dyfuzji gazu dwuatomowego, jeżeli w wyniku :
a) izotermicznego,
b) adiabatycznego
rozprężania gazu jego ciśnienie zmniejszyło się dwukrotnie?
13.2. Współczynnik dyfuzji tlenu w warunkach normalnych jest równy 1,41 ⋅10-4 m2/s.
Znaleźć współczynnik dyfuzji tego gazu w temperaturze 50oC, jeżeli gaz ogrzewano przy
stałej objętości.
13.3. Współczynnik przewodnictwa cieplnego gazu trójatomowego jest równy 1,45⋅10-2
W/m⋅K, a współczynnik dyfuzji w tych samych warunkach wynosi 10-5 m2/s. Znaleźć liczbę
cząsteczek gazu w 1m3 w tych warunkach.
13.4. Znaleźć współczynnik przewodnictwa cieplnego chloru, jeżeli wiadomo, że
współczynnik lepkości dynamicznej tego gazu w danych warunkach jest równy 1,29⋅10-5
N⋅s/m2.
13.5. W jakiej temperaturze współczynnik lepkości dynamicznej azotu jest równy
współczynnikowi lepkości dynamicznej wodoru w temperaturze 19oC? Średnica atomu azot
wynosi 3,1⋅10-10 m, a średnica atomu wodoru – 2,3⋅10-10 m.
13.6. Obliczyć ilość ciepła przewodzonego przez ścianę mieszkania w zimie w czasie t., jeżeli
przewodnictwo cieplne ściany wynosi χ, grubość ściany jest równa d, zaś jej powierzchnia S.
Temperatura w mieszkaniu wynosi T1, a na zewnątrz T2 < T1. Ile należy spalić węgla w celu
wyrównania ubytku ciepła przez przewodnictwo, zakładając, że tylko η część ciepła
dostarczonego przez spalanie węgla idzie na wyrównanie tego braku. Ze spalenia 1 kg węgla
uzyskujemy r [J] ciepła.
13.7. Naczynie szklane o powierzchni S i grubości ścianek d, zawierające mieszaninę wody z
lodem w równowadze termicznej, postawiono w pokoju o temperaturze T1. Wiedząc, że
przez jednostkę powierzchni szkła, przy gradiencie temperatur ∆T/d, w każdej sekundzie
dopływa ilość ciepła χ, obliczyć ile lodu ulegnie stopieniu w tym naczyniu w czasie τ. Ciepło
topnienia lodu jest równe l.
13.8. Ściana drewniana ma grubość d. Jaką grubość powinien mieć mur z cegieł, aby miał
taką samą przewodność cieplną jak ta ściana z drewna. Współczynnik przewodnictwa
cieplnego drewna wynosi χ1 a cegły - χ2.
13.9. Dwie płytki – miedziana i żelazna, z których każda ma grubość 1 cm, dokładnie
przylegają do siebie. Temperatura zewnętrznej powierzchni płytki miedzianej jest równa 373
K, a temperatura zewnętrznej powierzchni płytki żelaznej jest równa 273 K. Znaleźć
temperaturę płaszczyzny zetknięcia płytek jeżeli współczynniki przewodnictwa cieplnego są
równe χ1 = 390 W/m⋅K (miedź), χ2 = 62 W/m⋅K (żelazo).
13.10. Piec elektryczny o mocy P =2kW i powierzchni S = 0,25 m2 pokryty jest ogniotrwałym
materiałem o grubości d =10 cm. Współczynnik przewodnictwa cieplnego tego materiału jest
równy χ = 0,8W/m⋅K. Jaka jest temperatura zewnętrznej powierzchni pieca, jeżeli temperatura
jego wewnętrznej powierzchni jest równa t =1200 oC?
13.11. Zamknięty termos styropianowy zawierający masę m cieczy o temperaturze To
wstawiono do pieca o stałej temperaturze T1 > Tw (Tw – temperatura wrzenia cieczy).
Ogrzewana powierzchnia termosu wynosi S, zaś grubość ścianek naczynia d. Współczynnik
przewodnictwa cieplnego styropianu jest równy χ, zaś ciepło właściwe wody wynosi c. Po
jakim czasie ciecz w naczyniu zagotuje się?
Rozwiązania:
13.1.R.
Współczynnik dyfuzji wyraża się wzorem:
1
D = v ⋅λ ,
3
v – wartość średniej prędkości arytmetycznej cząsteczek gazu, λ - średnia droga swobodna
cząsteczek.
8kT
, gdzie k – stała Boltzmanna, T – temperatura, m – masa cząsteczki;
π ⋅m
v=
λ =
1
n
2π ⋅ d
V
, gdzie d –średnica czynna cząsteczki, n – liczba cząsteczek, V – objętość.
2
Podstawiając powyższe zależności do wyrażenia opisującego współczynnik dyfuzji i
n
p
uwzględniając, że : =
otrzymujemy zależność:
V kT
(1) D =
1 8kT
kT
⋅
3 π ⋅ m 2π ⋅ d 2 p
a) w przemianie izotermicznej T = const, możemy więc napisać, że D ~
Wówczas
D2
p
= 1 =2
D1
p2
b) Przy przemianie adiabatycznej możemy napisać D ~
Wówczas
D2
T23 p1
(2)
.
