Praca

Spis treści
1 Matematyka w staroz·ytnym Egipcie
1.1 Pismo i numeracja egipska . . . . . .
1.2 Wiedza matematyczna Egipcjan . . .
1.3 Papirus Rhinda . . . . . . . . . . . .
1.4 Papirus moskiewski . . . . . . . . . .
1.5 Arytmetyka staroz·ytnego rachmistrza
1.6 U÷
amki egipskie . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
4
8
10
15
15
17
2 De…nicje, twierdzenia i lematy pomocnicze
24
2.1 De…nicje i w÷
asności NWD i NWW . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Twierdzenia o NWD, NWW i liczbach pierwszych . . . . . . . 25
2.3 Lematy pomocnicze do twierdzeń o rozk÷
adach re-gularnych . 30
3 Rozk÷
ady regularne
3.1 De…nicja rozk÷
adu regularnego . . .
3.2 Rozk÷
ady regularne dwucz÷
onowe .
3.3 Rozk÷
ady regularne trójcz÷
onowe . .
3.4 Rozk÷
ady regularne czterocz÷
onowe
4 Tabele rozk÷
adów regularnych
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
33
33
33
37
44
57
5 Wnioski o u÷
amkach i znaczenie matema-tyki Egiptu
68
5.1 Wnioski o u÷
amkach egipskich . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.2 Znaczenie matematyki staroz·ytnego Egiptu . . . . . . . . . . . 70
Teksty źród÷
owe do programów..............................................................72
Literatura...............................................................................................81
1
WSTEP
¾
Pierwsze pojecia
¾ o liczbie i o formie datuje sie¾ od czasów okresu kamiennego paleolitu. Postep
¾ w pojmowaniu liczb i stosunków przestrzennych by÷
niewielki, dopóki nie nastapi÷
¾ o przejście od zbierania z·ywności do jej wytwarzania, od myślistwa i rybactwa do rolnictwa.
W staroz·ytnym Egipcie przebiegli kap÷
anowie dzieki
¾ znajomości miedzy
¾
innymi matematyki sprawowali niepodzielna¾ w÷
adze.
¾ Co dzisiaj wiemy o
matematyce staroz·ytnego Egiptu? Czasy sa¾ to przeciez· zamierzch÷
e, ale
mimo to naukowcom uda÷
o sie¾ zag÷
ebić
¾ w tajniki egipskich liczb.
Wiedze¾ o matematyce Egipcjan czerpiemy z papirusu Rhinda i papirusu
moskiewskiego, opisanych w ksia¾z·kach: [1], [2], [4], [5] i [7] oraz na stronie
internetowej [3]. Pierwsza¾ publikacja¾ ksia¾z·kowa¾ obejmujac
¾ a¾ matematyk¾
e
staroz·ytnego Egiptu, w tym u÷
amki by÷
a ksia¾z·ka O. Neugebauera [5] z roku
1934, a nastepnie
¾
K. Vogela [7] z roku 1959. Autorzy zauwaz·yli pewne regularności wystepuj
¾ ace
¾ w rozk÷
adzie u÷
amka n2 znajdujace
¾ sie¾ w papirusie
Rhinda. Pe÷
na¾ analize¾ tych regularności przedstawi÷Sz. Weksler w roku
1968 w pracy Rozk÷ad liczb n2 na u÷amki proste w arytmetyce staroegipskiej
[8]. Nalez·y podkreślić, z·e staroz·ytni zupe÷
nie inaczej podchodzili do u÷
amków
i zwiazanych
¾
z nimi zagadnień rachunkowych. Pos÷
ugiwali sie¾ oni tylko
u÷
amkami prostymi, czyli takimi które mia÷
y jedynk¾
e w liczniku, wyjatek
¾
od tej regu÷
y stanowi÷
o 23 .
Papirus Rhinda zawiera tablice¾ rozk÷
adów u÷
amka n2 dla n nieparzystych
z przedzia÷
u [3; 101] na u÷
amki proste za pomoca¾ której Egipcjanie wykonywali dzia÷
ania rachunkowe. Podane rozk÷
ady maja¾ bardzo ciekawe w÷
asności
wyróz·niajace
¾ je spośród innych moz·liwych rozk÷
adów.
Celem mojej pracy jest przedstawienie i uzupe÷
nienie rezultatów O. Neugebauera [5], K. Vogela [7] i Sz. Wekslera [8] dotyczacych
¾
teori rozk÷
adów
regularnych obejmujacych
¾
u÷
amki egipskie.
W rozdziale pierwszym przedstawiamy historie¾ matematyki w staroz·ytnym Egipcie w oparciu o [1], [2], [3], [4], [5], [7] i [8]. Powiemy skad
¾ czerpiemy
informacje o liczbach egipskich, w jaki sposób by÷
y one zapisywane i jakimi
metodami pos÷
ugiwano sie¾ w rachunkach. Zaprezentujemy egipskie u÷
amki
oraz wyjaśnimy jak Egipcjanie je charakteryzowali, jakie maja¾ w÷
asności i co
je wyróz·nia spośród innych u÷
amków.
W drugim rozdziale zawarte sa¾de…nicje, twierdzenia i lematy pomocnicze
z teorii liczb, które bed
¾ a¾ potrzebne do wspó÷
czesnej analizy u÷
amków egip2
skich. Do sformu÷
owania i udowodnienia pojeć
¾ tego rozdzia÷
u pos÷
uz·y nam
ksia¾z·ka W. Sierpińskiego Teoria liczb [6].
Trzeci rozdzia÷dotyczy teorii rozk÷
adów regularnych: de…nicji, przyk÷
adów
i twierdzeń pochodzacych
¾
z pracy Sz. Wekslera [8]. Na ich podstawie moz·na
wyliczyć wszystkie moz·liwe rozk÷
ady regularne dwucz÷
onowe, trójcz÷
onowe i
2
czterocz÷
onowe liczby n .
W czwartym rozdziale pokazane sa¾tabele wszystkich moz·liwych rozk÷
adów
regularnych dwucz÷
onowych, trójcz÷
onowych i czterocz÷
onowych liczby n2 dla
n pierwszych nalez·acych
¾
do przedzia÷
u [3; 101]. Wyniki obejmuja¾ rezultaty
otrzymane przez Sz. Wekslera i moje w÷
asne.
Piaty
¾ rozdzia÷zawiera wnioski o u÷
amkach egipskich i w÷
asności rozk÷
adów
zawartych w skórzanym zwoju, opracowane w oparciu o [1], [2] i [8]. Podkreślamy tutaj, z·e prawie wszystkie rozk÷
ady w papirusie Rhinda sa¾ regularne, a te które nie sa¾maja¾znacznie mniejsze mianowniki ostatniego u÷
amka.
W pracy poprawi÷
am znalezione b÷
edy
¾ literowe dotyczace
¾ de…nicji oraz
dowodów twierdzeń o rozk÷
adach regularnych. Rozpatrzy÷
am trzy przypadki
de…nicji 19 rozk÷
adu regularnego zapisanych w uwagach: 20, 24 i 28. Poprawi÷
am równiez· znalezione b÷
edy
¾ literowe w twierdzeniach i dowodach o rozk÷
adach regularnych z pracy Sz. Wekslera [8] oraz dok÷
adnie podaje¾ wszystkie
wyliczenia. W mojej pracy zosta÷
y one zapisane jako twierdzenia: 21, 22, 23,
25, 27, 29 i 34 oraz stwierdzenia 26 i 30 .
W pracy jako w÷
asny rezultat poda÷
am wszystkie moz·liwe rozk÷
ady regularne dwucz÷
onowe, trójcz÷
onowe i czterocz÷
onowe liczby n2 dla n pierwszych
nalez·acych
¾
do przedzia÷
u [3; 101], zapisujac
¾ je wszystkie w tabelach. Do
wyliczenia tych rozk÷
adów pos÷
uz·y÷mi program komputerowy, którego tekst
źród÷
owy do÷
aczam
¾
na końcu pracy [patrz str. 72].
Na koniec chcia÷
abym serdecznie podziekować
¾
mojemu promotorowi profesorowi Janowi Kubarskiemu za trud, poświecenie
¾
i nieoceniona¾ pomoc w
pisaniu tej pracy. Dziekuj
¾ e¾ równiez· wszystkim wyk÷
adowcom oraz pracownikom Politechniki ×ódzkiej za wspaniale przekazana¾wiedze¾ i wszelaka¾pomoc.
3
1
Matematyka w staroz·ytnym Egipcie
W rozdziale tym przedstawimy historie¾ matematyki w staroz·ytnym Egipcie
w oparciu o Historie¾ matematyki A.P. Juszkiewicza [2], Vorlesungen uber
geschichte der antiken mathematischen wissenschaften O. Neugebauera [4],
Vorgriechische Mathematik I Vorgeschichte und Agypten K. Vogela [7], Oxford Wielka¾historie¾´swiata [5] oraz Rozk÷ad liczb n2 na u÷amki proste w arytmetyce staroegipskiej Sz. Wekslera [8]. Powiemy tu o źród÷
ach z których
czerpiemy informacje o egipskich liczbach. Zaprezentujemy w jaki sposób
by÷
y zapisywane liczby i jakimi metodami pos÷
ugiwali sie¾ staroz·ytni rachmistrze w swoich obliczeniach. Pokaz·emy egipskie u÷
amki oraz wyjaśnimy
jakie u÷
amki znali i charakteryzowali Egipcjanie.
1.1
Pismo i numeracja egipska
Podstawowe pojecia
¾ matematyczne, takie jak liczba czy …gury geometryczne,
powsta÷
y na d÷
ugo przed pojawieniem sie¾ tekstów matematycznych. Najstarsze matematyczne teksty pisane, znane obecnie, zachowa÷
y sie¾ mniej
wiecej
¾ z poczatku
¾
drugiego tysiaclecia
¾
p.n.e. Na ten okres przypada rozkwit cywilizacji staroz·ytnego Egiptu i Babilonii, które powsta÷
y w dolinach
Nilu i Dwurzecza Tygrysu i Eufratu.
W Egipcie teksty matematyczne pisane by÷
y na kruchym papirusie, czasem na skórze, wiec
¾ zachowa÷
y sie¾ tylko te teksty, które z÷
oz·one by÷
y w piramidach - grobowcach dostojników egipskich - gdyz· wierzono, z·e dusze zmar÷
ych
bed
¾ a¾ czytać swe ulubione utwory w z·yciu pozagrobowym. Papirus to papier
wyrabiany z ÷
odygi rośliny o tej samej nazwie (od s÷
owa papirus pochodzi
nazwa papieru: papier - w jezyku
¾
polskim, niemieckim i francuskim oraz
paper - w jezyku
¾
angielskim).
Cywilizacja egipska trwa÷
a prawie 3500 lat i pozostawi÷
a zdumiewajace
¾
zabytki. Na d÷
ugo za nim w Egipcie pojawi÷
y sie¾ dynastie faraonów pierwsi
neolityczni rolnicy i hodowcy, których moz·na uznać za odleg÷
ych przodków
staroz·ytnych Egipcjan, osiedlili sie¾ nad Nilem pod koniec VI wieku p.n.e.
Poniz·ej przedstawiamy krótki opis kultur i dynastii panujacych
¾
w Egipcie na
podstawie [[5], str. 31].
4
KULTURY I DYNASTIE PANUJACE
¾
W EGIPCIE
Okres Predynastyczny (ok. 6000 3000p.n.e.)
kultury neolitu; kultura nakadyjska; państewka Górnego i Dolnego Egiptu;
Okres Wczesnodynastyczny (ok. 3000 2686p.n.e.)
tzw. okres tynicki; dynastie I i II
Stare Państwo (ok. 2686 2181p.n.e.) dynastie III i VI
Pierwszy Okres Przejściowy (ok. 2181 2049p.n.e.) dynastie VII i X
Średnie Państwo (ok. 2049 1778p.n.e.) dynastie XI i XII
Drugi Okres Przejściowy (ok. 1778 1534p.n.e.) dynastie XIII i XVII
w tym dynastie XV i XVI to panowanie Hyksosów
Nowe Państwo (ok. 1534 1085p.n.e.) dynastie XVIII i XX
Trzeci Okres Przejściowy (ok. 1085 664p.n.e.) dynastie XXI i XXV
Okres Późny (ok. 664 332p.n.e.) dynastie XXVI i XXX
w tym pierwsze panowanie perskie (ok. 525 341p.n.e.)
oraz drugie panowanie perskie (ok. 341 332p.n.e.)
Okres grecki i ptolemejski (ok. 332 30p.n.e.)
panowanie Macedończyków, dynastia Ptolemeuszów
W okresie Starego Państwa Egipcjanie pisali hieroglifami (od greckich
s÷
ów " o& - świety
¾ i
- ryty) - pismem obrazkowym, w którym kaz·dy
rysunek wyobraz·a÷jakieś s÷
owo lub zg÷
osk¾
e. W epoce Średniego Państwa
pismo hierogli…czne zastapiono
¾
prostszym pismem tzw. hieratycznym, w
którym po kaz·dym hierogli…e pozosta÷
o kilka charakterystycznych kresek,
a hieroglifów uz·ywano tylko w wyjatkowo
¾
uroczystych okazjach. Wreszcie
w epoce Nowego Państwa powstaje skrócone pismo tzw. demotyczne (od
greckiego
o& - lud).
Nasze podstawowe informacje o staroegipskiej matematyce, jak pisze A.P.
Juszkiewicz [[2], str. 21-22] odnosza¾ sie¾ do jednego okresu (do czasów Średniego Państwa) i nie jesteśmy w stanie pokazać, jak w dawnej cywilizacji
rozwija÷
a sie¾ ona w ciagu
¾ dziejów. Nie mamy prawie z·adnych wiadomości o
wiedzy matematycznej Starego Państwa. Zachowa÷
y sie¾ tylko liczbowe zapisy, a nawet rysunki na kamiennych p÷
ytach i ścianach, świadczace
¾ o tym,
z·e artyści potra…li przedstawiać przedmioty w zmniejszonej skali za pomoca¾
siatek kwadratowych. Choć nie znamy szczegó÷
ów ewolucji nauki, to jednak wiemy, z·e w ciagu
¾ III tysiaclecia
¾
p.n.e. istnia÷
o na pewnym stopniu
rozwoju pismo, numeracja i metrologia, kalendarz opracowany na podstawie
5
obserwacji astronomicznych (rok podzielony by÷na 12 miesiecy
¾ po 30 dni, a
na końcu roku dodawano 5 dni).
Staroz·ytni Egipcjanie znali i stosowali wielkie liczby. Świadczy o tym
dokument pochodzacy
¾ z poczatku
¾
I dynastii, to jest sprzed oko÷
o 3000 lat
p.n.e. Jest nim pomnik wystawiony dla uczczenia zwyciestwa
¾
wojsk egipskich
nad nieprzyjacielem. Jest to jedno z najstarszych znanych świadectw archeologicznych hierogli…cznego pisma i numeracji egipskiej. Na pomniku napisane
jest fonetycznie imie¾ Narmera, króla, który zjednoczy÷Dolny i Górny Egipt
oraz rzekomo przywiezione przez w÷
adce¾ ÷
upy z jego zwycieskich
¾
wypraw.
Odczytane na nim hieroglify podaja¾ liczbe¾ wzietych
¾
jeńców na 120000 oraz
zdobytych 400000 sztuk byd÷
a rogatego i 422000 kóz.
Egipski system zapisywania liczb opiera÷sie¾ na liczbie 10 jako na podstawie. Do oznaczania kolejnych poteg
¾ liczby 10 az· do siódmej w÷
acznie,
¾
istnia÷
y specjalne znaki (patrz tabela str. 7). Znak dla jedynki przedstawia÷
tyczk¾
e do mierzenia, zapisywano go jako pionowa¾kresk¾
e. Kreskami takimi oznaczano liczy od 1 do 9. Znak dla liczby 10 przypomina÷podkow¾
e lub odwrócona¾ duz·a¾ litere¾ U. Znak dla 100 przedstawia÷zwiniety
¾ liść palmy, zwiniet
¾ a¾
linie¾ do mierzenia, spirale¾ albo – jak niektórzy twierdza¾ – lask¾
e kap÷
ańska.
¾
Znak dla 1000 przedstawia÷kwiat (ped)
¾ lotosu, symbol Nilu, któremu Egipt
zawdziecza
¾
swe istnienie. Znak dla 10000 to wskazujacy
¾ palec, a 100000 to
z·aba. Nie nalez·y sie¾ dziwić, z·e Egipcjanie dla oznaczenia liczby 100000 uz·ywali znaku z·aby, poniewaz· liczba stu tysiecy
¾ w ich pojeciu
¾ by÷
a czymś tak
wielkim, jak ilość z·ab w b÷
otach Nilu po jego wylewach. Znakiem 1000000 jest
postać cz÷
owieka z podniesionymi rekoma.
¾
Jest to najprawdopodobniej obraz
boga (Hek) podtrzymujacego
¾
sklepienie niebieskie jako symbol „nieskończoności” lub „wszystkiego”. Liczbe¾ 10000000 oznaczano podkreślajac
¾ kó÷
ko,
s÷
ońce.
Wg Oxford Wielkiej historii´swiata [[5], str. 99] na poczatku
¾ pisano w pionowych liniach, a od czasów Średniego Państwa równiez· w liniach poziomych,
przewaz·nie od strony prawej ku lewej, niekiedy odwrotnie. Hieroglify pisano
tyle razy ile by÷
o w danej liczbie jedności w odpowiednich rzedach.
¾
Znaki
by÷
y zorientowane zalez·nie od kierunku pisma. Liczba hieroglifów znanych z
tekstów klasycznych przekracza 700, dla ca÷
ego pisma egipskiego ich liczba
wynosi oko÷
o 7000.
W poniz·szej tabelce przedstawione sa¾ cyfry hierogli…czne, hieratyczne i
demotyczne na podstawie [[2], str. 25]:
6
egipskie
1 :jpg
7
1.2
Wiedza matematyczna Egipcjan
Matematyka staroz·ytnych Egipcjan wydaje nam sie¾ obecnie dość prymitywna, gdyz· Egipcjanie znali jedynie arytmetyk¾
e u÷
amków, równania pierwszego stopnia i niezupe÷
ne równania kwadratowe. Problem polega jednak
na tym, z·e zarówno u÷
amki egipskie - to nie u÷
amki w naszym pojeciu,
¾
jak i
równania - to zupe÷
nie nie nasze równania, takich pojeć
¾ wówczas nie by÷
o.
