Suma n-początkowych wyrazów ciągu

Materiały do nauki / matematyka
koniec
Definicja ciągu
Ciągiem nieskończonym nazywamy funkcje określona na
zbiorze liczb naturalnych o wartościach w pewnym niepustym
zbiorze Y
Ciągiem skończonym n-elementowym nazywamy funkcję
określoną na zbiorze n początkowych liczb naturalnych o
wartościach w pewnym niepustym zbiorze Y
Ciągiem liczbowym nazywamy ciąg, którego
wartościami są liczby rzeczywiste.
Sposoby określania ciągu
1. Poprzez wymienienie jego kolejnych wyrazów
(1,5,6,7,9,10....)
2. Poprzez opis słowny
Każdej liczbie naturalnej została przyporządkowana jej
odwrotność
3. Poprzez wzór ogólny
an
3n  6

4  2n 2
Monotoniczność ciągu
Ciąg rosnący
Ciąg malejący
Ciąg stały
Ciąg nierosnący
Ciąg niemalejący
Ciąg rosnący
Ciąg (an ) nazywamy rosnącym 
a
nN
n 1
Ciąg ( a n
 an  0
) nazywamy rosnącym wtedy i tylko
wtedy gdy dla każdej liczby naturalnej n różnica dwóch
kolejnych wyrazów ciągu jest większa od zera.
Ciąg malejący
Ci ąg (an ) nazywamy malejącym 
a
nN
n 1
Ciąg ( a n
 an  0
) nazywamy malejącym wtedy i tylko wtedy gdy
dla każdej liczby naturalnej n różnica dwóch kolejnych
wyrazów ciągu jest mniejsza od zera.
Ciąg stały
Ci ąg (an ) nazywamy stał ym 
a

a

0
n

1
n

nN
Ciąg ( a n
) nazywamy malejącym wtedy i tylko wtedy
gdy dla każdej liczby naturalnej n różnica dwóch kolejnych
wyrazów ciągu jest równa od zera.
Ciąg nierosnący
Ciąg (an ) nazywamy nierosnącym 
a
nN
n 1
Ciąg ( a n
 an  0
) nazywamy nierosnącym wtedy i tylko
wtedy gdy dla każdej liczby naturalnej n różnica dwóch
kolejnych wyrazów ciągu jest większa lub równa zero
Ciąg niemalejący
Ci ąg (an ) nazywamy niemalejącym 
a
nN
n 1
Ciąg ( a n
 an  0
) nazywamy niemalejącym wtedy i tylko wtedy
gdy dla każdej liczby naturalnej n różnica dwóch kolejnych
wyrazów ciągu jest mniejsza lub równa zero
Definicja ciągu arytmetycznego
Ci ąg (an ) nazywamy artymetycznym 
 a
rR nN
n 1
 an  r
Ciąg ( a n ) nazywamy arytmetycznym wtedy i tylko
wtedy, gdy jest on co najmniej trzy wyrazowy, i którego
każdy wyraz, począwszy od pierwszego, powstaje przez
dodanie do wyrazu poprzedniego stałej liczby rzeczywistej,
zwanej różnicą ciągu.
Zadanie
Sprawdź czy podany ciąg jest arytmetyczny
Obliczam wyraz
an  3n  2
an 1
an1  3(n  1)  2  3n  3  2  3n  5
Sprawdzam różnice an 1  an
an 1  an  3n  5  (3n  2) 
 3n  5  3n  2  5  2  3  r
Odp. Różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest stałą
liczbą rzeczywistą dlatego podany ciąg jest arytmetyczny
Wzór na n-ty wyraz ciągu
( a n )  ciąg arytmetyczny o różnicy r
pierwszy wyraz ciągu
a1 
a 2  a1  r
a 3  a 2  r  a1  r  r  a1  2 r
a 4  a 3  r  a1  2 r  r  a1  3 r
.
.
an  an1  r  ...  a1  (n  1)  r
Zadanie
Drugi wyraz ciągu arytmetycznego wynosi 3 a szósty 4.
Wyznacz pierwszy wyraz i różnice ciągu
a2  3

a6  4
1

r  4

a  1  3
 1 4
a1  r  3 / (1)

a1  5r  4
1

r  4

a  2 3
 1
4
 a1  r  3

a1  5r  4
4r  1 / 4
1
r 
4
Odp. Pierwszy wyraz tego ciągu wynosi 0,25 a różnica 2,75
Suma n-początkowych
wyrazów ciągu
( an )  ciąg arytmetyczny o różnicy r
S1  a1
S 2  a1  a2
S 3  a1  a2  a3
.
S n  a1  a2  a3  ...  an
a1  an
2a1  ( n  1)r
Sn 
n 
n
2
2
Zadanie
Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych parzystych
mniejszych od 102
( 2,4,6,8,...100)
a1  2,
r  2,
n  50
2a1  49r
 50
2
2  2  49  2

 50
2
 ( 4  98)  25
S 50 
S 50
S 50
S 50  2550
Odp. Suma wszystkich parzystych liczb
naturalnych mniejszych od 102 wynosi 2550
Definicja ciągu geometrycznego
Ci ąg (an ) nazywamy geometrycznym 

a

a

q
n

1
n

qR nN
Ciąg ( a n ) nazywamy geometrycznym wtedy i tylko
wtedy, gdy jest on co najmniej trzy wyrazowy, i którego
każdy wyraz, począwszy od pierwszego, powstaje przez
pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stałą liczbę
rzeczywistą, zwana ilorazem ciągu.
Zadanie
Sprawdź czy podany ciąg jest geometryczny
Obliczam wyraz
a n  3n
an 1
an 1  3n 1  3n  3
a n 1
Sprawdzam iloraz
an
an 1
3n  3

3q
n
an
3
Odp. Iloraz dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest stałą
liczbą rzeczywistą, dlatego podany ciąg jest geometryczny
Wzór na n-ty wyraz ciągu
( an )  ciąg geometryczny o ilorazie q
a1 
pierwszy wyraz ciągu
a2  a1  q
a3  a2  q  a1  q  q  a1  q 2
a4  a3  q  a1  q  q  a1  q
2
3
.
.
an  an 1  q  ...  a1  q
n 1
Zadanie
Między liczby 3 i 75 wstaw liczbę x, tak aby ciąg (3, x, 45) był
geometryczny
x  a2  a1  q
a1  3

a3  75
a1  3

2
a

q
 75
 1
a1  3
 2
q  25
a1  3

q  5  q  5
Odp.
x  35
x  15


a1  3
 2
3  q  75 / 3
x  3  ( 5)
x  15
Suma n-początkowych
wyrazów ciągu
( an )  ciąg geometryczny o ilorazie q
S1  a1
S 2  a1  a2
S 3  a1  a2  a3
.
S n  a1  a2  a3  ...  an
Sn
a1  n


1 qn
a1 1  q

gdy q  1
gdy q  1
Zadanie
Pewien gospodarz wynajął firmę do wykopania studni o głębokości
20m. Za pierwszy metr miał zapłacić 1 grosz a za każdy następny
dwa razy tyle co za poprzedni. Ile złotych zapłaci gospodarz za
wykopanie całej studni?
a1  1 grosz ; a2  2 grosze ; a3  4 grosze.....
q  2 ; n  20
1  q 20
1  2 20 1  1048576
S 20  a1
1


1 q
1 2
1 2
 1048575
 1048575 gr  10485,75 zł
1
Odp.Za wykopanie studni gospodarz zapłaci 10485,75
zł.