=
⋅
D1
T13 p 2
Korzystając z równania adiabaty otrzymujemy zależność:
T3
p
1
p
T2  p 2 
= 
T1  p1 
χ −1
χ
równa 5.
i
+1
, i – liczba stopni swobody dla gazu dwuatomowego jest
, gdzie χ = 2
i
2
Podstawiając powyższe zależności do równania (2) otrzymujemy :
p 
D2
=  2 
D1
 p1 
3
χ −1
χ
⋅
p1
= 1,49
p2
13.2. O.
D = D0
T
T0
13.3.R.
Należy obliczyć wielkość:
n
.
V
Korzystamy z następujących zależności:
1
χ = v ⋅ λ ⋅ ρ ⋅ cv - współczynnik przewodnictwa cieplnego;
3
1
D = v ⋅ λ - współczynnik dyfuzji.
3
Obliczamy:
C
χ m Cv
= ⋅
, ponieważ cV = v .
µ
D V µ
n=
m
⋅ N A , gdzie µ jest masą 1 mola gazu, NA - stała Avogadro,
µ
zaś
i
R , gdzie R – uniwersalna stała gazowa, i – liczba stopni swobody (dla gazu
2
trójatomowego wynosi 7) , otrzymujemy zależność
CV =
i
R
χ
n⋅µ 2
=
⋅
.
D V ⋅ NA µ
Po przekształceniach oraz uwzględniając, że
R
= k = 1,38 ⋅ 10 − 23 J / K
NA
otrzymujemy:
n 2χ
=
= 3,5 ⋅ 10 23 m −3 .
V Dki
13.4.R.
1
χ = v ⋅ λ ⋅ ρ ⋅ cv -współczynnik przewodnictwa cieplnego;
3
1
η = v ⋅ λ ⋅ ρ - współczynnik lepkości dynamicznej.
3
Uwzględniając powyższe zależności otrzymujemy:
χ = η ⋅ cV =
i R
⋅ ⋅ η = 3,77 ⋅ 10 −3 W / m ⋅ K
2 µ
13.5.R.
1
η = v ⋅ λ ⋅ ρ - współczynnik lepkości dynamicznej
3
8RT
v=
, gdzie k – stała Boltzmanna, T – temperatura, m – masa cząsteczki;
π ⋅µ
1
, gdzie d –średnica czynna cząsteczki, n – liczba cząsteczek, V – objętość
λ =
2 n
2π ⋅ d
V
Uwzględniając powyższe zależności oraz pamiętając, że
ηN = ηH
otrzymujemy
µ d4
TN = TH ⋅ N ⋅ N4 ≅ 204 o C
µH dH
13.6.R.
Ilość ciepła przewodzonego przez ściany mieszkania:
Q = χ ⋅ S ⋅t
T1 − T2
d
Ilość ciepła uzyskana ze spalenia m masy węgla:
Q1 = m ⋅ r .
Część uzyskanego ze spalenia węgla ciepła wyrównuje straty ciepła:
ηQ1 = Q
Po przekształceniach otrzymujemy:
m =η ⋅ S ⋅t ⋅ χ ⋅
T1 − T2
d ⋅r
13.7.R.
Ilość ciepła przewodzonego przez ścianki naczynia
Q = χ ⋅S ⋅
∆T
⋅τ
d
Masa lodu stopiona przez to ciepło wynosi:
χ ⋅ S ⋅ ∆T ⋅ τ
d ⋅l
m=
13.8.R.
Ilość ciepła przewodzona przez ścianę z drewna w czasie τ musi byś równa ilości ciepła
przewodzonego przez mur z cegieł w tym samym przedziale czasu:
χ1 ⋅ S ⋅
∆T
∆T
⋅τ = χ 2 ⋅ S ⋅
⋅τ
d
dx
Stąd:
dx =
χ2
d
χ1
13.9.R.
Ilość ciepła przewodzonego przez płytkę z miedzi musi być równa ilości ciepła
przewodzonego przez płytkę z żelaza:
χ1S
T2 − Ts
T − T1
τ = χ 2S x
τ
d
d
Po przekształceniach otrzymujemy:
Tx =
χ 1T1 + χ 2T2
= 339.3K
χ1 + χ 2
13.10.R.
Ciepło wytwarzane przez piec:
Q = P ⋅τ
Ciepło przenoszone przez warstwę:
Q = χ ⋅S ⋅
T − Tx
⋅τ
d
Porównując powyższe równania i przekształcając otrzymujemy:
Tx = T −
P⋅d
= 473K
χ ⋅S
13.11.R.
Ciepło, które przepłynie do naczynia w czasie dt :
dQ = χ ⋅ S ⋅
∆T
dt ,
d
gdzie: ∆T = T1 − T ,
a T jest temperaturą, jaką osiągnie woda
pobierając ciepło dQ w czasie dt.
Ciepło pobrane przez wodę zmieni jej temperaturę o dT:
dT =
dQ
.
m⋅c
Porównując powyższe równania otrzymujemy:
dT =
χ ⋅S
(T1 − T ) ⋅ dt .
d ⋅m⋅c
Woda w naczyniu zagotuje się gdy temperatura T osiągnie wartość temperatury wrzenia dla
wody Tw.
Przekształcając powyższe równanie, całkujemy je obustronnie
Tw
τ
dT
χ ⋅S
∫T T1 − T = d ⋅ m ⋅ c ∫0 dt
o
i otrzymujemy wzór na czas, po którym ciecz w termosie zagotuje się:
τ =
d ⋅ m ⋅ c T1 − T0
ln
.
χ ⋅S
T1 − Tw