Wg A.P. Juszkiewicza [2], O. Neugebauera [4] i K. Vogela [7] wiedza
matematyczna egipskiego pisarza pozwala÷
a mu np. na dokonywanie obliczeń
potrzebnych do prac budowlanych, do poboru podatków, rozdzia÷
u majatku,
¾
wymiany i rozdzia÷
u produktów (w dawnym Egipcie nie by÷
o pieniedzy),
¾
mierzenia pól i objetości
¾
tam i zbiorników zboz·a, zamiany miar wagi i objetości
¾
na inne jednostki. W tekstach egipskich uwaga skoncentrowana jest
przede wszystkim na samych obliczeniach, a nie na metodach rozwiazania
¾
zadań.
Wyk÷
ad matematyki, czy to piśmienny czy ustny, zak÷
ada oczywiście
pewien usystematyzowany materia÷
. Znajdujemy go w papirusie Rhinda.
Zadania sa¾ w nim sklasy…kowane nie wed÷
ug metod (np. zadania na proporcje, równania liniowe itd.) lecz wed÷
ug tematów. Np. zadania na wypiek
chleba moz·na ujać
¾ w jedna¾ klase,
¾ zadania na objetość
¾
zbiorników i naczyń w druga.
¾ W ten sposób rozwiazywanie
¾
zadań pierwszej grupy opiera÷
o sie¾ na
zalez·ności proporcjonalnej, a drugiej na wzorach na objetość
¾
bry÷
y. Niekiedy
podane sa¾ sprawdzenia do znalezionego rozwiazania.
¾
Do celów ćwiczebnych uk÷
adano zadania o treści rozrywkowej, nie majace
¾ bezpośredniego zastosowania praktycznego, albo tez· majace
¾ tylko postać
zadań praktycznych. Najciekawszym by÷
o zadanie na postep
¾ geometryczny
[[2], str. 24 i 26]:
DRABINA
dom
kot
mysz
jeczmień
¾
miara
7
49
343
2401
16807
1
2801
2
5602
4
11204
razem 19607
Jak widac, w zadaniu mowa jest najpierw o 7 kotach w kaz·dym z 7 domów;
kaz·dy kot zjad÷po 7 myszy, z których kaz·da zjad÷
a po 7 k÷
osów jeczmienia;
¾
kaz·dy z k÷
osów móg÷dać 7 miar ziarna. Sum¾
e domów, kotów, myszy, k÷
osów
8
i miar ziarna wyznacza sie¾ za pomoca¾ mnoz·enia:
2801 7 = 2801 (1 + 2 + 4)
Istnieje kilka hipotez co do tego, jak otrzymano to rozwiazanie.
¾
Ilekroć
badacz analizuje dawne rozwiazania,
¾
wypada mu domyśleć sie¾ jaka droga¾ je
znaleziono. Wg O. Neugebauera [4], w przypadku tym rachunek odpowiada÷
nastepuj
¾ acemu
¾
schematowi:
razem
1
2
4
7
1
2
4
7
7
14
28
49
49
98
196
343
343
686
1372
2401
2401
4802
9604
16807
2801
5602
11204
19607
W papirusie Rhinda znajdujemy równiez·zadania na postep
¾ arytmetyczny.
Na przyk÷
ad takie zadanie [[2], str. 33]:
"Pouczenie o tym, jak określić róz·nice.
¾ Powiedziano ci: rozdziel
10 miar zboz·a miedzy
¾
10 ludzi, jeśli róz·nica miedzy
¾
kaz·dym cz÷
owiekiem
a nastepnym
¾
wynosi 18 miary".
Ilości zboz·a tworza¾postep
¾ arytmetyczny o 10 wyrazach z róz·nica¾ 18 . Autor
znajduje, z·e dziesiaty
¾ wyraz ciagu
¾ jest równy:
1+9
1 1
1
1
=1 +
2 8
2 16
9
1.3
Papirus Rhinda
Wiedze¾ o u÷
amkach czerpiemy z najstarszego dokumentu matematycznego
świata, tzw. „papirusu Rhinda” lub „papirusu Ahmesa”. Odkry÷
a go oko÷
o
1858 r. pewna ekspedycja naukowa pracujaca
¾ na terenie Górnego Egiptu
(dzisiejszy Luxor). Skórzany zwój znaleziono w ruinach staroz·ytnego miasta
Teby, w pobliz·u wielkiej budowli Ramaseum. W jego posiadanie wszed÷
anglik Henry Rhind, dlatego tez· czesto
¾ bywa nazywany papirusem Rhinda.
W 1864 r. naby÷
o go Muzeum Brytyjskie ("The British Museum in Londyn").
Duz·e trudności, które by÷
y zwiazane
¾
z jego odczytaniem, pokonali wspólnie
egiptolog A. Eisenlohr i historyk matematyki M. Cantor. Papirus zosta÷po
raz pierwszy przet÷
umaczony i wydany drukiem w 1877 r., zaczyna sie¾ od
s÷
ów [3]:
„Przepis do osiagni
¾ ecia
¾ poznanie wszelkich rzeczy ciemnych. . .
wszelkich tajemnic, które sa¾ zawarte w przedmiotach. U÷
oz·ona
by÷
a ta ksiega
¾ w roku 33, Mesori dnia. . . za króla Górnego i
Dolnego Egiptu RA-A-US z·ycie dajacego,
¾
wed÷
ug wzoru starych
pism, które wygotowane by÷
y za czasów króla (RA-EN-M-AT).
Oto pisarz Ahmes pisa÷kopie¾ te.”
¾
Jak pisze A.P. Juszkiewicz [[2], str. 21] papirus t÷
umaczy÷równiez· W.W.
Bobynin, a w latach 20-tych XX wieku prze÷
oz·y÷go T. Peet, a takz·e A.B.
Cance i inni uczeni. Papirus –jak wynika z przedmowy –pisa÷Ahmes, który
jednak nie jest autorem, lecz tylko tym, który sporzadzi÷
¾
kopie dokumentu na
podstawie starszego tekstu. Sporzadzono
¾
ja¾ za panowania faraona Apopisa
(Auserre) z XV Dynastii (hyksoskiej) w latach oko÷
o 1585 1542 p.n.e.
Mimo to papirus nazywany jest czesto
¾ papirusem Ahmesa. Papirus ten ma
kszta÷
t wstegi
¾ o d÷
ugości prawie 5; 25 m i szerokości 33 cm i zawiera zapewne
wszystko, co w tamtej epoce by÷
o Egipcjanom znane w zakresie arytmetyki
i geometrii. Napisany jest pismem hieratycznym, tj. pismem stosowanym w
z·yciu codziennym na papirusach. Zapisany czarnym i czerwonym tuszem po
jednej stronie w ca÷
ości, po drugiej zaś cześciowo.
¾
10
Rhinda
2 :jpg
Fragment papirusu Rhinda [[1], str. 9]
11
Papirus Ahmesa zawiera 84 zadania wraz z rozwiazaniami
¾
oraz tzw. tablice¾
podwojeń u÷
amków prostych. Tablica ta znajduje sie¾ na poczatku
¾
papirusu
Rhinda i przedstawia u÷
amki postaci n2 dla liczb naturalnych nieparzystych
od n = 3 do n = 101 w postaci sumy dwóch, trzech lub czterech róz·nych
u÷
amków prostych. Przedstawienia takie nie sa¾ jednoznaczne, o czym Egipcjanie zapewne wiedzieli, chociaz· z regu÷
y korzystali z rozk÷
adów zawartych
w tablicy. Rozk÷
ady odgrywa÷
y podstawowa¾ role¾ w sytuacji gdy trzeba by÷
o
dodać liczby wymierne oraz pomnoz·yć je przez liczby naturalne. Dzia÷
anie
to wykonywane by÷
o na drodze wielokrotnego podwajania liczb naturalnych i
u÷
amków prostych w oparciu o przyjmowane dodatkowo milczaco
¾ "przedsta1
1
wienie dwójkowe liczb naturalnych" np. 7 5 = 7 (2 + 2 + 1) = 27 + 27 + 17 .
Oto fragment pergaminu egipskiego z tablica¾ u÷
amków [[1], str. 8], a nastep¾
nie przet÷
umaczona tablica:
uamkw
3 :jpg
12
2
3
2
5
2
7
2
11
2
13
2
17
2
19
2
23
2
25
2
29
2
31
2
35
2
37
2
41
2
43
2
47
2
49
2
53
2
55
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
1 1
+
2 6
1
1
+
3 15
1
1
+
4 28
1
1
+
6 66
1
1
1
+
+
8 52 104
1
1
1
+
+
12 51 68
1
1
1
+
+
12 76 114
1
1
+
12 276
1
1
+
15 75
1
1
1
+
+
+
24 58 174
1
1
1
+
+
20 124 155
1
1
+
30 42
1
1
1
+
+
24 111 296
1
1
1
+
+
24 246 328
1
1
1
+
+
+
42 86 129
1
1
1
+
+
30 141 470
1
1
+
28 196
1
1
1
+
+
30 318 795
1
1
+
30 330
13
1
232
1
301
2
59
2
61
2
65
2
67
2
71
2
73
2
77
2
79
2
83
2
85
2
89
2
91
2
95
2
97
2
101
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
1
1
1
+
+
36 236 531
1
1
1
1
+
+
+
40 244 488 610
1
1
+
39 195
1
1
1
+
+
40 335 536
1
1
1
+
+
40 568 710
1
1
1
1
+
+
+
60 219 292 365
1
1
+
44 308
1
1
1
1
+
+
+
60 237 316 790
1
1
1
1
+
+
+
60 332 415 498
1
1
+
51 255
1
1
1
1
+
+
+
60 356 534 890
1
1
+
70 130
1
1
1
+
+
60 380 570
1
1
1
+
+
56 679 776
1
1
1
1
+
+
+
101 202 303 606
Dla n podzielnych przez 3 rozk÷
ady otrzymujemy wg wzoru:
2
1
1
=
+
3k
2k 6k
dla k = 3; 5; : : : ; 33.
14
1.4
Papirus moskiewski
Drugi papirus tzw. ”papirus moskiewski” ma 5; 44 m d÷
ugości i 8 cm szerokości. Naby÷go w końcu XIX wieku rosyjski orientalista W.S. Goleniszczew.
Zwój ten zawiera 25 zadań i znajduje sie¾ w moskiewskim Muzeum Sztuk
Pieknych
¾
im. A.S. Puszkina. Wg A.P. Juszkiewicza [[2], str. 21] papirus
ten bada÷B.A. Turajew i jego uczeń W.W. Struwe, któremu g÷
ównie zawdzieczamy
¾
wydanie tego tekstu. Jest to równiez· kopia wykonana w okresie
panowania w Egipcie Hyksosów, tj. ok. 1700 1550 r. p.n.e. Autor i kopista
sa¾nieznani. Merytoryczna zawartość obu papirusów jest taka sama. Zadania
mia÷
y zwiazek
¾ z z·yciem, z praktycznym zastosowaniem matematyki.
moskiewski
4 :jpg
Fragment papirusu moskiewskiego [[2], str. 22]
1.5
Arytmetyka staroz·ytnego rachmistrza
Sztuka rachunkowa Egipcjan opiera÷
a sie¾ na trzech podstawowych dzia÷
aniach: na umiejetności
¾
dodawania, podwajania i dope÷
niania u÷
amka do
jedności. Egipski system liczbowy by÷addytywny, wiec
¾ w takim systemie
moz·na by÷
o dodawać nie umiejac
¾ na pamieć
¾ tabliczki dodawania, wystarczy÷
o mechanicznie policzyć jedności i umieć przechodzić od jednego rzedu
¾
15
do drugiego, tzn. zwiekszać
¾
lub rozdrabniać jedności rzedów
¾
danej liczby.
Nalez·y jednak watpić
¾
w to, z·e egipski matematyk zna÷tabliczk¾
e dodawania.
O technice dodawania i odejmowania w papirusach nie ma wzmianek.
Wg A.P. Juszkiewicza [[2], str. 26-27] i O. Neugebauera [[4], str. 145]
mnoz·enie przez liczbe¾ ca÷
kowita¾i dzielenie bez reszty wykonywano za pomoca¾
podwajania, tzn. jednorazawego dodawania liczby do niej samej. W tym celu
mnoz·nik przedstawiono jako sum¾
e pewnych wyrazów ciagu:
¾
1; 2; 4; 8; 16; :::
co zawsze jest moz·liwe. Staroegipski rachmistrz nie zna÷regu÷podobnych
do naszych na mnoz·enie i dzielenie liczb, nie mia÷tez· tabliczki mnoz·enia i
dzielenia do 9 9. Podwajanie by÷
o najprostszym przypadkiem mnoz·enia,
lecz wy÷
aczne
¾
stosowanie go sprawia÷
o, z·e mnoz·enie by÷
o ucia¾z·liwe nawet w
obrebie
¾ zbioru liczb ca÷
kowitych, nie mówiac
¾ juz· o u÷
amkach.
Przytoczmy schemat mnoz·enia 12 12 z zadania nr 32 papirusu Rhinda, w
którym mnoz·nik przedstawiony jest w postaci poteg
¾ liczby 2 (lewa kolumna):
1
12
2
24
=4
48
=8
96
suma 144
Dalej podwajać juz· nie trzeba, bo wśród poteg
¾ dwóch sa¾juz· potrzebne sk÷
adniki mnoz·nika (oznaczono je pochy÷
a¾ kreska).
¾ Dodajmy jeszcze, z·e osobno
traktowano mnoz·enie przez 5 i 10, tzn. korzystano z w÷
asności systemu
dziesietnego.
¾
Dzielenie wykonywano jako dzia÷
anie odwrotne wzgledem
¾
mnoz·enia. W
zadaniu nr 69 papirusu Rhinda, gdzie dzieli sie¾ 1120 80, tekst mówi: "Mnóz·
80 (dos÷
ownie: dodawaj zaczynajac
¾ od 80) dopóki nie otrzymasz 1120".
1
80
=10
800
2
160
=4
320
suma 1120
W ten sposób bezpośrednio sprawdza sie,
¾ ile razy dzielnik mieści sie¾ w dzielnej. Iloraz tworzy sie¾ dodajac
¾ liczby odpowiadajace
¾ tym sk÷
adnikom dzielnika, które oznaczone sa¾kreska.
¾ Oprócz podwajania przy dzieleniu stosowano
"po÷
owienie", np. celem podzielenia 2 8 pos÷
ugiwano sie¾ schematem:
16
1
8
1
2
4
= 14
2
Z potegowaniem
¾
i pierwiastkowaniem egipski pisarz mia÷do czynienia
przy obliczaniu pola kwadratu i objetości
¾
sześcianu lub boku kwadratu majac
¾ dane pole. Nie potra…÷on jednak wyodrebnić
¾
tych dzia÷
ań, nie by÷
o
2
wówczas jeszcze specjalnej terminologi. W zwiazku
¾
z obliczaniem 2 = 4 w
papirusie moskiewskim czytamy: "Uczyń te 2 w przechodzeniu, otrzymasz
4". Chodzi÷
o tu
prawdopodobnie o coś w rodzaju kwadrowania pola. Celem
p
2
wyznaczenia 100 = 10 stosowano jak sugeruje A.P.Juszkiewicz [[2], str.
27], postepowanie
¾
odwrotne:"uczyń jego bok"( nie ma jednak pewności, czy
przyk÷
ad jest tu ścis÷
y).
1.6
U÷
amki egipskie
Egipcjanie znali równiez· u÷
amki, ale kiedy je odkryto nie jesteśmy w stanie
odpowiedzieć, podobnie jak w przypadku liczb naturalnych. Wiemy jednakz·e
z ca÷
a¾ pewnościa,
¾ z·e najwcześniej poznanymi spośród wszystkich u÷
amków
sa¾ po÷
owa i ćwierć. Oprócz znaków dla liczb ca÷
kowitych Egipcjanie mieli
równiez· specjalne hieroglify dla u÷
amków postaci n1 i dla u÷
amka 23 . Podobnie jak wspó÷
cześnie, pos÷
ugiwali sie¾ oni do zapisu u÷
amków tymi samymi
znakami hierogli…cznymi, co do wyraz·ania liczb naturalnych. Dla odróz·nienia
dorysowanie znaku owalu obok lub nad hieroglifem, by÷
o chyba poczatkiem
¾
u÷
amków, poniewaz· powodowa÷
o to, z·e liczbe¾ taka¾ nalez·a÷
o odczytać jako
odwrotność. Tak np. hieroglif [[7], str. 35]:
1
nalez·a÷
o odczytać jako 10
. Innymi s÷
owy, owal nad hieroglifem oznacza to
samo, co dziś wyk÷
adnik: 1.
Egipcjanie, ze wzgledu
¾ na ÷
atwość zapisywania, uz·ywali jedynie u÷
amków
prostych. Pozosta÷
e u÷
amki przedstawiali jako sumy róz·nych, koniecznie
prostych u÷
amków.
17
Poniz·ej pokaz·emy jak wyglada÷
y niektóre u÷
amki w zapisie hierogli…cznym
na podstawie ksia¾z·ki K. Vogela [[7], str. 35]:
U÷
amek
1
3
w zapisie hierogli…cznym wyglada÷tak:
¾
trzecia
6 :jpg
A u÷
amek
U÷
amek
1
2
1
21
nastepuj
¾ aco:
¾
mia÷szczególny hieroglif postaci:
drudalub
8 :jpg
Oprócz u÷
amków z jedynka¾ w liczniku, staroz·ytni jako wyjatek
¾ uz·ywali
2
u÷
amka 3 , który posiada÷w÷
asny hieroglif:
Egipcjanie nie pos÷
ugiwali sie¾ ogólnymi u÷
amkami wymiernymi postaci m
,
n
lecz nie oznacza to, z·e nie mieli wogóle pojecia
¾ o takich u÷
amkach. Zdaniem
A.P. Juszkiewicz [[2], str. 27-28], K. Vogela [[7], str. 37] i Sz. Wekslera [[8],
str. 103] dzielenie m
czasem przedstawiali jako mnoz·enie m n1 lub pojecie
¾
n
takiego u÷
amka istnia÷
o w sensie wielokrotności u÷
amka prostego:
m
1
1
1
=m
= + ::: +
n
n
n
n
18
Pojawienie sie¾ u÷
amków by÷
o pierwszym rezultatem procesu dzielenia jedności na cześci
¾ (drugim źród÷
em powstania u÷
amków by÷proces mierzenia),
jeśli nie liczyć u÷
amków " naturalnych" typu: 12 ; 13 ; 14 ; 34 ; 16 i 18 , które mia÷
y
w÷
asne nazwy - by÷
y to cześci
¾ egipskiej jednostki pola " setat". Te u÷
amki
naturalne powsta÷
y jednocześnie z liczbami ca÷
kowitymi, równiez· jako rezultat procesu dzielenia ca÷
ości na wieksze
¾
lub mniejsze cześci.
