trójkąt, trapez, koło, wycinek koł

PLANIMETRIA.
1. Przypomnieć: a) wzory na pole powierzchni i obwód figury płaskiej ( trójkąt, trapez, koło, wycinek kołowy)
b) tw. cosinusów c) tw. sinusów d) twierdzenie Talesa e) cechy podobieństwa i przystawania trójkątów.
2. Na podstawie tw. Talesa wykazać, że odcinek łączący środki boków trójkąta jest równoległy do trzeciego
boku i ma długość równą połowie długości tego boku.
3. Udowodnić, że w trójkącie prostokątnym ABC wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego dzieli ten
trójkąt na dwa trójkaty prostokątne ACD i CBD, podobne do siebie wzajemnie i podobne do trójkąta ABC.
4. Przez środek boku trójkąta równobocznego poprowadzono prostą, tworzącą z tym bokiem kąt 30 o i dzielącą
trójkąt na dwie cześci. Obliczyć stosunek pól obu tych części.
5. Znaleźć pole trapepezu równoramiennego, którego ramię ma długość 3, jedna z podstaw jest ma długość dwa
razy większą od drugiej, a przekątna dzieli kąt przy podstawie na połowy.
6. Wykazać, że pole trójkąta jest równe połowie iloczynu długości dwóch boków i sinusa kąta zawartego
1
1
1
między nimi, czyli S = ab sin γ lub S = bc sin α lub S = ac sin β .
2
2
2
7. Udowodnić, ze jeśli kąty α, β, γ pewnego trójkąta spełniają warunek sin 2 α + sin 2β = sin 2 γ , to trójkąt ten jest
prostokątny.
8. W równoległoboku ABCD dane są: AB = BD = 5 i AC = 10. Obliczyć cosinus kąta utworzonego przez
przekątne równoległoboku oraz długość drugiego boku.
STEREOMETRIA.
1. Przypomnieć wzory na obliczanie: a) objętości graniatosłupa, prostopadłościanu, walca, stożka, stożka
ścietego i kuli b) pola powierzchni powyższych brył.
2. Sześcian o krawędzi a = 4 przecięto płaszczyzną, do której należą dokładnie trzy wierzchołki sześcianu.
Obliczyć pole otrzymanego przekroju.
3. Jedna z krawędzi podstawy prostopadłościanu jest dwa razy dłuższa od drugiej, objętość tego
prostopadłościanu wynosi V = 72 cm 3 , a pole powierzchni S = 108 cm 2 . Obliczyć długość krawędzi.
4. Obliczyć objętość prawidłowego ostrosłupa trójkątnego, którego krawędź podstawy a = 4, a wysokość
ściany bocznej jest dwa razy większa od wysokości bryły.
5. W kulę promieniu R = 4 cm wpisano stożek, którego przekrój osiowy jest trójkatem równobocznym.
Obliczyć różnicę pól powierzchni kuli i całkowitej powierzchni stożka.
6. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem o polu S i kącie wierzchołkowym 2α . Obliczyć objętość stożka.
7. W kulę o promieniu R = 3 cm wpisano walec o objętości V = 4π cm 3 . Znaleźć promień i wysokość walca.