¾
Dzielenie zaś
jedności przez wieksz
¾ a¾ liczbe¾ w praktyce chyba sie¾ nie tra…a÷
o, ale wykonywali je teoretycznie w zadaniach rachmistrze, rozdrabniajac
¾ jedności w myśli.
Tak wiec
¾ w technice rachunkowej staroz·ytnego Egiptu powsta÷teoretyczno liczbowy problem rozk÷
adu u÷
amków na sum¾
e u÷
amków prostych.
Zadanie to nie majace
¾ jednoznacznego rozwiazania,
¾
Egipcjanie rozwiazy¾
wali empirycznie, w kilku etapach. Sprowadza÷
o sie¾ ono do u÷
oz·enia tablicy
rozk÷
adów dla u÷
amków n2 , poniewaz· przy dzieleniu podstawowym dzia÷
aniem
by÷
o podwajanie (od takiej w÷
aśnie tablicy zaczyna sie¾ papirus Rhinda).
Jak pisze A.P. Juszkiewicz [[2], str. 28-29] i O. Neugebauera [[4], str.
154] najprostsze rozk÷
ady pisarze musieli znać na pamieć,
¾ gdyz· wystepowa÷
¾
y
one na kaz·dym kroku. W tekstach egipskich stosuje sie¾ je bez dodatkowych
wyjaśnień:
1
6
1 1
+
6 6
1
3
1
3
1 1
+
2 3
+
+
+
+
+
1
6
1
6
1
3
1
6
1
6
1
3
1
=
2
2
=
3
1
=
2
=
= 1
Sa¾ to najprostsze u÷
amki, a dzia÷
ania na nich by÷
y równie dobrze znane
jak dzia÷
ania na liczbach ca÷
kowitych. Stad
¾ za pomoca¾ prostych kombinacji
Egipcjanie mogli wyprowadzać nastepuj
¾ ace
¾ zalez·ności:
2
1 1
=
+
3
2 6
1 1
2 1
+
=
+
2 3
3 6
2 1
1
+
= 1+
3 2
6
19
Jak świadcza¾zadania zawarte w papirusie Rhinda wyraz·enie:
sie¾ przez 2; 3; 4 i otrzymuje sie¾ nastepn
¾ a¾ serie¾ rozk÷
adów:
1
+ 16
3
=
1
2
dzieli
1
1
1
+
=
6 12
4
1
1
1
+
=
9 18
6
1
1
1
+
=
12 24
8
W ten sam sposób postepujemy
¾
z innymi wyraz·eniami. Bardzo waz·ny jest
wzór:
2
1 1
= +
3
2 6
gdyz· od tego wzoru zaczyna sie¾ faktyczne tworzenie tablicy rozk÷
adów z podwajaniem u÷
amków:
1 1
1 1
+
=
+
3 3
2 6
1 1
1
1
+
=
+
9 9
6 18
1
1
1
1
+
=
+
15 15
10 30
(powyz·szy wzór)
(podzielono przez 3)
(podzielono przez 5) itd.
Tablica zawierać musi rozk÷
ady dla n nieparzystych, poniewaz· przy pod1
wajaniu u÷
amka 2k
otrzymujemy po prostu k1 . Natomiast przy podwajaniu
1
u÷
amków postaci: 3k
moz·na pos÷
uz·yć sie¾ wzorem:
2
1
2 1
=
=
3k
3 k
1 1
+
2 6
1
1
1
=
+
k
2k 6k
Zdaniem A.P. Juszkiewicza [[2], str. 30] kiedy obliczenia staja¾ sie¾ skomplikowane, rachmistrz stosuje metode¾ tzw. " czerwonych liczb pomocniczych".
Przedstawiaja¾one dope÷
niajace
¾ mnoz·niki, podobne do tych, którymi pos÷
ugujemy sie¾ przy sprowadzaniu u÷
amków do wspólnego mianownika. Róz·nia¾
sie¾ one jednak od wspó÷
czesnych mnoz·ników dope÷
niajacych
¾
tym, z·e liczby
czerwone moga¾ być nie tylko liczbami ca÷
kowitymi, ale takz·e u÷
amkami.
Wynika to z tego, z·e dla Egipcjan wspólnym mianownikiem nie jest najmniejsza wspólna wielokrotność - pojecie
¾ to bowiem jeszcze nie istnia÷
o lecz po prostu w wiekszości
¾
przypadków najwiekszy
¾
z mianowników danych
u÷
amków. Wszystkie pozosta÷
e u÷
amki wyraz·aja¾ sie¾ przez ten najmniejszy
20
u÷
amek, utoz·samiajac
¾ sie¾ z pewna¾ najmniejsza¾ miara,
¾ która nie zawsze moz·e
mieścić sie¾ ca÷
kowita¾ ilość razy w danych wielkościach. Tak postepować
¾
trzeba by÷
o w przypadkach dzielenia 2 przez 31; :::, kiedy liczac
¾ wed÷
ug egipskiego sposobu, otrzymawszy jeden z pewnym u÷
amkiem, trzeba by÷
o ocenić
ile jeszcze brakowa÷
o do 2. W ten sposób wy÷
oni÷
o sie¾ samodzielne zadanie
rachunkowe, polegajace
¾ na dope÷
nieniu pewnej sumy u÷
amków do jedności.
Takie zadania omówione sa¾ osobno w papirusie Rhinda. Dla przyk÷
adu
schemat dzielenia 37 przez 1 + 23 + 12 + 17 w zadaniu nr 33 papirusu Rhinda
wg A.P Juszkiewicza [[2], str. 31] pokazany jest w poniz·szy sposób. Bardzo
podobnie schemat tego dzielenia przedstawia równiez· O. Neugebauer [[4], str.
142-145].
1
1 + 23 + 12 +
1
7
2
4 + 13 + 14 +
1
28
4
9 + 61 +
1
14
8
18 + 13 +
1
7
16
36 + 23 + 14 +
poniewaz· 2
1
7
=
poniewaz· 23 =
1
2
1
4
+
+
1
28
1
6
1
28
1
Nastepnie
¾
nalez·y znaleźć, o ile u÷
amek 23 + 14 + 28
jest mniejszy od jedności i
prócz tego wyrazić ten niedomiar i dzielnik w takich jednostkach, aby moz·na
1
by÷
o je porównać. W tym przypadku jednostka¾ taka¾ okazuje sie¾ 42
, a nie
1
, poniewaz· g÷
ównym celem liczb czerwonych jest uzyskanie w sumie liczby
28
1
ca÷
kowitej. Reszta w nowych jednostkach, tzn. w cześciach
¾
u÷
amka 42
:
1
42
= 23
28
1
2
21
= 14
10
1
2
1
= 28
1
1
2
Tak wiec,
¾ czerwone liczby pomocnicze (liczby napisane t÷
ustym drukiem) w
1
1
1
.
sumie daja¾ 40 = 28 + 10 + 2 + 1 + 2 . Znaczy to, z·e do jedności brakuje 42
21
W nowych jednostkach dzielnik sk÷
ada sie¾ z:
1
2
3
42
28
1
2
21
1
7
6
tzn. wynosi 97 tych nowych jednostek. W naszym pierwotnym schemacie
1
podwajania nalez·y zatem do ilorazu 16 dodać jeszcze 2 97
, co wed÷
ug tablicy
1
1
1
rozk÷
adów wyraz·a sie¾ jako suma 56
+ 679
+ 767
. Zatem:
37
1+
2 1 1
+ +
3 2 7
= 16 + 2
1
1
1
1
= 16 +
+
+
97
56 679 767
Taka jest w÷
aśnie odpowiedź.
U÷
amki pojmuje sie¾ tu jako miare,
¾ jako liczbe¾ mianowana:
¾ "tyle a tyle,
takich a takich". Zadania na sprowadzenie jednych miar do innych rozwiazy¾
wano osobno - trzeba by÷
o sprowadzać objetość
¾
i cie¾z·ar do innych jednostek.
Uogólnienie to jednak nie doprowadzi÷
o jeszcze do wytworzenia sie¾ bardziej
ogólego pojecia
¾ u÷
amka. Niemniej zadziwia nas umiejetność,
¾
z jaka¾staroegipski rachmistrz radzi÷sobie w ca÷
ej opisanej wyz·ej technice rachunkowej.
Z obecnego punktu widzenia w zadaniach takiego typu, jak omówione
wyz·ej zadanie nr 33, rozwiazuje
¾
sie¾ równania pierwszego stopnia postaci:
x + ax + bx + cx + ::: = p
x =
p
1 + a + b + c + :::
Zadania tego rodzaju odpowiadaja¾wiec
¾ naszym równaniom liniowym z jedna¾
niewiadama.
¾ Najprawdopodobniej Egipcjanie przy rozwiazywaniu
¾
takich
zadań pos÷
ugiwali sie¾ metoda,¾ która¾o wiele później, w Europieśredniowiecznej,
nazwano " sposobem fa÷
szywego po÷
oz·enia" jak twierdzi A.P. Juszkiewicz [[2],
str. 32].
Przytoczmy przyk÷
ad, warunek zadania nr 26 w papirusie Rhinda brzmi:
"Ilość i jej czwarta cześć
¾ daja¾ razem 15" my zapisalibyśmy: x + 14 x = 15 ,
a rozwiazanie
¾
zaczyna sie¾ od s÷
ów: " Licz z 4; od nich masz wziaźć
¾ jedna¾
czwarta,
¾ jest jeden; razem 5". Nastepnie
¾
oblicza sie¾ 15 5 = 3 i 4 3 = 12.
Rachmistrz przyjmuje, z·e ilość jest równa 4, wtedy dodanie 14 do ilości daje
5, a powinno być 3 razy wiecej
¾ (15 5 = 3). Zatem szukana wielkość takz·e
22
powinna być 3 razy wieksza
¾
od przyjetej
¾ (4 3 = 12). Ogólnie, jez·eli "fa÷
szywe
po÷
oz·enie" jest x1 i daje p1 zamiast p, to:
x
x1 = p
p1
p
x = x1
p1
Takich ogólnych rozwaz·ań i proporcji w papirusach nie spotykamy, ale idea
proporcjonalności, na której opiera sie¾ regu÷
a fa÷
szywego po÷
oz·enia, by÷
a
bardzo prosta, przystepna
¾
i rozpowszechniona w staroz·ytności. Jez·eli, jak w
zadaniu nr 33, ilość przyjmiemy z poczatku
¾ równa¾ x1 = 1, to x = pp1 i mamy
poprostu dzielenie. Za pomoca¾metody fa÷
szywego po÷
oz·enia staroz·ytni Egipcjanie rozwiazywali
¾
równiez·zadania, które moz·na wyrazić równaniem kwadratowym dwumiennym: ax2 = b. Takie jest np. zadanie nr 6 papirusu
moskiewskiego, w którym warunek orzeka, z·e 34 d÷
ugości jest szerokościa,
¾
a pole równe jest 12 i nalez·y wyznaczyć boki prostokata.
¾
Prawdopodobnie rozwiazanie
¾
oparte jest na zalez·ności proporcjonalnej miedzy
¾
kwadratem
3
przyjetej
¾ d÷
ugości, równej 1, a polem, równym wtedy 4 , a takz·e miedzy
¾
kwadratem prawdziwej d÷
ugości x i prawdziwym danym polem 12:
12
x2 =
3
4
x2 = 12
12
1
3
4
W egipskim rozwiazaniu
¾
oblicza sie¾ najpierw 1 34 = 1 13 . Nastepnie
¾
znajduje
p
2
1
3
sie¾ iloczyn 12 1 3 = 16 i 16 = 4, stad
¾ szerokość wynosi: 4 4 = 3 (istnieja¾
jeszcze inne interpretacje tego rozwiazania).
¾
W grupie zadań tego rodzaju, pierwszych w historii matematyki zadań
abstrakcyjnych, rozwiazywanych
¾
jednolita¾ metoda,
¾ dostrzegamy poczatki
¾ algebry jako nauki o rozwiazywaniu
¾
równań.
Wielu autorów zajmowa÷
o sie¾ zagadnieniem rekonstrukcji metod arytmetycznych stosowanych przez staroz·ytnych przy znajdowaniu rozk÷
adów.
Wzorujac
¾ sie¾ na obserwacjach Sz. Wekslera spróbujemy ustalić kryterium
wyboru rozk÷
adów spośród wszystkich moz·liwych. W tym celu w kolejnych
rozdzia÷
ach podamy szereg de…nicji i twierdzeń wspó÷
czesnej matematyki.
23
2
De…nicje, twierdzenia i lematy pomocnicze
W rozdziale tym podamy de…nicje, twierdzenia i lematy, które bed
¾ a¾ nam
potrzebne do udowodnienia twierdzeń z rozdzia÷
u o rozk÷
adach regularnych.
Do sformu÷
owania i udowodnienia pojeć
¾ tego rozdzia÷
u pos÷
uz·y nam ksia¾z·ka
W. Sierpińskiego Teoria liczb [6].
2.1
De…nicje i w÷
asności NWD i NWW
De…nicja 1 Najwiekszym
¾
wspólnym dzielnikiem dwóch lub wiecej
¾ liczb naturalnych a1 :::an nazywamy najwieksz
¾ a¾liczbe¾ naturalna,¾ która jest jednocze´snie
dzielnikiem ka·zdej z liczb a1 :::an . Oznaczamy: NWD (a1 :::an ).
W÷
asności NWD:
zmiana kolejności argumentów NWD nie zmienia jego wartości
zachodzi nierówność:
1
NWD (a1 :::an )
min (a1 :::an )
zachodzi równość:
NWD (a1 :::an ; b1 :::bn ) = NWD (NWD (a1 :::an ) ; NWD (b1 :::bn ))
De…nicja 2 Liczbe¾ ca÷kowita¾W , która jest podzielna przez ka·zda¾z liczb naturalnych a1 :::an nazywamy Wspólna¾Wielokrotno´scia¾liczb a1 :::an .
De…nicja 3 Najmniejsza¾ Wspólna¾ Wielokrotno´scia¾ dwóch lub wiecej
¾ liczb
naturalnych a1 :::an nazywamy najmniejsza¾liczbe¾naturalna,¾ której dzielnikiem
jest ka·zda z liczb a1 :::an . Oznaczamy: NWW (a1 :::an ).
W÷
asności NWW:
zmiana kolejności argumentów NWW nie zmienia jej wartości
zachodzi nierówność:
max (a1 :::an )
NWW (a1 :::an )
a1 :::an
zachodzi równość:
NWW (a1 :::an ; b1 :::bn ) = NWW (NWW (a1 :::an ) ; NWW (b1 :::bn ))
24
2.2
Twierdzenia o NWD, NWW i liczbach pierwszych
De…nicja 4 Je·zeli NWD (a1 ; a2 ) = 1 to liczby a1 ; a2 nazywamy wzglednie
¾
pierwszymi.
Uwaga 5 O dwóch liczbach ca÷kowitych a i b mówimy, ·ze a jest podzielne
(bez reszty) przez b - albo ·ze a jest wielokrotno´scia¾ liczby b, albo ·ze b jest
dzielnikiem liczby a - je·zeli istnieje taka liczba ca÷kowita k, i·z:
a = kb
Oznaczamy to symbolem: b j a (czytamy b jest dzielnikiem a)
(b j a tzn. a b, znakiem oznacza´c bedziemy
¾
dzielenie)
De…nicja 6 Liczba¾ pierwsza¾ nazywamy ka·zda¾ liczbe¾ naturalna,¾ która ma
dok÷adnie dwa ró·zne dzielniki dodatnie (1 i sama¾siebie).
Twierdzenie 7 Ka·zda wspólna wielokrotno´s´c W liczb naturalnych a1 :::an
jest podzielna przez NWW (a1 :::an ).
Dowód. Przypuśćmy wbrew twierdzeniu, z·e wspólna wielokrotność W liczb
naturalnych a1 :::an nie jest podzielna przez NWW (a1 :::an ). Oznaczmy:
NWW (a1 :::an ) = p
Stad
¾ W = qp + r, gdzie q; r 2 N i r < p. Wiec
¾ r = W qp. Zatem r jest
podzielna przez kaz·da¾z liczb a1 :::an , gdyz· W i p sa¾ przez te liczby podzielne.
Liczba naturalna r by÷
aby wiec
¾ wspólna¾wielokrotnościa¾liczb a1 :::an mniejsza¾
od p, co przeczy określeniu liczby p. Tym samym twierdzenie jest prawdziwe.
Twierdzenie 8 Iloczyn dwóch liczb naturalnych a; b jest równy iloczynowi
ich najwiekszego
¾
wspólnego dzielnika i ich najmniejszej wspólnej wielokrotno´sci.
ab = NWD (a; b) NWW (a; b)
Dowód. Niech NWD (a; b) = p. Poniewaz· iloczyn ab jest wspólna¾wielokrotnościa¾ liczb a i b, wiec
¾ na mocy tw. 7 ab jest podzielne przez p. Stad
¾
ab = d p , gdzie d 2 N
25
(1)
Z drugiej strony, poniewaz· p jest wielokrotnościa¾ liczb a i b to:
i
p=k a
p = l b , gdzie k; l 2 N
(2)
Z (1) i (2) mamy, z·e:
i
i
ab = dka
b = dk
ab = dlb
a = dl
Zatem d jest wspólnym dzielnikiem liczb a i b. Stad
¾
a = a1
i
b = b1 , gdzie a1 ; b1 2 N
(3)
Na mocy (3) mamy, z·e
a1 b1 = ab1
i
a1 b1 = ba1
wiec
¾ a1 b1 jest wspólna¾ wielokrotnościa¾ liczb a i b. Zatem z tw. 7 a1 b1 musi
być podzielne przez p, czyli:
a1 b1 = pt , gdzie t 2 Z
(4)
Z (1) i (3) wynika, z·e:
dp = ab =
2
a1 b 1
(5)
Natomiast z (4) i (5) mamy, z·e
dp = pt
Zatem d = t, czyli j d. Liczba d jest wiec
¾ wspólnym dzielnikiem liczb a i
b podzielnym przez kaz·dy inny wspólny dzielnik tych liczb, co dowodzi, z·e
d = NWD(a; b). Z (1) wynika prawid÷
owość twierdzenia.
Wniosek 9 Najmniejsza¾wspólna¾wielokrotno´scia¾dwóch liczb naturalnych a
i b wzglednie
¾
pierwszych jest ich iloczyn.
NWD (a; b) = 1 ) NWW (a; b) = ab
Dowód wynika wprost z twierdzenia 8.
Twierdzenie 10 (Zasadnicze twierdzenie arytmetyki) Liczba dzielaca
¾ iloczyn
dwóch liczb i pierwsza wzgledem
¾
jednego z czynników jest dzielnikiem drugiego
czynnika.
26
Dowód. Niech a; b; n 2 N i NWD (a; b) = 1 oraz b j an. Liczba ab jest
podzielna przez a i przez b. Na mocy twierdzenia 7 i wniosku 9 mamy, z·e:
NWW (a; b) = ab. Zatem an = tab, gdzie t 2 Z. Stad
¾ n = tb, czyli b j n.
Uwaga 11 Twierdzenie 10 udowodnili´smy dla liczb naturalnych, jest ono
jednak prawdziwe dla wszystkich liczb ca÷kowitych, gdy·z zmiana znaku nie
wp÷ywa na podzielno´s´c jednej liczby przez druga.¾
Twierdzenie 12 Je·zeli a; b; c sa¾ liczbami ca÷kowitymi oraz NWD (a; c) = 1
i NWD (b; c) = 1 to NWD (ab; c) = 1.
Dowód. Niech NWD (ab; c) = d. Wobec d j c i NWD (a; c) = 1 mamy, z·e
NWD (d; a) = 1. Stad
¾ wobec d j ab oraz w myśl tw. 10 mamy, z·e d j b. Stad
¾
wobec d j c i NWD (b; c) = 1 otrzymujemy d = 1, czyli NWD (ab; c) = 1.
Uwaga 13 Twierdzenie 12 uogólnia sie¾ na dowolna¾liczbe¾ czynników. Je·zeli
mamy np. liczby cz÷kowite a1 ; a2 ; a3 ; a4 i c, takie, ·ze: NWD (a1 ; c) = 1,
NWD (a2 ; c) = 1, NWD (a3 ; c) = 1, NWD (a4 ; c) = 1 to mo·zemy wobec
dwóch pierwszych równo´sci i w my´sl dowiedzionego twierdzenia 12 napisa´c:
NWD (a1 a2 ; c) = 1, to wobec NWD (a3 ; c) = 1, daje znów w my´sl tw. 12
NWD (a1 a2 a3 ; c) = 1, skad
¾ znowu wobec NWD (a4 ; c) = 1 znajdujemy w ten
sam sposób:
NWD (a1 a2 a3 a4 ; c) = 1
Zatem liczba pierwsza wzgledem
¾
ka·zdego z czynników jest pierwsza wzgledem
¾
ich iloczynu.
Twierdzenie 14 Ka·zda liczba cz÷kowita wieksza
¾
od jedno´sci posiada przynajmniej jeden dzielnik bed
¾ acy
¾ liczba¾pierwsza.¾
Dowód. Niech badzie
¾
dana liczba ca÷
kowita n > 1. Liczba n posiada
dzielniki wieksze
¾
od jedności, gdyz· samo n jest jednym z nich. Oznaczmy
przez d najmniejszy ze wszystkich wiekszych
¾
od jedności dzielników liczby
n. Pokaz·emy, z·e d jest liczba¾ pierwsza.
¾ Przypuśćmy, z·e d nie jest liczba¾
pierwsza,¾ wówczas w myśl de…nicji liczby pierwszej istnia÷
aby liczba taka,
z·e: 1 < < d. Liczba by÷
aby wtedy dzielnikiem dla d, a tym bardziej dla
n, co przeczy temu, z·e d oznacza najmniejszy ze wszystkich wiekszych
¾
od
jedności dzielników liczby n. Zatem twierdzenie jest prawdziwe.
27
Wniosek 15 Ka·zda liczba ca÷kowita n > 1, która nie jest liczba¾ pierwsza¾
daje sie¾przedstawi´c jako iloczyn samych tylko czynników pierwszych i to tylko
w jeden sposób (niezale·znie od porzadku
¾ czynników).
Dowód. (A) Istnieje rozk÷
ad na czynniki pierwsze.
Niech dana bedzie
¾
liczba ca÷
kowita n > 1 nie bed
¾ aca
¾ liczba¾ pierwsza.
¾ Na
mocy tw. 14 liczba n ma dzielnik pierwszy p. Dzielnik ten spe÷
nie nierówność:
1 < p < n tak, iz· moz·na napisać: n = p n1 , gdzie n1 2 Z. Poniewaz·
n1 = np , wiec
¾ wobec nierówności dla p mamy: 1 < n1 < n. Jez·eli n jest
liczba¾ pierwsza¾ to wzór n = p n1 przedstawia juz· rozk÷
ad liczby n na iloczyn
samych czynników pierwszych. Jez·eli natomiast n nie jest liczba¾ pierwsza¾ to
moz·emy dla liczby n1 powtórzyć rozumowanie, które zosta÷
o zastosowane dla
liczby n; wyznaczajac
¾ dzielnik pierwszy p1 liczby n1 i piszac:
¾ n1 = p1 n2 ,
gdzie 1 < n2 < n1 . Jez·eli n2 nie jest liczba¾pierwsza¾to powyz·sze rozumowanie
znów moz·emy powtórzyć itd. Stad
¾ otrzymujemy ciag
¾ równości:
n = pn1 ; n1 = p1 n2 ; n2 = p2 n3 ; :::
Ciag
¾ ten nie moz·e być nieskończony, gdyz· liczby n1 ; n2 ; n3 ; :::(jako wyrazy
ciagu
¾ malejacego)
¾
sa¾ róz·nymi liczbami naturalnymi zawartymi w przedziale
(1; n). W ciagu
¾ tych równości istnieje zatem ostatnia. Niech bedzie
¾
nia¾
r 1
r 1 r
r
równość r-ta: n
= p n . Gdyby liczba n nie by÷
a pierwsza,
¾ to powtarzajac
¾ powyz·sze rozumowanie dla nr+1 moglibyśmy napisać jeszcze równość
(r + 1)-sza,¾ co przeczy÷
oby za÷
oz·eniu, z·e r-ta jest ostatnia.
¾ Liczba nr jest wiec
¾
r
liczba¾ pierwsza;
¾ oznaczmy ja¾ przez p . Otrzymaliśmy wiec
¾ ciag
¾ równości:
n = pn1 ; n1 = p1 n2 ; n2 = p2 n3 ; :::; nr
1
= pr 1 nr
Stad
¾ wynika, z·e:
n = pp1 p2 :::pr 1 pr
(6)
gdzie prawa strona jest iloczynem samych tylko czynników pierwszych. Zbierajac
¾ ze wzoru (6) równe czynniki, moz·emy ten wzór przedstawić w postaci:
(rozwiniecie
¾ liczby n na czynniki pierwsze)
n = p1 1 p2 2 :::pk k
(7)
gdzie p1 ; :::; pk - to liczby pierwsze, a 1 ; :::; k - to liczby naturalne. Tym
samym udowodniliśmy, z·e istnieje rozk÷
ad na czynniki pierwsze.
28
Liczby pierwsze moga¾ tez· być objete
¾ wzorem (7), mianowicie dla k = 1
i 1 = 1. Zatem wzór (7) przy odpowiednim naturalnym i k moz·e wiec
¾
przedstawiać kaz·da¾ liczbe¾ ca÷
kowita¾ n > 1.
(B) Udowodnimy teraz, z·e kaz·da liczba ca÷
kowita n > 1 daje tylko jeden rozk÷
ad na czynniki pierwsze (jeśli nie zwracać uwagi na porzadek
¾
czynników).
Oprzemy sie¾ na nastepuj
¾ acej
¾ w÷
asności: jez·eli a jest liczba¾ca÷
kowita,
¾ p zaś
liczba¾ pierwsza¾ to albo a jest podzielne przez p, albo a i p sa¾ wzglednie
¾
pierwszymi. Istotnie jez·eli p jest liczba¾ pierwsza¾ to posiada tylko dwa dzielniki
naturalne: 1 i p, moz·e wiec
¾ być tylko NWD (a; p) = 1 lub NWD (a; p) = p.
W pierwszym przypadku liczby a i p sa¾ wzglednie
¾
pierwsze, w drugim mamy
oczywiście p j a.
Jako natychmiastowy wniosek z tej w÷
asności mamy, z·e jez·eli p i q sa¾
liczbami pierwszymi, to albo NWD (p; q) = 1 albo p = q.
Za÷
óz·my teraz, z·e:
n = p1 1 p2 2 :::pk k
i n = q1 1 q2 2 :::ql l
przedstawiaja¾ dwa rozwiniecia
¾ liczby n na czynniki pierwsze. Gdyby z·adna
z liczb pierwszych q1 ; q2 ; :::ql nie by÷
a równa liczbie p1 to kaz·da z tych liczb
by÷
aby pierwsza¾ wzgledem
¾
p1 . Liczba n by÷
aby wiec
¾ iloczynem samych liczb
pierwszych wzgledem
¾
p1 , a wiec
¾ na mocy tw. 12 sama by÷
aby liczba¾ pierwsza¾
wzgledem
¾
p1 , co przeczy pierwszemu z wypisanych dla n rozwinieć.
¾ Wśród
liczb q znajduje sie¾ wiec
¾ liczba p1 . To samo moz·emy oczywiście powiedzieć o
kaz·dej z pozosta÷
ych liczb p2 ; p3 ; :::; pk . Równiez· tak samo moz·emy dowieść,
z·e kaz·da z liczb q1 ; q2 ; :::; ql jest równa jednej z liczb p1 ; p2 ; :::; pk . Zatem
mamy dwa zbiory samych róz·nych liczb: p1 ; p2 ; :::; pk i q1 ; q2 ; :::; ql takie, z·e
kaz·da liczba pierwszego zbioru znajduje sie¾ w drugim zbiorze i na odwrót.
Oczywiście zbiory te moga¾ sie¾ róz·nić co najwyz·ej porzadkiem
¾
swych elementów. Zak÷
adajac,
¾ z·e zbiory te zosta÷
y jednakowo uporzadkowane
¾
(np. wg
wielkości swych elementów) bedziemy
¾
mieli:
p1 = q1 ; p2 = q2 ; p3 = q3 ; :::; pk = ql
przy czym k = l.
Udowodnimy teraz, z·e
1
Przypuśćmy, z·e
1
<
=
1,
1;
2
=
2;
3
=
3 ; :::;
wiec
¾ bedziemy
¾
mieli
29
1
k
=
=
1
+
l
1,
gdzie
1
2 N.
Z równości:
p1 1 p2 2 :::pk k = p1 1 p2 2 :::pk k
po podzieleniu obu stron przez p1 1 otrzymujemy:
p2 2 :::pk k = p11 p2 2 :::pk k
Prawa strona jako zawierajaca
¾ czynnik p11 musi być podzielna przez liczbe¾
pierwsza¾ p1 , gdy tymczasem lewa strona jest iloczynem samych liczb pierwszych róz·nych od p1 , a wiec
¾ liczba¾ pierwsza¾ wzgledem
¾
p1 . Ta sprzeczność
dowodzi, z·e nie moz·e być 1 < 1 . W ten sam sposób dowodzi sie,
¾ z·e 1 > 1 .
Zatem 1 = 1 . Podobnie z 2 = 2 itd.
Dowiedliśmy zatem, z·e kaz·da liczba ca÷
kowita wieksza
¾
od jedności daje
tylko jeden rozk÷
ad na czynniki pierwsze (niezalez·nie od porzadku
¾
czynników).
2.3
Lematy pomocnicze do twierdzeń o rozk÷
adach regularnych
Lemat 16 Niech n bedzie
¾
liczba¾pierwsza¾oraz x; y 2 N i x < n. Je·zeli x j ny
to x j y.
Dowód. Niech n bedzie
¾
liczba¾ pierwsza¾ oraz x; y 2 N i x < n. Za÷
óz·my, z·e
x j ny, tzn. ny x. Na mocy wniosku 15 roz÷
óz·my liczby x i y na czynniki
pierwsze:
x = p1 1 p2 2 :::pk k
gdzie p1 ; :::; pk - liczby pierwsze,
y = q1 1 q2 2 :::ql l
gdzie q1 ; :::; ql - liczby pierwsze,
1 ; :::;
1 ; :::;
k
l
- liczby naturalne
- liczby naturalne
Stad
¾ mamy, z·e:
ny
x=n
q1 1 q2 2 :::ql l
p1 1 p2 2 :::pk k
Poniewaz· n jest liczba¾ pierwsza,
¾ a x < n to wszystkie czynniki liczby x tez·
sa¾ mniejsze od n. Zatem kaz·dy czynnik liczby x musi być jakimś czynnikiem
liczby y, poniewaz· nie moz·e nim być liczba n, wiec
¾ x j y.
30
Lemat 17 Niech d; 1 ; 2 2 N wówczas zachodza¾nastepuj
¾ ace
¾ równo´sci:
(A) NWW (d 1 ; d 2 ) = d NWW ( 1 ; 2 )
(B) NWD (d 1 ; d 2 ) = d NWD ( 1 ; 2 )
Dowód. (A) Niech d;
1;
2
2 N. Za÷
óz·my, z·e:
NWW ( 1 ;
2)
(8)
=p
Pokaz·emy, z·e d p jest NWW (d 1 ; d 2 ), tzn., z·e dp jest wspólna¾ wielokrotnościa¾ d 1 i d 2 oraz kaz·da wielokrotność d 1 i d 2 jest wieksza
¾
lub równa
dp.
1. Aby udowodnić, z·e dp jest wspólna¾ wielokrotnościa¾ d 1 i d 2 musimy
pokazać, z·e dp jest podzielne przez d 1 i d 2 . Istotnie:
p
dp
=
d 1
dp
=
d 2
1
p
2
2 N z za÷
oz·enia (8)
2 N z za÷
oz·enia (8)
Zatem dp jest wspólna¾ wielokrotnościa¾ d 1 i d 2 .
2. Niech a bedzie
¾
dowolna¾ wspólna¾ wielokrotnościa¾ liczb d
to, z·e:
9 (k; m 2 N) kd
1
9 (k; m 2 N)
1
k
= a i md
a
=
=m 2
d
2
1
i d 2 , ozn.
=a
wiec
¾ ad jest wspólna¾ wielokrotnościa¾ liczb d 1 i d 2 (nie koniecznie najmniejsza).
¾ Zatem ad
p, czyli a
dp. Z dowolności a wynika, z·e dp jest
NWW (d 1 ; d 2 ).
(B)Niech d; 1 ; 2 2 N. Za÷
óz·my, z·e:
NWD ( 1 ;
2)
(9)
=q
Pokaz·emy, z·e d q jest NWD (d 1 ; d 2 ), tzn., z·e dq jest wspólnym dzielnikiem
liczb d 1 i d 2 oraz kaz·dy dzielnik d 1 i d 2 jest mniejszy badź
¾ równy dq.
1. Aby udowodnić, z·e dq jest wspólnym dzielnikiem d 1 i d 2 musimy
pokazać, z·e dq jest dzielnikiem d 1 i d 2 . Istotnie:
d 1
=
dq
d 2
=
dq
1
q
2
q
2 N z za÷
oz·enia (9), czyli dq j d
1
2 N z za÷
oz·enia (9), czyli dq j d
2
31
Zatem dq jest wspólnym dzielnikiem liczb d 1 i d 2 .
2. Niech b bedzie
¾
dowolnym wspólnym dzielnikiem liczb d
to, z·e: b j d 1 i b j d 2 , czyli:
9 (k; m 2 N) d
1
9 (k; m 2 N)
1
= kb i d
b
= k
i
d
2
2
1
i d 2 , ozn.
= mb
b
=m
d
wiec
¾ db jest wspólnym dzielnikiem liczb d 1 i d 2 (nie koniecznie najwie¾
b
kszym). Zatem d
q, czyli b
dq. Z dowolności b wynika, z·e dq jest
NWD (d 1 ; d 2 ).
Uwaga 18 Zauwa·zmy, ·ze powy·zszy lemat 17 mo·zna udowodni´c dla dowolnej
liczby elementów NWD i NWW.
32
3
Rozk÷
ady regularne
W tym rozdziale przedstawimy analize¾ rozk÷
adów regularnych pochodza¾
cych z zeszytów naukowych Uniwersytetu ×ódzkiego [8]. U÷
amki egipskie
wykazuja¾ pewne w÷
asności regularności odkryte przez Sz. Wekslera. Celem
ustalenia kryterium rozk÷
adów zawartych w egipskiej tablicy podamy de…nicje¾
oraz uwagi, twierdzenia i stwierdzenia, które pozwola¾ nam na znalezienie
wszystkich moz·liwych rozk÷
adów regularnych dwucz÷
onowych, trójcz÷
onowych
i czterocz÷
onowych liczby n2 .
3.1
De…nicja rozk÷
adu regularnego
De…nicja 19 p + 1 cz÷onowym rozk÷adem regularnym liczby
przedstawienie tej liczby w postaci sumy:
2
n
nazywamy
p
1 X 1
2
=
+
n
x j=1 nyj
gdzie:
3.2
yj < yj+1 ; j = 1; :::; p
1; x = NWW (yj ; :::; yp ) ; x 2
n
;n
2
Rozk÷
ady regularne dwucz÷
onowe
Uwaga 20 Zgodnie z de…nicja¾19 dla p = 1 dwucz÷onowym rozk÷adem regularnym liczby n2 jest rozk÷ad postaci:
1
1
n
2
= +
, gdzie: x 2
;n
n
x nx
2
(10)
Twierdzenie 21 Dla liczby pierwszej n 3 istnieje dok÷adnie jeden rozk÷ad
regularny dwucz÷onowy liczby n2 postaci (10).
Dowód. Powyz·sze twierdzenie zostanie udowodnione jeśli wykaz·emy jednoznaczność i istnienie rozk÷
adu regularnego dwucz÷
onowego.
33
(a) Jednoznaczność:
Niech n
3 i niech (10) bedzie
¾
rozk÷
adem regularnym dwucz÷
onowym
liczby n2 wówczas:
2
1
1
=
+
n
x nx
2
n+1
=
n
nx
2x = n + 1
n+1
x =
2
co dowodzi jednoznaczności.
(b) Istnienie:
Niech x = n+1
. Pokaz·emy z·e wówczas (10) jest rozk÷
adem regularnym
2
2
n
dwucz÷
onowym liczby n . W tym celu pokaz·emy z·e x 2 2 ; n .
n
2
n
2
n
0
< x<n
n+1
<n
2
< n + 1 < 2n
< 1<n
<
Lewa strona nierówności jest oczywista (0 < 1), a prawa strona jest prawdziwa
(1 < n), gdyz· z za÷
oz·enia n 3, co dowodzi istnienia i kończy dowód ca÷
ego
twierdzenia.
W podobny sposób przedstawia to twierdzenie (jako w÷
asność) K. Vogela
[[7], str. 41]
Twierdzenie 22 Je·zeli n jest liczba¾pierwsza¾oraz n2 = x1 + ny1 1 dla pewnych
x < n oraz y1 , wówczas y1 = x i rozk÷ad (10) jest regularny.
34
Dowód. Niech n bedzie
¾
liczba¾ pierwsza¾ oraz
wówczas:
2
n
1
x
1
x
ny1
ny1
x
x
=
=
=
=
=
=
=
1 =
1 =
1 =
ny1
=
x
2
n
=
1
x
+
1
,
ny1
gdzie x < n
1
1
+
x ny1
2
1
n ny1
2y1 1
ny1
x (2y1 1)
2xy1 x
2xy1 ny1
y1 (2x n)
y1 (2x n)
x
n
2
y1
x
ny1
2y1
x
2y1 1
Prawa strona jest liczba¾ naturalna,
¾ stad
¾ lewa tez· musi być liczba¾ naturalna.
¾
Zatem ny1 dzieli sie¾ przez x (czyli x j ny1 ). Poniewaz· n jest liczba¾ pierwsza¾
to na mocy lematu 16 y1 dzieli sie¾ przez x (czyli x j y1 ). Zatem y1 = kx,
gdzie k 2 Z, wiec:
¾
2
n
1
x
1
x
nk
=
=
=
=
n =
n =
n 2 N; 2x 2 Z )
1
k
1
1
+
x nkx
2
1
n nkx
2kx 1
nkx
2kx 1
2kx 1
k
1
2x
k
2 Z; wiec
¾ k = 1.
35
Twierdzenie 23 Je·zeli n jest liczba¾ pierwsza¾ to istnieje dok÷adnie jedno
przedstawienie liczby n2 postaci:
1 1
2
= + , gdzie: x < z oraz x; z 2 N
(11)
n
x z
Dowód. Powyz·sze twierdzenie zostanie udowodnione jeśli wykaz·emy istnienie i jednoznaczność rozk÷
adu regularnego dwucz÷
onowego. Istnienie wynika
z dowodu tw. 21, pokaz·emy wiec
¾ jednoznaczność. Z tw. 21 wynika, z·e
wystarczy udowodnić, z·e wzór (11) jest rozk÷
adem regularnym, a z tw. 22
wynika, z·e wystarczy w tym celu pokazać, z·e z jest wielokrotnościa¾n i x < n.
(a) Pokaz·emy, z·e x < n:
2
1
=
+
n
x
1
2
=
x
n
2
1
=
n
z
1
x
1
z
1
z
Zauwaz·my, z·e:
x < z
1
1
>
x
z
1
1
<
x
z
Wówczas:
1
x
1
x
2
n
2
n
2
x
n
=
>
1
>
z
1
x
2
n
> x
>
(b) Pokaz·emy, z·e z jest wielokrotnościa¾ n:
2
1 1
=
+
n
x z
2
z+x
=
n
xz
2xz = (z + x) n
36
1
x
Stad
¾ n jest dzielnikiem prawej strony, wiec
¾ jest tez· dzielnikiem lewej strony.
Zatem n jest dzielnikiem 2xz. Poniewaz· n jest liczba¾ pierwsza¾ to n musi być
dzielnikiem z. Co na mocy (a) i (b) dowodzi jednoznaczności i kończy dowód
ca÷
ego twierdzenia.
3.3
Rozk÷
ady regularne trójcz÷
onowe
Uwaga 24 Zgodnie z de…nicja¾ 19 dla p = 2 trójcz÷onowym rozk÷adem regularnym liczby n2 jest rozk÷ad postaci:
1
1
1
2
=
+
+
n
x ny1 ny2
n
gdzie:
x2
; n ; x = NWW (y1 ; y2 ) ; y1 < y2
2
(12)
Twierdzenie 25 Dla liczby pierwszej n > 3 wszystkie rozk÷ady regularne
trójcz÷onowe postaci (12) takie, ·ze:
x2
n
; n ; x = NWW (y1 ; y2 ) ; y1 < y2
2
otrzymujemy przyjmujac:
¾
x = d NWW ( 1 ;
gdzie d;
1;
2
2) ,
y1 = d
2)
2d
1
+
1
1
<
2,
y2 = d
2
2 N i spe÷niaja¾nastepuj
¾ ac
¾ a¾równo´s´c:
NWW ( 1 ;
oraz
1,
NWD ( 1 ;
2)
= 1, d NWW ( 1 ;
1
(13)
=n
2
2)
2
n
;n
2
.
Dowód. " ) " Niech n > 3 i niech (12) bedzie
¾
rozk÷
adem regularnym
trójcz÷
onowym liczby n2 , wówczas:
2
1
1
1
=
+
+
n
x ny1 ny2
2
ny1 y2 + xy2 + xy1
=
n
nxy1 y2
37
Po pomnoz·eniu przez nxy1 y2 otrzymujemy:
(14)
2xy1 y2 = ny1 y2 + xy2 + xy1
2xy1 y2 = ny1 y2 + x (y1 + y2 )
Oznaczmy: d = NWD (y1 ; y2 ), wówczas:
y1 = d 1 , y2 = d
dla pewnych liczb d; 1 ; 2 2 N.
Zauwaz·my, z·e x = d NWW ( 1 ;
2)
2
gdyz·:
Lemat 17(A)
L = x = NWW (y1 ; y2 ) = NWW (d 1 ; d 2 )
=
= d NWW ( 1 ;
2)
=P
Podstawiajac
¾ powyz·szej podane wartości do równania (14) otrzymujemy:
2d NWW ( 1 ; 2 ) d 1 d 2 = nd 1 d
2d3 1 2 NWW ( 1 ; 2 ) = nd2 1
+ d NWW ( 1 ; 2 ) (d 1 + d 2 )
2
2 + d NWW ( 1 ; 2 ) ( 1 + 2 )
2
Stad:
¾
nd2
1 2
= 2d3
1 2
Po podzieleniu przez d2
NWW ( 1 ;
1 2
d2 NWW ( 1 ;
2)
2)
(
+
2)
+
2
d NWD ( 1 ;
2)
1
mamy:
n = 2d NWW ( 1 ;
2)
NWW ( 1 ;
2)
1
1 2
n = NWW ( 1 ;
n = NWW ( 1 ;
2)
2)
1
2
1 2
1 2
2d
2d
1
1
2
n = NWW ( 1 ;
2)
1
1
2d
+
1
1
Z określenia liczb d;
1;
2
2
wynika, z·e NWD ( 1 ;
d = NWD (y1 ; y2 ) = NWD (d 1 ; d 2 )
= 1, gdyz·:
Lemat 17(B)
=
Stad
¾ po podzieleniu przez d mamy:
1 = NWD ( 1 ;
38
2)
2)
Z de…nicji 19 rozk÷
adu regularnego wynika, z·e:
1
<
2;
poniewaz· y1 < y2
d NWW ( 1 ;
d NWW ( 1 ;
2 n2 ; n , poniewaz· z za÷
oz·enia x 2
2) = x
2)
" ( " Za÷
óz·my, z·e d;
1
<
2;
1;
2
NWD ( 1 ;
n
;n
2
, a w÷
aśnie
sa¾ rozwiazaniami
¾
równania (13), gdzie:
2)
= 1; d NWW ( 1 ;
2)
2
n
;n
2
Przyjmijmy, z·e:
2) ,
x = d NWW ( 1 ;
y1 = d 1 , y2 = d
(15)
2
Pokaz·emy, z·e równość (12) zachodzi i jest to rozk÷
ad regularny trójcz÷
onowy
2
liczby n .
(a) Pokaz·emy, z·e (12) zachodzi:
NWW ( 1 ;
2)
1
2d
+
1
1
2d NWW ( 1 ;
2)
NWW ( 1 ;
2)
1
+
1
Po pomnoz·eniu przez d2
nd2
1 2
= 2d3
1 2
1 2
= n
2
1
= n
2
mamy:
NWW ( 1 ;
2)
d2 NWW ( 1 ;
2)
2
+
1
1 2
1 2
Stad:
¾
2d3 1 2 NWW ( 1 ; 2 ) = nd2 1
2d NWW ( 1 ; 2 ) d 1 d 2 = nd 1 d
+ d2 NWW ( 1 ; 2 ) ( 1 + 2 )
2 + d NWW ( 1 ; 2 ) (d 1 + d 2 )
2
Wstawiajac
¾ (15) do powyz·szego równania otrzymujemy:
2xy1 y2
2xy1 y2
2
n
2
n
= ny1 y2 + x (y1 + y2 )
= ny1 y2 + xy1 + xy2
ny1 y2 + xy1 + xy2
=
xny1 y2
1
1
1
=
+
+
x ny1 ny2
39
(b) Pokaz·emy, z·e otrzymany rozk÷
ad jest trójcz÷
onowym rozk÷
adem regularnym liczby n2 :
x 2 n2 ; n , poniewaz· z za÷
oz·enia d NWW ( 1 ;
x = d NWW ( 1 ; 2 )
y1 < y2 , poniewaz· z za÷
oz·enia
1
<
2)
2
n
;n
2
, a w÷
aśnie
2
x = NWW (y1 ; y2 ), poniewaz·:
z za÷.
L = x = d NWW ( 1 ;
= NWW (y1 ; y2 ) = P
2)
Lemat 17(A)
=
NWW (d 1 ; d 2 ) =
Zatem ma mocy (a) i (b) pokazaliśmy, z·e (12) zachodzi i jest to rozk÷
ad
regularny trócz÷
onowy liczby n2 .
Stwierdzenie 26 Niech d; 1 ;
x = d NWW ( 1 ; 2 ), y1 = d
równowa·zna równo´sci:
2x
2 N. Za÷ó·zmy, ·ze NWD ( 1 ; 2 ) = 1 oraz
1 , y2 = d
2 . Wówczas równo´s´c (13) jest
2
(
1
+
2)
(16)
=n
Dowód. Niech d; 1 ; 2 2 N i NWD ( 1 ; 2 ) = 1. Stad
¾ na podstawie
wniosku 9 mamy, z·e: NWW ( 1 ; 2 ) = 1 2 . Wówczas:
NWW ( 1 ;
2)
1
2d
1
+
1
2d NWW ( 1 ;
2)
NWW ( 1 ;
2)
1
+
1
1
2x
= n
()
= n
()
= n
()
2
2
2
+
1
1 2
1 2
2x
Zatem stwierdzenie jest prawdziwe.
40
(
1
+
2)
= n
Twierdzenie 27
(A) Dla u÷
amka 23 nie istnieje rozk÷
ad regularny trójcz÷
onowy.
(B) Jez·eli n 5 jest liczba¾ pierwsza¾ to istnieje co najmniej jeden rozk÷
ad
2
regularny trójcz÷
onowy liczby n i jest ich ilość skończona.
Dowód. (A) Niech n = 3, wówczas na mocy tw. 25 rozk÷
ad regularny
trójcz÷
onowy postaci (12) otrzymujemy przyjmujac:
¾
x = d NWW ( 1 ;
gdzie d;
1;
2
= d 1 ; y2 = d
2
2 N i spe÷
niaja¾ równość z tw. 26, gdy:
<
1
2 ) ; y1
2 ; NWD ( 1 ;
2)
= 1; d NWW ( 1 ;
Poniewaz· musi być tak, aby d;
1
1;
2
=1i
2Ni
2
1
<
n
;n
2
2)
2
2,
a n = 3 wiec
¾
=2
Stad
¾ d = 1, gdyz· d NWW ( 1 ; 2 ) = d 2 2 23 ; 3 .
Zatem d = 1, 1 = 1, 2 = 2, wiec:
¾ x = d NWW ( 1 ; 2 ) = 2.
Podstawiajac
¾ wyliczone wartości do równania (16) mamy:
2x ( 1 + 2 ) = 3
2 2 (1 + 2) = 3
1 = 3
sprzeczność
Zatem d = 1, 1 = 1, 2 = 2 nie spe÷
niaja¾ równania (16), wiec
¾ dla n = 3 nie
istnieje rozk÷
ad regularny trójcz÷
onowy u÷
amka 23 .
(B)1. Pokaz·emy, z·e dla liczby pierwszej n 5 istnieje co najmniej jeden
rozk÷
ad regularny trójcz÷
onowy liczby n2 .
Niech n
5 bedzie
¾
liczba¾ pierwsza,
¾ wówczas na mocy twierdzenia 25
rozk÷
ad regularny trójcz÷
onowy liczby n2 postaci (12) otrzymujemy przyjmujac:
¾
x = d NWW ( 1 ; 2 ) ; y1 = d 1 ; y2 = d 2
gdzie d;
1;
2
1
2 N i spe÷
niaja¾ równość z tw. 26, gdy:
<
2;
NWD ( 1 ;
2)
= 1; d NWW ( 1 ;
41
2)
2
n
;n
2
(17)
Szukamy rozwiazań
¾
równania (16) tak aby by÷
y spe÷
nione warunki (17).
Zauwaz·my, z·e kaz·da liczba naturalna nie podzielna przez liczbe¾ 3, bedzie
¾
podzielna przez 3, gdy do niej dodamy 1 lub 2. Oczywiście kaz·da liczba
pierwsza n
5 nie jest liczba¾ podzielna¾ przez 3, ale kaz·da liczba pierwsza
n 5 bedzie
¾
podzielna przez 3, gdy dodamy do niej 1 lub 2.
Rozpatrzmy wiec
¾ dwa przypadki:
(i) n + 1 jest wielokrotno´scia¾ 3
Po÷
óz·my: d = 2, 1 = 1, 2 = n+1
.
3
Sprawdzimy czy spe÷
nione sa¾ warunki (17) i równość (16):
(a) warunki (17):
< 2 , poniewaz· 1 <
z za÷
oz·enia n 5.
1
NWD ( 1 ;
2)
d NWW ( 1 ;
n
2
3n
1
n
2 (n + 1)
3
, 3 < n + 1 , n > 2, prawda, gdyz·
= NWD 1; n+1
=1
3
2)
2
n
;n
2
, poniewaz·:
2 (n + 1)
<n
3
< 4 (n + 1) < 6n
< n + 4 < 3n
>
3 ^ n > 2 prawda, gdyz· z za÷
oz·enia n
<
(b) równość (16):
x = d NWW 1; n+1
=
3
L=2
n+1
3
1+
5
2(n+1)
3
n+1
3
=
4 (n + 1)
3
4+n
3
=
4n
n
3
=n=P
Zatem na mocy (a) i (b) spe÷
nion sa¾ warunki (17) i równość (16).
(ii) n + 2 jest wielokrotno´scia¾ 3
Po÷
óz·my: d = 1, 1 = 2, 2 = n+2
.
3
Sprawdzimy czy spe÷
nione sa¾ warunki (17) i równość (16):
(a) warunki (17):
, 6 < 2n + 4 , 2n + 4 > 6 , 2n > 2 ,
< 2 , poniewaz· 2 < n+2
3
n > 1, prawda, gdyz· z za÷
oz·enia n 5.
1
42
NWD ( 1 ;
2)
= NWD 2; n+2
= f1 lub 2g
3
= 2 to n+2
Gdyby NWD 2; n+2
musia÷
oby być liczba¾ parzysta,
¾ czyli
3
3
n+2
dla k 2 N mielibyśmy: 3 = 2k , n + 2 = 6k , n = 6k 2 wówczas
n by÷
aby liczba¾ parzysta,¾ a to jest sprzeczne z za÷
oz·eniem, gdyz· n 5 jest
liczba¾ pierwsza,
¾ wiec
¾ napewno nieparzysta.
¾ Zatem NWD 2; n+2
= 1.
3
d NWW ( 1 ;
n
2
3n
1
n
2)
2
n
;n
2
2 (n + 2)
<n
3
< 4n + 8 < 6n
< n + 8 < 3n
>
7 ^ n > 4 prawda, gdyz· z za÷
oz·enia n
<
(b) równość (16):
=1
x = d NWW 2; n+2
3
L=2
2n + 4
3
, poniewaz·:
2+
2(n+2)
3
n+2
3
=
=
5
2n+4
3
4n + 8
3
8+n
3
=
4n
n
3
=n=P
Zatem na mocy (a) i (b) spe÷
nione sa¾ warunki (17) i równość (16).
Zatem na mocy rozwaz·onych przypadków (i) i (ii) dla liczby pierwszej
n 5 istnieje co najmniej jeden rozk÷
ad regularny trójcz÷
onowy liczby n2 .
(B)2. Pokaz·emy, z·e dla liczby pierwszej n 5 ilość rozk÷
adów regularnych
trójcz÷
onowych liczby n2 jest skończona.
Ilość rozwiazań
¾
równania: NWD ( 1 ; 2 ) = 1, dajacych
¾
rozk÷
ad regularny
jest skończona poniewaz·:
d NWW ( 1 ;
2)
n
2
n
;n
2
< d NWW ( 1 ;
2
2)
<n
Zatem na mocy wniosku 9 mamy, z·e: d 1 2 < n. Stad
¾ d < n, 1 < n,
<
n.
W
konsekwencji
ilość
wszystkich
mo
z
liwych
rozk÷
adów regularnych
·
2
2
trójcz÷
onowych liczby n jest skończona i nie wieksza
¾
od n.
Zatem twierdzenie jest prawdziwe.
43
3.4
Rozk÷
ady regularne czterocz÷
onowe
Uwaga 28 Zgodnie z de…nicja¾ 19 dla p=3 czterocz÷onowym rozk÷adem regularnym liczby n2 jest rozk÷ad postaci:
1
1
2
1
1
=
+
+
+
n
x ny1 ny2 ny3
n
gdzie : x 2
; n ; x = NWW (y1 ; y2 ; y3 ) ; y1 < y2 < y3
2
(18)
Twierdzenie 29 Dla liczby pierwszej n > 3 wszystkie rozk÷ady regularne
czterocz÷onowe postaci(18) takie, ·ze:
n
; n ; x = NWW (y1 ; y2 ; y3 ) ; y1 < y2 < y3
2
x2
otrzymujemy przyjmujac:
¾
x = d NWW ( 1 ;
gdzie d;
1;
2;
3
2;
3) ,
1,
y1 = d
2;
3)
1
2d
+
1
1
<
2
<
2,
y3 = d
3
2 N i spe÷niaja¾nastepuj
¾ ac
¾ a¾równo´s´c:
NWW ( 1 ;
oraz
y2 = d
3,
NWD ( 1 ;
2;
3)
1
+
1
2
(19)
=n
3
= 1, d NWW ( 1 ;
2;
3)
2
n
;n
2
.
Dowód. " ) "Niech n > 13 i wzór (18) bedzie
¾
rozk÷
adem regularnym
czterocz÷
onowym liczby n2 wówczas:
2
1
1
1
1
=
+
+
+
n
x ny1 ny2 ny3
2
ny1 y2 y3 + xy2 y3 + xy1 y3 + xy1 y2
=
n
nxy1 y2 y3
Po pomnoz·eniu przez nxy1 y2 y3 otrzymujemy:
2xy1 y2 y3 = ny1 y2 y3 + x (y1 y2 + y2 y3 + y1 y3 )
Oznaczmy: d = NWD (y1 ; y2 ; y3 ), wówczas:
y 1 = d 1 ; y2 = d 2 ; y3 = d
44
3
(20)
dla pewnych liczb d; 1 ; 2 ; 3 2 N.
Zauwaz·my, z·e x = d NWW ( 1 ;
2;
poniewaz·:
3)
L = x = NWW (y1 ; y2 ; y3 ) = NWW (d 1 ; d 2 ; d 3 )
= d NWW ( 1 ; 2 ; 3 ) = P
Lemat 17(A) i uwaga 18
=
Podstawiajac
¾ podane powyz·ej wartości do równości (20) otrzymujemy:
2d NWW ( 1 ; 2 ; 3 ) d 1 d 2 d 3 =
= nd 1 d 2 d 3 + d NWW ( 1 ; 2 ; 3 ) (d 1 d
2
+ d 2d
3
+ d 1d 3)
Stad
¾ mamy, z·e:
2d4 1
= nd3
NWW ( 1 ; 2 ; 3 ) =
3
2 3 + d NWW ( 1 ; 2 ;
2 3
1
Po podzieleniu przez d3
2d NWW ( 1 ;
2;
3)
1 2 3
= n+
3)
(
1 2
+
+
2 3
1 3)
mamy:
1
NWW ( 1 ;
2;
3) ( 1 2
+
2 3
+
1 3)
1 2 3
2d NWW ( 1 ;
2;
3)
= n + NWW ( 1 ;
2;
3)
1
+
3
n = NWW ( 1 ;
2;
3)
2d
1
+
1
1
+
2
1
3
Z określenia liczb d;
1;
2;
3
wynika, z·e NWD ( 1 ;
d = NWD (y1 ; y2 ; y3 ) = NWD (d 1 ; d 2 ; d 3 )
= d NWD ( 1 ; 2 ; 3 )
1
2;
+
1
1
3)
2
= 1, gdyz·:
Lemat 17(B) i uwaga 18
=
Stad
¾ po podzieleniu przez d mamy:
1 = NWD ( 1 ;
2;
3)
Z de…nicji 19 wynika, z·e:
1
<
2
<
3,
d NWW ( 1 ;
d NWW ( 1 ;
poniewaz· y1 < y2 < y3
2 n2 ; n , gdyz· z za÷
oz·enia x 2
;
)
=
x.
2
3
2;
3)
45
n
;n
2
, a w÷
aśnie
" ( "Za÷
óz·my, z·e d;
gdzie:
1
<
2
3;
<
1;
NWD ( 1 ;
2;
2;
2 N i sa¾ rozwiazaniami
¾
równania (19),
3
3)
= 1; d NWW ( 1 ;
2;
n
;n
2
2
3)
Przyjmijmy, z·e:
x = d NWW ( 1 ;
2;
3) ,
y1 = d 1 , y2 = d 2 , y3 = d
(21)
3
Pokaz·emy, z·e równość (18) zachodzi i jest to rozk÷
ad regularny czterocz÷
onowy
2
liczby n .
(a) Pokaz·emy, z·e (18) zachodzi:
2d NWW ( 1 ;
2;
3)
NWW ( 1 ;
2;
1
3)
+
1
1
Po pomnoz·eniu przez d3
2d4 1
= nd3
1 2 3
1
+
2
=n
3
otrzymujemy:
NWW ( 1 ; 2 ; 3 ) =
3
2 3 + d 1 2 3 NWW ( 1 ;
2 3
1
2;
2 3+ 1 3+ 1 2
1 2 3
3)
Stad
¾ mamy:
2d NWW ( 1 ; 2 ; 3 ) d 1 d 2 d
= nd 1 d 2 d 3 + d NWW ( 1 ;
3
=
2 ; 3 ) (d 1 d
2
+ d 2d
3
+ d 1d 3)
Wstawiajac
¾ (21) do powyz·szego równania mamy:
2xy1 y2 y3 = ny1 y2 y3 + x (y1 y2 + y2 y3 + y1 y3 )
2xy1 y2 y3 = ny1 y2 y3 + xy1 y2 + xy2 y3 + xy1 y3
Po podzieleniu przez xy1 y2 y3 n otrzymujemy:
2
1
1
1
1
= +
+
+
n
x ny1 ny2 ny3
(b) Pokaz·emy, z·e otrzymany rozk÷
ad jest rozk÷
adem regularnym czterocz÷
onowym liczby n2 :
x 2 n2 ; n , gdyz· z za÷
oz·enia d NWW ( 1 ;
x = d NWW ( 1 ; 2 ; 3 )
46
2;
3)
2
n
;n
2
, a w÷
aśnie
y1 < y2 < y3 , gdyz· z za÷
oz·enia
<
1
2
<
3
x = NWW (y1 ; y2 ; y3 ), gdyz·:
Lemat 17(A) i uwaga 18
z za÷o z·enia
L = x
=
d NWW ( 1 ; 2 ; 3 )
=
= NWW (d 1 ; d 2 ; d 3 ) = NWW (y1 ; y2 ; y3 ) = P
Zatem na mocy (a) i (b) pokazaliśmy, z·e (18) zachodzi i jest to rozk÷
ad
2
regularny czterocz÷
onowy liczby n .
Stwierdzenie 30 Dla liczby pierwszej n < 13 nie istnieje rozk÷ad regularny
czterocz÷onowy liczby n2 .
Dowód. Niech n < 13 wówczas na mocy tw. 29 czterocz÷
onowy rozk÷
ad
2
regularny liczby n postaci (18) otrzymujemy przyjmujac:
¾
x = d NWW ( 1 ;
gdzie d;
1;
2;
3
2;
3) ,
1,
y1 = d
y2 = d
2,
y3 = d
3
2 N i spe÷
niaja¾ równość (19) gdy:
n
;n
(22)
2
Szukamy rozwiazań
¾
równania (19), tak, aby spe÷
nione by÷
y warunki(22).
Rozpatrzmy przypadki:
1
<
2
<
3;
NWD ( 1 ;
2;
3)
= 1; d NWW ( 1 ;
2;
3)
2
(i) n = 3 i n = 5
Dla n = 3 i n = 5 nie istnieje czterocz÷
onowy rozk÷
ad regularny u÷
amków:
2 2
i , poniewaz· nie da sie¾ dobrać liczb d; 1 ; 2 ; 3 2 N tak, aby 1 < 2 < 3
3 5
i d NWW ( 1 ; 2 ; 3 ) 2 n2 ; n .
(ii) n = 7
Dla n = 7 jedyne liczby d; 1 ; 2 ; 3 2 N spe÷
niajace
¾ warunki (22) to:
¾ te wartości do równania (19)
1 = 1, 2 = 2, 3 = 3, d = 1. Podstawiajac
otrzymujemy:
NWW ( 1 ;
2;
3)
1
2d
+
1
1
6
2
+
2
1+
1
= n
3
1 1
+
2 3
6 2
1
= 7
5
6
= 7
1 = 7 sprzeczność
47
Zatem 1 = 1, 2 = 2, 3 = 3, d = 1 nie spe÷
niaja¾ równości (19), wiec
¾ dla
2
n = 7 nie istnieje czterocz÷
onowy rozk÷
ad regularny u÷
amka 7 .
(iii) n = 11
Dla n = 11 wszystkie moz·liwe uk÷
ady liczb d;
warunki (22) to:
Lp. d
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
2
2
2
2
3
3
4
5
2
NWW (
3
5
8
10
6
9
8
10
4
1;
1;
2;
2;
3
2 N spe÷
niajace
¾
3)
6
10
8
10
6
9
8
10
4
Pokaz·emy, z·e z·eden z uk÷
adów tych liczb nie spe÷
nia równości (19):
Lp. NWW (
1;
h
)
2d
3
2;
1
+
1
1
6 2
1
1
2
+
1
3
=6 2
2
10 2
1
1
2
+
1
5
= 10 2
3
8 2
1
1
2
+
1
8
=8 2
4
10 2
1
1
2
+
1
10
= 10 2
1
+
2
1
3
i
= n = 11
1 56 = 1 6= 11
7
1 10
= 3 6= 11
1 58 = 3 6= 11
6
1 10
= 4 6= 11
5
6 2
1
1
3
+
1
6
=6 2
1 36 = 3 6= 11
6
9 2
1
1
3
+
1
9
=9 2
1 94 = 5 6= 11
7
8 2
1
1
4
+
1
8
=8 2
1 83 = 5 6= 11
8
10 2
1
9
4 8
1
1
5
1
2
+
+
1
10
1
4
= 10 2
=4 8
48
3
1 10
= 7 6= 11
1 34 = 25 6= 11
Zatem dla n = 11 nie istnieje czterocz÷
onowy rozk÷
ad regularny u÷
amka
2
.
11
Na mocy (i), (ii) i (iii) nie istnieje czterocz÷
onowy rozk÷
ad regularny
2
liczby n dla liczby pierwszej n < 13.
Lemat 31 Ka·zda¾liczbe¾ pierwsza¾n
n = 6l
5 mo·zna przedstawi´c w postaci:
1, gdzie l 2 N
Dowód. Mamy: n = 6l r, gdy l
0 i r 2 h0; 3i. Poniewaz· n
5 jest
liczba¾ pierwsza,
¾ wiec
¾ nie jest podzielne ani przez 2 ani przez 3. Stad
¾ r moz·e
przyjmować tylko wartość 1:
Lemat 32 Ka·zda¾liczbe¾ parzysta¾e mo·zna przedstawi´c w postaci:
e = 3k (6l
2) , gdzie k = 0; 1; ::: i l = 1; 2; :::
Dowód. Mamy: e = 3k q, gdy q jest podzielne przez 3. Jednocześnie:
q = 6l r, gdy l
0 i r 2 h0; 3i, przy czym analogicznie jak w lemacie
31, poniewaz· q nie jest podzielne przez 3 oraz q jest parzyste, gdyz· l jest
parzyste, musi być r = 2.
Lemat 33 Ka·zda¾liczbe¾ nieparzysta¾f mo·zna zapisa´c w postaci:
f = (2l
1) 2k
1, gdzie k; l 2 N
Dowód. Mamy: f + 1 = 2k q, gdzie q jest liczba¾nieparzysta,
¾ czyli q = 2l
Stad:
¾ f + 1 = 2k (2l 1), wiec
¾ f = (2l 1) 2k 1.
1.
Twierdzenie 34 Dla liczby pierwszej n
13 istnieje co najmniej jeden
2
czterocz÷onowy rozk÷ad regularny liczby n i jest ich ilo´s´c sko´nczona.
Dowód. 1. Pokaz·emy, z·e dla liczby pierwszej n
13 istnieje co najmniej
jeden czterocz÷
onowy rozk÷
ad regularny liczby n2 .
Niech n
13 bedzie
¾
liczba¾ pierwsza,
¾ wówczas na mocy tw. 29 rozk÷
ad
¾
regularny czterocz÷
onowy liczby n2 postaci (18) otrzymujemy przyjmujac:
x = d NWW ( 1 ;
2;
3) ,
y1 = d
49
1,
y2 = d
2,
y3 = d
3
gdzie d; 1 ; 2 ; 3 2 N i spe÷
niaja¾ równość (19), gdy zachodza¾ warunki (22).
Szukamy rozwiazań
¾
równania (19), tak, aby spe÷
nione by÷
y warunki (22).
Istotnie zgodnie z lematem 31 mamy, z·e: n = 6l 1, gdzie l 2 N.
Rozpatrzmy przypadki:
(i) n = 6e + 1, gdzie e > 2 jest liczba¾parzysta¾
Przyjmijmy: d = e+2
, 1 = 1, 2 = 2, 3 = 3.
2
Sprawdzamy czy spe÷
nione sa¾ warunki (22) i równość (19):
(a) warunki (22):
<
3,
NWD ( 1 ;
2;
3)
d NWW ( 1 ;
2;
1
<
2
poniewaz· 1 < 2 < 3
6e + 1
2
6e + 1
2
1
3e +
2
1
2
= 1, poniewaz· NWD (1; 2; 3) = 1
3)
n
;n
2
2
, poniewaz·:
e+2
6 < 6e + 1
2
<
< 3 (e + 2) < 6e + 1
< 3e + 6 < 6e + 1
< 6 < 3e + 1
5
1
^e>
2
3
6 >
prawda, gdyz· z za÷
oz·enia e > 2
(b) równość (19):
L=6
2
e+2
2
1+
1 1
+
2 3
=6 e+2
1
5
6
= 6e + 1 = n = P
Zatem na mocy (a) i (b) spe÷
nione sa¾ warunki (22) i równość (19).
(ii) n = 6f + 1, gdzie f
2 jest liczba¾ nieparzysta¾ okre´slona¾ tak, jak w
lemacie 33
Stad
¾ f = (2l 1) 2k 1.
0
1 W przypadku, gdy l = 1 przyjmijmy:
d = 2;
1
= 1;
2
= 2k 1 ;
3
= 2k+1
Sprawdzamy czy spe÷
nione sa¾ warunki (22) i równość (19):
(a) warunki (22):
50
poniewaz· 1 < 2k
<
3,
NWD ( 1 ;
2;
3)
d NWW ( 1 ;
2;
1
<
2
< 2k+1
1
= 1, poniewaz· NWD 1; 2k 1 ; 2k+1 = 1
3)
n
;n
2
2
1
2
1
3f +
2
, poniewaz·:
< 2 2k+1 < 6f + 1
3f +
< 2 2 2k < 6f + 1
Poniewaz· l = 1 z za÷
oz·enia, wiec
¾ powyz·sza¾ nierówność moz·emy zapisać
w postaci:
1
2
1
3f +
2
1
2
3f +
1) 2k
< 4 (2l
4 + 4 < 6f + 1
< 4f + 4 < 6f + 1
< f + 4 < 3f + 1
1
^ 3f + 1 > f + 4
2
1
3
f >
3 ^f >
prawda, gdyz· z za÷
oz·enia f
2
2
f +4 >
2
(b) równość (19):
L = 2k+1 2 2
= 2 2k 4
1+
1+
1
2k
1
+
"
1
= 2 2k 4
2k+1
2
1
+
k
2
2 2k
2k
2
1
+
2 2k
2 2k + 4 + 1
2 2k
= 2 2k 4
= 2 2k 4 2 2k 5 = 2k (2 4
= 6 (2l 1) 2k 5 = 6 (2l 1) 2k
= 6f + 1 = n = P
1+
1
2) 5 = 2k 6
6 + 1 = 6 (2l
=
poniewa z· l=1
5
=
k
1) 2
1 +1=
Zatem na mocy (a) i (b) spe÷
nione sa¾ warunki (22) i równość (19).
20 W przypadku, gdy l > 1 przyjmijmy:
d = l;
1
= 1;
2
= 6 2k 2 ;
51
3
!#
= 6 2k
=
Sprawdzamy czy spe÷
nione sa¾ warunki (22) i równość (19):
(a) warunki (22):
poniewaz· 1 < 6 2k
<
3,
NWD ( 1 ;
2;
3)
d NWW ( 1 ;
2;
1
<
3f +
3f +
3f +
3f +
3f +
3f +
3f +
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
< 6 2k
= 1, poniewaz· NWD 1; 6 2k 2 ; 6 2k = 1
2
3)
n
;n
2
, poniewaz·:
< 6 2k l < 6f + 1
< 3 2k 2l < 6f + 1
< 3 2k 2l
3 2k + 3 2k < 6f + 1
< 3 2k (2l
1) + 3 2k < 6f + 1
< 3 2k (2l
1)
3 + 3 + 3 2k < 6f + 1
< 3 2k (2l
1)
1 + 3 1 + 2k < 6f + 1
< 3f + 3 1 + 2k < 6f + 1
< 3 1 + 2k ^ f >
2
+ 2k
3
prawda, gdyz· z za÷
oz·enia f
2
(b) równość (19):
L = 6 2k 2l
"
1+
= 6 2k 2l
1+
= 6 2k 2l
1+
= 6 2k 2l
= 6 2k (2l
1
6 2k
1
6
3
2
2k
4
1
=
6 2k
!#
1
+
=
6 2k
2
+
1
1
+
k
6 2k
2
6 2k 5 = 6 2k (2l
1) 6 + 1 = 6 2k (2l
= 6 2k 2l
1)
1)
6 2k + 4 + 1
6 2k
5=
1 + 1 = 6f + 1 = n = P
Zatem na mocy (a) i (b) spe÷
nione sa¾ warunki (22) i równość (19).
52
=
(iii) n = 6e 1, gdzie e > 2 jest liczba¾parzysta¾
Zgodnie z lematem 32 mamy, z·e: e = 3k (6l 2).
10 W przypadku, gdy e = 3k (6l 2) przyjmijmy:
d = 2l;
= 1;
1
2
= 3;
3
= 9 3k
Sprawdzamy czy spe÷
nione sa¾ warunki (22) i równość (19):
(a) warunki (22):
poniewaz· 1 < 3 < 9 3k
<
3,
NWD ( 1 ;
2;
3)
d NWW ( 1 ;
2;
1
<
3e
3e
3e
3e
3e
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
= 1, poniewaz· NWD 1; 3; 9 3k = 1
3)
2
n
;n
2
, poniewaz·:
< 2l 9 3k < 6e
1
< 3 3k 6l < 6e
1
< 3 3k (6l
2 + 2) < 6e
< 3 3k (6l
2) + 2 3 3k < 6e
< 3e + 6 3k < 6e
< 6 3k < 3e
< 6 3k ^ e >
1
1
1
1
6 3k + 1
3
prawda, gdyz· z za÷
oz·enia e > 2
(b) równość (19):
1
1
9 3k + 3 3k + 1
k
+
=
9
3
4l
3 9 3k
9 3k
= 4l 9 3k 9 3k 3 3k 1 = 3k (4l 9 9 3) 1 =
= 3k (36l 12) 1 = 3k 6 (6l 2) 1 = 6e 1 = n = P
L = 9 3k 2 2l
1+
Zatem na mocy (a) i (b) spe÷
nione sa¾ warunki (22) i równość (19).
53
=
20 W przypadku, gdy e = 3k (6l + 2) przyjmijmy:
d = l + 1;
1
= 1;
2
= 3;
3
= 18 3k
Sprawdzamy czy spe÷
nione sa¾ warunki (22) i równość (19):
(a) warunki (22):
poniewaz· 1 < 3 < 18 3k
<
3,
NWD ( 1 ;
2;
3)
d NWW ( 1 ;
2;
1
3e
3e
3e
3e
3e
<
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
= 1, poniewaz· NWD 1; 3; 18 3k = 1
3)
2
n
;n
2
, poniewaz·:
< (l + 1) 18 3k < 6e
1
< 3k 3 6 (l + 1) < 6e
1
< 3k 3 (6l + 2 + 4) < 6e
1
< 3k 3 (6l + 2) + 3k 3 4 < 6e
< 3e + 3k 12 < 6e
< 3k 12 < 3e
< 3k 12 ^ e >
1
1
1
3k 12 + 1
3
prawda, gdyz· z za÷
oz·enia e > 2
(b) równość (19):
1
1
+
=
3 18 3k
1 + 6 3k + 18 3k
18 3k (2l + 2)
=
18 3k
18 3k (2l + 2) 1 6 3k 18 3k = 18 3k (2l + 2 1) 1 6 3k =
3 6 3k (2l + 1) 1 6 3k = 6 3k (6l + 3) 1 6 3k =
6 3k (6l + 2 + 1) 1 6 3k = 6 3k (6l + 2) 1 = 6e 1 = n = P
L = 18 3k 2 (l + 1)
=
=
=
=
1+
Zatem na mocy (a) i (b) spe÷
nione sa¾ warunki (22) i równość (19).
54
(iv) n = 6f 1, gdzie f > 2 jest liczba¾nieparzysta¾
Kaz·da¾ liczbe¾ nieparzysta¾ przedstawić moz·na w postaci: f= 4l
10 W przypadku, gdy f = 4l 1 przyjmijmy:
d=
3 (f + 1)
;
4
1
= 1;
2
= 2;
3
1.
=4
Sprawdzamy czy spe÷
nione sa¾ warunki (22) i równość (19):
(a) warunki (22):
<
3,
NWD ( 1 ;
2;
3)
d NWW ( 1 ;
2;
1
<
2
3f
3f
poniewaz· 1 < 2 < 4
1
2
1
2
1
2
1
2
= 1, poniewaz· NWD (1; 2; 4) = 1
3)
2
n
;n
2
, poniewaz·:
< 3 (f + 1) < 6f
< 3f + 3 < 6f
< 3 < 3f
< 3^f >
1
1
1
4
3
prawdz, gdyz· z za÷
oz·enia f > 2
(b) równość (19):
3 (f + 1)
1 1
3 (f + 1)
1+ +
=4
4
2 4
4
= 6f + 6 7 = 6f 1 = n = P
L = 4
7
= 6 (f + 1)
4
Zatem na mocy (a) i (b) spe÷
nione sa¾ warunki (22) i równość (19).
0
2 W przypadku, gdy f = 4l + 1 przyjmijmy:
d=
f +3
;
4
1
= 1;
2
= 3;
3
=4
Sprawdzamy czy spe÷
nione sa¾ warunki (22) i równość (19):
(a) warunki (22):
1
<
2
<
3,
poniewaz· 1 < 3 < 4
55
7=
NWD ( 1 ;
2;
3)
d NWW ( 1 ;
2;
3f
3f
1
2
1
2
1
2
1
2
= 1, poniewaz· NWD (1; 3; 4) = 1
3)
2
< 12
n
;n
2
, poniewaz·:
f +3
< 6f
4
< 3f + 9 < 6f
< 9 < 3f
1
< 9^f >
10
3
1
1
prawdz, gdyz· z za÷
oz·enia f > 2
(b) równość (19):
1 1
19
f +3
1+ +
= 12 2 (f + 3)
4
3 4
12
= 6 (f + 3) 19 = 6f + 18 19 = 6f 1 = n = P
L = 12 2
=
Zatem na mocy (a) i (b) spe÷
nione sa¾ warunki (22) i równość (19).
2. Pokaz·emy, z·e dla liczby pierwszej n 13 ilość czterocz÷
onowych rozk÷
a2
dów regularnych liczby n jest skończona.
Ilość rozwiazań
¾
równania NWD ( 1 ; 2 ; 3 ) = 1 dajacych
¾
rozk÷
ad regularny jest skończona, poniewaz·:
n
< d NWW ( 1 ;
2
2;
3)
<n
2;
3)
<n
Stad
¾ mamy:
d < n ^ NWW ( 1 ;
Wynika to od razu z tego, z·e liczby d; 1 ; 2 ; 3 < n i w konsekwencji ilość
wszystkich moz·liwych rozk÷
adów regularnuch czterocz÷
onowych liczby n2 jest
skończona i nie wieksza
¾
od n.
Zatem twierdzenie jest prawdziwe.
56
4
Tabele rozk÷
adów regularnych
Twierdzenia, które zosta÷
y udowodnione w rozdziale 3 pozwalaja¾ znaleźć
wszystkie rozk÷
ady regularne dla liczb pierwszych.
Rozk÷
ady regularne dwucz÷
onowe znajdujemy za pomoca¾ wzoru (10) oraz
twierdzenia 21, podstawiajac
¾ za x = n+1
.
2
Rozk÷
ady regularne trójcz÷
onowe obliczamy w ten sposób, z·e majac
¾ dana¾
liczbe¾ pierwsza¾ n rozwaz·amy na mocy tw. 25 najpierw wszystkie moz·liwe
uk÷
ady liczb 1 < 2 < n, gdzie oczywiście 1 ; 2 2 N i bierzemy pod uwage¾
tylko te liczby, których NWD ( 1 ; 2 ) = 1. Nastepnie
¾
dobieramy d 2 N tak
aby d NWW ( 1 ; 2 ) 2 n2 ; n i sprawdzamy czy spe÷
niona jest równość (13).
Jez·eli te wszystkie warunki sa¾spe÷
nione to wyliczamy x; y1 ; y2 i podstawiamy
do wzoru (12).
Rozk÷
ady regularne czterocz÷
onowe obliczamy w ten sposób, z·e majac
¾
dana¾ liczbe¾ pierwsza¾ n rozwaz·amy na mocy tw. 29 najpierw wszystkie
moz·liwe uk÷
ady liczb 1 < 2 < 3 < n, gdzie oczywiście 1 ; 2 ; 3 2 N
i bierzemy pod uwage¾ tylko te liczby, których NWD ( 1 ; 2 ; 3 ) = 1. Naste¾
n
pnie dobieramy d 2 N tak aby d NWW ( 1 ; 2 ; 3 ) 2 2 ; n i sprawdzamy
czy spe÷
niona jest równość (19). Jez·eli te wszystkie warunki sa¾ spe÷
nione to
wyliczamy x; y1 ; y2 ; y3 i podstawiamy do wzoru (18).
Porównujac
¾ wszystkie moz·liwe rozk÷
ady regularne dwucz÷
onowe, trójcz÷
onowe i czterocz÷
onowe dla liczb pierwszych n
5 dla których rozk÷
ady nie
sa¾ jednoznaczne wg Sz. Wekslera [[8], str. 111] dochodzimy do wniosku, z·e
spośród wszystkich moz·liwych rozk÷
adów regularnych dla
n = 5; 11; 17; 19; 29; 31; 37; 41; 43; 59; 67; 73; 79; 83; 97
rozk÷
ad zawarty w tablicy Egipcjan ma najmniejszy mianownik ostatniego
u÷
amka. Regu÷
a ta nie dotyczy jednak n = 7; 13; 23; 47; 53; 61; 71; 89.
Poniz·sze tabele zawieraja¾ wszystkie moz·liwe rozk÷
ady regularne dwucz÷
onowe, trójcz÷
onowe i czterocz÷
onowe dla liczby pierwszej n 2 [3; 101]. Rozk÷
ady te zosta÷
y wyliczone na podstawie programu komputerowego, którego plik
tekstowy za÷
aczam
¾
na końcu pracy. W tabeli dla wiekszej
¾
przejz·ystości dla
kaz·dego n podane sa¾ odpowiednio liczby:
d;
1;
2;
3;
NWW ( 1 ;
2)
= 1; NWW ( 1 ;
2;
3)
= 1; x; y1 ; y2 ; y3
Rozk÷
ady, które sa¾ zawarte w tablicy Egipcjan zosta÷
y napisane t÷
ustym
drukiem.
57
Tabele wszystkich moz·liwych dwucz÷
onowych i trójcz÷
onowych rozk÷
adów
regularnych:
dwucz÷
onowe
n
x
y1
3
2
2
5
3
3
7
4
4
11
6
6
13
7
7
17
9
9
19
10
10
23
29
12
15
12
15
31
16
16
37
19
19
41
21
21
d
2
1
2
4
1
5
2
1
3
2
1
2
8
3
2
3
1
1
10
1
1
11
4
2
2
1
1
2
1
1
2
1
1
3
1
2
2
1
1
1
1
2
2
4
1
2
3
1
1
1
3
2
2
3
4
2
5
2
6
4
4
3
7
8
2
6
10
3
11
5
2
13
8
2
6
14
4
58
trójcz÷
onowe
NWW ( 1 ; 2 )
x
y1
y2
2
6
4
2
10
2
6
12
4
6
14
8
2
6
10
6
22
20
2
26
24
2
6
14
12
4
6
8
8
10
10
12
12
12
12
14
16
16
18
20
18
22
20
20
26
24
22
24
28
24
2
2
2
4
5
5
2
3
3
4
2
2
8
3
2
6
2
4
10
2
3
11
4
2
6
4
3
8
8
10
10
12
4
12
6
7
16
16
18
20
9
11
5
20
13
8
22
24
28
8
dwucz÷
onowe
n
x
y1
43
22
22
47
24
24
53
27
27
59
30
30
61
31
31
67
34
34
71
36
36
d
6
4
1
2
2
1
14
5
2
3
8
3
2
1
16
2
1
9
6
1
1
1
5
2
2
1
1
1
2
2
1
2
3
1
1
1
2
1
1
1
4
1
2
2
1
2
2
3
5
1
1
4
6
trójcz÷
onowe
NWW ( 1 ; 2 )
2
4
4
3
6
15
30
16
16
7
14
10
30
2
2
6
6
18
18
5
10
4
4
12
12
20
20
9
36
2
2
9
18
21
42
4
4
3
6
23
46
14
42
8
40
8
8
24
24
5
20
7
42
59
x y1
24 6
24 8
30 2
32 2
28 4
30 3
28 14
30 5
36 2
30 6
32 8
36 3
40 2
36 4
32 16
36 4
42 2
36 9
36 12
46 2
42 3
40 5
40 5
48 2
40 8
42 6
y2
24
12
15
32
14
10
28
30
36
15
32
36
40
9
32
18
21
36
18
23
14
8
40
48
10
7
dwucz÷
onowe
n
x
y1
d
73
37
37
19
4
1
1
79
40
40
3
7
1
83
42
42
11
4
2
89
45
45
23
8
5
3
2
2
4
97
49
49
25
4
3
1
1
1
101
51
51
26
9
2
2
1
1
1
2
2
4
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
1
1
2
2
3
7
1
1
1
4
4
2
2
5
25
11
16
3
27
4
12
28
2
6
10
18
30
13
4
2
14
9
33
20
8
2
6
34
7
15
60
trójcz÷
onowe
NWW ( 1 ; 2 ) x y1
2
38 19
10
40 8
50
50 2
44
44 4
16
48 3
6
42 14
54
54 2
4
44 11
12
48 4
28
56 2
2
46 23
6
48 8
10
50 5
18
54 3
30
60 2
26
52 4
12
48 12
2
50 25
14
56 4
18
54 6
66
66 2
60
60 3
56
56 7
2
52 26
6
54 9
34
68 2
28
56 8
60
60 4
y2
38
20
25
11
48
21
27
44
48
56
46
48
50
54
60
26
16
50
56
27
33
20
8
52
54
68
14
15
Tabele wszystkich moz·liwych rozk÷
adów regularnych czterocz÷
onowych:
n d
13 1
2
17 3
19 2
1
23 2
2
29 2
2
1
31 2
2
1
1
1
37 4
2
3
2
1
1
41 6
3
2
1
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
4
1
1
2
3
3
1
1
1
2
2
2
1
1
1
2
2
3
2
3
2
2
2
3
3
2
2
3
5
3
4
4
4
7
2
3
4
3
5
7
2
3
5
3
4
5
3
12
3
4
8
9
9
5
12
4
10
12
6
7
8
21
3
5
8
12
15
28
4
9
15
36
9
10
NWW (
1;
12
6
4
8
18
9
10
12
12
20
12
12
28
24
21
6
15
8
12
30
28
4
9
15
36
36
30
61
2;
3)
x y1
12 2
12 2
12 3
16 2
18 2
18 2
20 2
24 2
24 2
20 4
24 2
24 2
28 2
24 3
21 3
24 4
30 2
24 3
24 4
30 2
28 2
24 6
27 3
30 2
36 2
36 2
30 3
y2
3
4
6
4
3
6
4
4
6
5
6
8
4
4
7
8
6
12
6
5
7
12
9
10
3
4
5
y3
12
6
12
16
9
18
10
24
8
10
24
12
7
8
21
12
10
24
24
15
28
24
27
30
36
9
10
n d
43 3
2
2
1
1
1
47 2
3
1
1
1
1
1
53 2
3
3
2
4
2
1
1
59 2
4
2
3
1
1
1
1
2
3
4
1
1
2
2
2
3
5
1
1
1
1
1
1
2
4
1
1
1
2
2
2
2
4
3
5
7
3
5
3
5
9
4
6
2
2
3
3
4
4
3
6
2
3
7
3
3
5
9
16
7
30
14
18
10
21
8
12
9
15
11
12
4
7
8
10
16
9
24
9
21
4
NWW (
1;
10
18
16
42
30
28
18
10
42
40
36
36
30
22
12
12
21
8
20
48
36
24
9
21
12
62
2;
3)
x y1
30 3
36 2
32 2
42 2
30 3
28 4
36 2
30 3
42 2
40 2
36 2
36 3
30 5
44 2
36 3
36 3
42 2
32 4
40 2
48 2
36 4
48 2
36 4
42 2
36 6
y2
6
4
8
3
5
7
6
15
3
5
9
4
6
4
6
9
6
16
8
3
6
4
12
14
9
y3
15
18
32
7
30
28
36
30
21
8
12
9
15
22
36
12
14
32
20
16
9
48
36
42
12
n d
61 6
3
2
3
1
2
1
1
1
1
1
1
67 5
3
4
2
3
2
1
1
71 3
2
3
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
3
3
3
4
1
1
1
1
1
1
2
3
1
1
1
2
2
3
4
2
3
2
2
3
3
3
4
4
11
5
7
13
5
2
3
5
6
7
8
3
4
2
3
5
3
4
8
11
3
7
8
12
27
5
5
44
9
14
39
40
8
5
10
24
14
12
20
48
16
27
15
11
15
16
22
NWW (
1;
6
14
24
12
54
20
52
44
45
42
39
40
8
15
10
24
14
24
60
48
16
27
15
66
60
48
44
63
2;
3)
x y1
36 6
42 3
48 2
36 6
54 2
40 4
52 2
44 2
45 3
42 3
39 3
40 4
40 5
45 3
40 4
48 2
42 3
48 2
60 2
48 3
48 3
54 2
45 3
66 2
60 2
48 3
44 4
y2
12
6
6
9
3
8
4
11
5
7
13
5
10
9
20
12
21
16
3
4
6
6
15
3
4
8
11
y3
18
21
16
36
27
10
13
44
9
14
39
40
40
15
40
48
42
24
20
48
48
54
45
11
15
16
22
n
73
d
7
10
2
2
2
1
1
1
1
2
1
1
1
79 3
2
4
2
4
2
2
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
5
1
1
1
1
1
1
1
3
3
2
3
2
2
2
4
3
5
9
13
4
7
8
12
9
2
2
3
3
4
5
7
4
4
3
4
15
7
8
12
27
52
5
21
48
16
15
9
32
12
30
6
6
28
8
10
NWW (
1;
6
4
30
28
24
60
54
52
60
21
48
48
45
18
32
12
30
12
30
28
24
60
64
2;
3)
x y1
42 7
40 10
60 2
56 2
48 4
60 2
54 2
52 2
60 3
42 6
48 3
48 3
45 5
54 3
64 2
48 4
60 2
48 4
60 2
56 2
48 6
60 3
y2
14
20
4
8
6
5
9
13
4
14
8
12
9
6
4
12
6
16
10
14
8
4
y3
21
40
30
14
16
12
27
52
5
42
48
16
15
27
64
48
60
24
12
56
16
10
n
83
d
5
6
2
3
2
2
4
1
1
1
1
2
1
1
89 12
4
3
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
1
1
1
1
2
2
2
3
3
4
4
2
3
2
2
2
3
5
6
3
3
15
4
5
8
5
7
2
2
2
2
3
3
5
7
10
5
7
5
8
17
18
30
15
4
72
20
30
12
12
6
8
4
7
20
36
5
39
35
9
12
15
56
NWW (
1;
10
8
34
18
30
30
12
72
60
60
60
24
60
56
4
14
20
36
30
78
70
63
60
60
56
65
2;
3)
x y1
50 5
48 6
68 2
54 3
60 2
60 2
48 8
72 2
60 2
60 3
60 3
48 6
60 4
56 4
48 12
56 4
60 3
72 2
60 4
78 2
70 2
63 3
60 3
60 4
56 4
y2
10
12
4
9
10
12
12
3
15
4
5
16
5
7
24
8
6
4
6
3
5
7
10
5
7
y3
25
48
34
54
60
30
16
72
20
30
12
24
6
8
48
28
60
72
10
39
35
9
12
15
56
n
97
d
9
13
3
4
3
2
2
3
1
2
1
1
1
1
101 5
5
2
7
4
2
3
2
3
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
5
5
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
3
5
2
3
2
2
2
3
3
4
5
10
3
5
9
17
6
10
2
3
3
4
5
6
7
9
4
4
4
5
11
12
3
4
11
5
21
18
35
20
84
15
24
68
60
12
12
4
13
8
15
36
21
12
5
21
72
10
22
30
NWW (
1;
6
4
22
15
21
36
35
20
84
30
72
68
60
60
12
12
39
8
15
36
21
36
20
84
72
30
66
60
66
2;
3)
x y1
54 9
52 13
66 3
60 4
63 3
72 2
70 2
60 3
84 2
60 4
72 2
68 2
60 5
60 5
60 5
60 5
78 2
56 7
60 4
72 2
63 3
72 2
60 6
84 2
72 3
60 6
66 3
60 5
y2
18
26
6
12
9
8
10
30
3
10
9
17
6
10
10
15
6
28
20
12
21
18
12
4
4
10
11
12
y3
27
52
33
20
63
36
70
60
84
30
24
68
60
12
60
20
26
56
60
72
63
24
15
21
72
20
22
30
Z tabel odczytać moz·na, z·e odchylenia od kryterium wyboru rozk÷
adów
(zawartych w egipskiej tablicy) w postaci minimum mianownika ostatniego
u÷
amka sa¾ niewielkie. Jak pisze Sz. Weksler [[8], str. 112-113] wynikać
to moz·e z nieznajomości innego, lepszego rozk÷
adu lub tez· przy wyborze
mog÷
y odgrywać role¾ inne wzgledy
¾ jak np. mniejsza ilość sk÷
adników przy
n = 7; 23; 47; 53 lub np. parzystość mianowników przy n = 13; 61; 71; 89, co
mia÷
o znaczenie przy korzystaniu z tablicy jako środka pomocniczego przy
wykonywaniu dzia÷
ań.
Zauwaz·yć moz·na równiez·, z·e dla n = 47; 53; 61; 71; 89 mianownik x pierwszego u÷
amka rozk÷
adu jest liczba¾ podzielna¾ przez 10, a wiec
¾ odpowiednio
x = 30; 30; 40; 40; 60 przy najmniejszym spośród wszystkich moz·liwych dla
danego x ostatniego sk÷
adnika. Być moz·e w omawianych przypadkach z góry
by÷dobierany pierwszy u÷
amek rozk÷
adu (jednak przy doborze pierwszego
u÷
amka rozk÷
adu nie moz·na zaobserwować z·adnej prawid÷
owości).
67
5
Wnioski o u÷
amkach i znaczenie matematyki Egiptu
5.1
Wnioski o u÷
amkach egipskich
Rozk÷
ady zawarte w tablicy Egipcjan wykazuja¾ nastepuj
¾ ace
¾ prawid÷
owości
[[8], str. 104]:
mianownik pierwszego (oprócz n = 101) najwiekszego
¾
sk÷
adnika rozk÷
an
du jest zawarty wewnatrz
¾ przedzia÷
u 2;n
dla n pierwszych (oprócz n = 101) mianownik pierwszego u÷
amka jest
NWW ilorazów pozosta÷
ych mianowników przez n
rozk÷
ady dla liczb z÷
oz·onych n1 = n k otrzymane zosta÷
y z analogicznych dla n pierwszych droga¾ pomnoz·enia mianowników wyrazów
rozwaz·anego rozk÷
adu przez czynnik uzupe÷
niajacy
¾ k; w ten sposób kryterium wyboru rozk÷
adu jest w tym przypadku zdeterminowane przez
2
2
1
1
1
1
rozk÷
ad dla n1 pierwszych np. 55
= 11
= 15 16 + 66
= 30
+ 330
.
5
Nastepuj
¾ ace
¾ rozk÷
ady:
2
1
1
=
+
35
30 42
2
1
1
=
+
91
70 130
2
1
1
1
1
=
+
+
+
101
101 202 303 606
sa¾ wyjatkowe,
¾
gdyz· nie sa¾ regularne.
Odpowiednie rozk÷
ady regularne dla u÷
amka
2
35
maja¾ postać:
dwucz÷
onowe:
2
35
=
1
18
+
1
18 35
trójcz÷
onowe:
2
35
=
1
20
+
1
5 35
+
1
20 35
2
35
=
1
24
+
1
2 35
+
1
24 35
2
35
=
1
24
+
1
3 35
+
1
6 35
+
1
24 35
2
35
=
1
24
+
1
4 35
+
1
6 35
+
1
8 35
2
35
=
1
24
+
1
3 35
+
1
8 35
+
1
12 35
czterocz÷
onowe:
68
Natomiast rozk÷
ady, które nie sa¾ regularne moz·emy otrzymać z rozk÷
adu
danej liczby na czynniki pierwsze. Stad
¾ dla liczby 35 sa¾ to :
2
35
=
1
21
+
1
105
2
35
=
1
20
+
1
1140
1
73
=
=
1
54
2
.
91
Podobnie jest z rozk÷
adem u÷
amka
dla tego u÷
amka to:
+
1
7 15
1
5 228
+
Odpowiednie rozk÷
ady regularne
dwucz÷
onowe:
2
91
=
1
46
+
1
46 91
trójcz÷
onowe:
2
91
=
1
48
+
1
12 91
+
1
48 91
2
91
=
1
48
+
1
16 91
+
1
24 91
2
91
=
1
62
+
1
2 91
+
1
31 91
2
91
=
1
60
+
1
3 91
+
1
12 91
+
1
15 91
2
91
=
1
64
+
1
2 91
+
1
16 91
+
1
64 91
2
91
=
1
54
+
1
6 91
+
1
9 91
+
1
27 91
2
91
=
1
76
+
1
2 91
+
1
4 91
+
1
19 91
2
91
=
1
72
+
1
2 91
+
1
8 91
+
1
9 91
2
91
=
1
66
+
1
2 91
+
1
11 91
+
1
33 91
2
91
=
1
60
+
1
3 91
+
1
10 91
+
1
20 91
2
91
=
1
57
+
1
3 91
+
1
19 91
+
1
57 91
2
91
=
1
60
+
1
4 91
+
1
5 91
+
1
30 91
2
91
=
1
60
+
1
4 91
+
1
6 91
+
1
15 91
czterocz÷
onowe:
Natomiast rozk÷
ady, które nie sa¾ regularne dla liczby 91 maja¾ postać:
dwucz÷
onowe:
2
91
=
1
52
+
1
364
=
1
13 4
trójcz÷
onowe:
2
91
=
1
56
+
1
364
+
1
728
+
=
1
13 28
1
78
+
1
7 52
+
1
7 104
Zatem widać, z·e rozk÷
ady te w obu przypadkach maja¾ mianownik ostatniego u÷
amka mniejszy od odpowiednich mianowników rozk÷
adów regularnych, a ten zawarty w tablicy Egipcjan jest znacznie mniejszy.
69
2
Rozk÷
ady regularne dla u÷
amka 101
moz·emy odczytać z tabel, dla dwucz÷
onowych taki rozk÷
ad jest oczywiście 1, dla trójcz÷
onowych jest ich 5, a dla
czterocz÷
onowych 14. Rozk÷
ady o najmniejszych mianownikach ostatniego
sk÷
adnika to:
dwucz÷
onowe:
2
101
=
1
51
+
1
51 101
trójcz÷
onowe:
2
101
=
1
56
+
1
8 101
+
1
14 101
czterocz÷
onowe:
2
101
=
1
60
+
1
6 101
+
1
12 101
+
1
15 101
Zatem rozk÷
ad zawarty w egipskiej tablicy ma mianownik ostatniego u÷
amka
znacznie mniejszy.
Zdaniem Sz. Wekslera [[8], str. 114] stad
¾ moz·naby wnioskować, z·e dobór
rozk÷
adów dokonywany by÷z punktu widzenia uzyskania rozk÷
adu o moz·liwie
najmniejszym mianowniku ostatniego u÷
amka. Jez·eli taki cel mieli autorzy
tablicy, to moz·naby powiedzieć, z·e zosta÷on w zasadzie osiagni
¾ ety.
¾ Nie wiemy
jednak jaka¾ metoda,¾ gdyz· nic nie wskazuje na to by staroz·ytni rachmistrze
umieli znaleźć wszystkie rozk÷
ady i spośród nich dokonywali wyboru. Nalez·y
jednak przypuszczać, z·e wybór zosta÷dokonany metoda¾prób i b÷
edów.
¾
Jez·eli
faktycznie tak by÷
o, to biorac
¾ pod uwage¾ skomplikowana¾numeracje¾ staroegipska¾w zakresie liczb wymiernych, uzyskane wyniki nalez·y uznać za znakomite.
5.2
Znaczenie matematyki staroz·ytnego Egiptu
W staroz·ytnym Egipcie jak pisze A.P. Juszkiewicz [[2], str. 37] matematyka
stanowi÷
a zespó÷wiadomości jeszcze nierozdzielnych na arytmetyk¾
e, algebre,
¾
geometrie¾ i by÷
a przede wszystkim zbiorem przepisów na liczbowe rozwiaza¾
nia najprostszych zadań. Wg autorów ksia¾z·ki Od piramid do gwiazd [[1], str.
9] problemy, z jakimi stykali sie¾ egipscy pisarze mia÷
y z regu÷
y charakter praktyczny (dotyczy÷
y np. ilości chleba, karmienia zwierzat
¾ czy przechowywania
ziarna). Niektóre z tych zadań posiada÷
y jednak cechy rozwaz·ań teoretycznych (np. jak podzielić 100 chlebów pomiedzy
¾
pieć
¾ osób, w taki sposób,
aby ich cześci
¾ stanowi÷
y postep
¾ arytmetyczny i aby jedna siódma sumy trzech
duz·ych cześci
¾ by÷
a równa sumie dwóch mniejszych). Pojawia÷
y sie¾ tez· zadania z zastosowaniem szeregu geometrycznego (np. siedem domów w kaz·dym
by÷
o siedem kotów, z których kaz·dy zjad÷siedem myszy, itd.[1:2, str. 8]) oraz
70
zadania geometryczne: powierzchnie¾ ko÷
a obliczano za pomoca¾ wzoru:
S=
d
d
9
2
;
gdzie d stanowi÷
o średnice¾ ko÷
a, co prowadzi do de…nicji liczby
=
256
81
w postaci:
3; 1605:
Znano tez· wzory na objetość
¾
sześcianu, walca oraz wzór na objetość
¾
ścietej
¾
piramidy:
h
V = (a2 + ab + b2 )
3
gdzie a; b to d÷
ugości boków kwadratów tworzacych
¾
podstawy, a h - wysokość.
Wiele rozwiazań
¾
znajdowano droga¾ prób, po omacku, empirycznie. Nic
wiec
¾ dziwnego, z·e by÷
y one nieraz niezreczne
¾
i wymaga÷
y przezwycie¾z·enia
wiekszych
¾
trudności. W toku badań poszczególnych problemów powsta÷
y
metody przekszta÷
ceń geometrycznych i arytmetyczno-algebraicznych, które
podobnie jak sprawdzanie rozwiazań,
¾
zwiastowa÷
y dalszy rozwój tych elementów sk÷
adowych dedukcji matematycznej. Dogmatyczna maniera wyk÷
adu i
nauczania nie mog÷
a w pe÷
ni zniszczyć tych pierwszych zala¾z·ków idei dowodu
matematycznego. Matematyka staroz·ytnego Egiptu mia÷
a zatem niewatpli¾
wie wp÷
yw na dalsze losy nauki.
71
Teksty źród÷
owe do programów za pomoca¾których zosta÷
y wyliczone wszystkie moz·liwe rozk÷
ady regularne dla liczb pierwszych
zawartych w przedziale [3; 101].
#include <iostream>
#include "trzy.h"
#include " cztery.h"
using namespace std;
int main(){
int rozklad=0;
while(true){
do{
cout<<"Wybierz rozklad"<<endl;
cout<<"1 - trzy czlonowy"<<endl;
cout<<"2 - cztero czlonowy"<<endl;
cout<<"0 - EXIT"<<endl;
cin>>rozklad;
}
while(rozklad<0jjrozklad>=5);
if(rozklad==0)
return 0;
int N=0;
do{
cout<<"Podaj maksymalne n"<<endl;
cin>>N;
}while(N<=0jjN%2==0);
int i;
Cztery c;
Trzy t;
switch(rozklad)
{
case 1:
t.ustawN(N);
t.wyswietLambda();
break;
72
case 2:
c.ustawN(N);
c.wyswietLambda();
break;
default:
Trzy r;
}
system("PAUSE");
system(" CLS");
}
return 0;
}
73
#include <iostream>
using namespace std;
class Trzy{
int N;
int *lambda;
public:
void wyswietLambda()
{
int licz=1;
for(int i=1;i<N;++i)
{
for(int j=i+1;j<N;++j)
{
if(NWD_1(i,j))
{
if(NWW(i,j)<N)
{
dNWW(i,j,licz);
}
}
}
}
//
cout<<" lacznie ilosc"<<licz<<endl;
}
void dNWW(int L1, int L2, int &a)
{
for(int d=1;d<=N/2;++d)
{
int t=d*NWW(L1,L2);
74
if(t>N/2&&t<N)
{
int x=X(d,L1,L2);
Rowanie(x,L1,L2,d);
//cout<<a++<<") "<<"d: "<<d<<
"("<<L1<<","<<L2<<")"<<
"X: "<<X(d,L1,L2)<<endl;
}
}
}
void
Rowanie(int x, int L1, int L2, int d)
{
if(N==2*x-(L1+L2))
cout<<"d: "<<d<<
"("<<L1<<","<<L2<<")"<<"X: "
<<x<<"y1:"<<L1*d<<"y2:"<<L2*d<<endl;
}
int X(int d,int L1, int L2)
{
return d*NWW(L1,L2);
}
bool NWD_1(int L1, int L2)
{
if(L1>L2)
{
int temp=L1;
L1=L2;
L2=temp;
}
for(int i=L1;i>1;–i)
{
if(L1%i==0&&L2%i==0)
if(i!=0)
{
75
return false;
}
}
return true;
}
int NWW(int L1, int L2)
{
return L1*L2;
}
int policzIloscLambda()
{
int suma=0;
for(int i=0;i<N-1;++i)
{
suma+=i;
}
return suma;
}
void ustawN(int _N)
{
if(_N%2!=0)
N=_N;
else
cout<<"BLAD"<<endl;
}
};
76
class Cztery{
int N;
int *lambda;
public:
void wyswietLambda()
{
int nww;
int licz=1;
for(int i=1;i<N-2;i++)
{
for(int j=i+1;j<N-1;j++)
{
for(int k=j+1;k<N;k++)
{
if(NWD_1(i,j,k))
{
if((nww=NWW(i,j,k))<N)
{
dNWW(i,j,k,nww);
}
}
}
}
}
//
cout<<" lacznie ilosc"<<licz<<endl;
}
void dNWW(int L1, int L2, int L3, int nww)
{
77
for(int d=1;d<=N/2;d++)
{
int t=d*nww;
if(t>N/2&&t<N)
{
//
cout<<L1<<L2<<L3<<endl;
int x=d*nww;
Rowanie(L1,L2,L3,d,x,nww);
}
}
}
void Rowanie(int L1, int L2, int L3, int d, int x,int nww)
{
int lewyLicznik=nww/L1+nww/L2+nww/L3;
int lewyMianownik=nww;
int prawyLicznik=2*d*nww-N;
int prawyMianownik=nww;
if(prawyLicznik==lewyLicznik)
cout<<"d: "<<d<<
"("<<L1<<","<<L2<<","<<L3<<")"
<<"X: "<<x<<"y1:"<<L1*d<<"y2:"
<<L2*d<<"y3:"<<L3*d<<" NWW:"<<nww<<endl;
}
int X(int d,int L1, int L2, int L3)
{
return d*NWW(L1,L2,L3);
}
bool NWD_1(int L1, int L2, int L3)
{
for(int i=L1;i>=1;i–)
{
if(L1%i!=0)
continue;
78
if(L2%i!=0)
continue;
if(L3%i!=0)
continue;
if(i==1)
return true;
else
return false;
}
return true;
}
int NWW(int L1, int L2, int L3)
{
int max;
for(int i=1;i<L3*L2*L1;i++)
{
max=L3*i;
if(max%L1==0)
if(max%L2==0)
{
return max;
}
}
return L3*L2*L1;
}
int policzIloscLambda()
{
int suma=0;
for(int i=0;i<N-1;i++)
{
suma+=i;
}
79
return suma;
}
void ustawN(int _N)
{
if(_N%2!=0)
N=_N;
else
cout<<"BLAD"<<endl;
}
int min(int L1, int L2, int L3)
{
int min=L1;
if(L2< min)
min=L2;
if(L3 <min)
min=L3;
return min;
}
};
80
Literatura
[1] J. Awrejcewicz, V. A. Krysko, Y. V. Chebotyrevskiy, Od piramid do
gwiazd, Rola matematyki i mechaniki w rozwoju cywilizacji. Krótki rys
historyczny, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 2003
[2] A.P.Juszkiewicz, Historia matematyki, Tom I, PWN, Warszawa 1975
[3] Micha÷Macierzyński, www.egipt.amra.pl
[4] O. Neugebauer, Vorlesungen uber geschichte der antiken mathematischen
wissenschaften, Berlin 1934
[5] Oxford Educational Encyclopedia Ltd 2005, Oxford Wielka historia
´swiata, Tom III
[6] W. Sierpiński, Teoria liczb, Biblioteka Wirtualna Nauki, Monogra…e
matematyczne, Tom XIX, Warszawa-Wroc÷
aw 1950
[7] K. Vogel, Vorgriechische Mathematik I Vorgeschichte und Agypten, Hermann 1959
[8] Sz. Weksler, Rozk÷ad liczb n2 na u÷amki proste w arytmetyce staroegipskiej,
Zeszyty naukowe Uniwersytetu ×ódzkiego, ×ódź 1968
81