Własności figur płaskich

Geometria
Własności figur płaskich
Autorki:
 Anita Greniuk 
i
 Milena Sawicka 
Pojęcia











Punkt - oznaczony jest kropką i ma zerowy rozmiar.
Odcinek - prosta ograniczona z dwóch stron.
Prosta - to nie ograniczona linia.
Półprosta - jest to linia ograniczona z jednej strony.
Łamana - jest to figura zbudowana z odcinków połączonych
końcami.
Kąt - to dwie proste o wspólnym początku dzielącym płaszczyznę
na dwie części.
Wielokąt – to część płaszczyzny ograniczona łamaną zwyczajną
zamkniętą.
Figury przystające – są to dwie figury które można nałożyć na
siebie.
Trójkąt – to figura zbudowana z trzech odcinków i trzech punktów.
Czworokąt – to wielokąt o czterech bokach.
Figury podobne – to figury o takich samych kątach i odpowiednich
proporcjonalnych bokach.
Punkt
 Punkty zaznaczamy
kropkami a
nazywamy dużymi
literami alfabetu np.:
A, K, M.
 Przez jeden punkt
można przeprowadzić
nieskończenie wiele
prostych.
Punkt
 Przez dwa różne
punkty można
przeprowadzić tylko
jedną prostą.
 Do prostej należy
nieskończenie wiele
punktów np.: punkt C
należy do prostej i.
 Punkty leżące na
prostej z są punktami
współliniowymi.
Odcinek
 O odcinkach, które
maja równe długości
mówimy, że są
przystające i
zapisujemy AB ≡ CD
 Prostymi
prostopadłymi
nazywamy proste
przecinające się pod
kątem prostym.
Prosta
 Odległością punktu od
prostej nazywamy
długość najkrótszego
odcinka łączącego dany
punkt z punktami
leżącymi na prostej.
 Prostymi równoległymi
nazywamy proste leżące
w jednej płaszczyźnie nie
przecinające się (nie
mają punktu wspólnego)
lub proste pokrywające
się.
Łamana
zwyczajna
 Łamana zwyczajna
otwarta to np.:
ABCDE
 Łamana zwyczajna
zamknięta to np.:
DRUKED
Półprosta
Punkt K dzieli prostą na
dwie półproste.
Półprostą nazywamy
każdą z dwóch części
prostej, na które dzieli
ją punkt leżący na niej
wraz z tym punktem.
Punkt ten nazywamy
początkiem
półprostej.
Łamana
wiązana
 Łamana wiązana
otwarta np.: EFGHI
 Łamana wiązana
zamknięta np.:
PRSTUP
Kąty
 Kąt wypukły jest
mniejszy lub równy
180˚. Jeżeli dwa
dowolne punkty
należące do kąta
połączymy odcinkiem,
to odcinek również
należy do tego kąta.
 Kąt wklęsły jest to kąt
większy niż 180˚ i
mniejszy od 360˚.
Kąty
 Kąt prosty ma miarę
90 ˚
 Kąt ostry ma miarę
większą niż 0˚, ale
mniejszą od 90˚
 Kąt rozwarty ma
miarę większą od
180˚ a mniejszą od
360˚
 Są to kąty wypukłe.
Kąty
 Kąt zerowy to kąt
wypukły. Ramiona
tego kąta pokrywają
się. Do kąta należą
tylko punkty jego
ramion. Miara kąta -0˚
 Ramiona kata
półpełnego tworzą
prostą. Miara tego
kąta to 180˚. To kąt
wypukły.
Kąty
Ramiona kąta pełnego
pokrywają się. Do kata
należą wszystkie punkty
płaszczyzny. Miara kąta
to 360˚. Jest to kąt
wypukły.
Kąty wierzchołkowe mają
równe miary i są kątami
wypukłymi, przedłużenia
ramion jednego kąta są
ramionami drugiego kąta
Kąty
 Kąty przyległe mają
jedno ramię wspólne,
a dwa pozostałe
tworzą prostą. Suma
miar kątów to 180˚.
Kąty
Jeżeli dwie proste są
równoległe i przetniemy
je trzecią prostą, to
otrzymamy kąty:
- odpowiadające np.:
- naprzemianległe
zewnętrzne np..:
- naprzemianległe
wewnętrzne np..:
Wielokąty
 Punkty A, B, C, D,…
nazywamy wierzchołkami
wielokąta.
 Odcinki, które łączą dwa
sąsiednie wierzchołki
wielokąta, na przykład
AB, BC, CD, …
nazywamy bokami
wielokąta
 Odcinki, które łączą dwa
wierzchołki wielokąta, ale
nie są jego bokami – to
przekątne wielokąta, na
przykład odcinki AC, DB.
Wielokąty
 Jeżeli wszystkie kąty
wielokąta są wypukłe
to jest on wielokątem
wypukłym
 Jeżeli wielokąt
posiada kąt wklęsły to
jest on wielokątem
wklęsłym.
Figury przystające
 Dwie figury są
przystające jeżeli
jedną z tych figur
można nałożyć na
drugą,
Trójkąty
 Suma miar kątów w
trójkącie równa jest
180˚
 Trójkątem
różnobocznym
nazywamy trójkąt
którego ramiona są
różnej długości. Jest
to trójkąt różnoboczny
ostrokątny
Trójkąty
 Trójkątem równobocznym
nazywamy trójkąt którego
wszystkie boki są równe i
kąty wewnętrzne są takie
same - 60˚. Jest to trójkąt
równoboczny ostrokątny.
 Trójkątem
równoramiennym
nazywamy trójkąt którego
dwa ramiona są równe,
kąty przy podstawie mają
równe miary. Jest to
trójkąt równoramienny
ostrokątny.
Trójkąty
 Trójkątem
równoramiennym
prostokątnym nazywamy
trójkąt którego dwa
ramiona są równe i jeden
kąt wewnętrzny jest
kątem prostym.
 Trójkątem
równoramiennym
rozwartokątnym
nazywamy trójkąt którego
dwa boki są równe i
jeden kąt wewnętrzny jest
rozwarty.
Trójkąty
(wysokości)
 Wysokością trójkąta
nazywamy najkrótszy odcinek
łączący wierzchołek trójkąta z
przeciwległym bokiem (lub
jego przedłużeniem). Jest on
zawsze prostopadły do tego
boku ( lub jego przedłużenia).
 Każdy trójkąt ma trzy
wysokości.
 Wysokość trójkąta (lub ich
przedłużenia), przecinają się w
jednym punkcie.
Obliczanie kątów w trójkącie
 Korzystając z
poprzednio zawartych
informacji wiemy że
dwa kąty przystające
mają miarę 180˚.
 Jeżeli mamy dane
dwa kąt zewnętrzne
możemy obliczyć
wszystkie kąty
wewnętrzne, np.:
180˚- 50˚=130˚
Własności trójkątów
 W trójkącie równoramiennym
dwie wysokości są równe.
Trzecia wysokość opuszczona
na postawę dzieli ja na dwie
równe części, a półprosta, w
której leży ta wysokość, dzieli
kąt między ramionami trójkąta
na dwa kąty o równych
miarach.
 Wysokości trójkąta
równobocznego dzielą każdy
bok trójkąta na połowy, a
półproste, w których leżą te
wysokości, dzielą każdy kąt
wewnętrzny trójkąta na dwa
kąty o równych miarach.
Własności trójkątów
 Jeżeli kąty ostre trójkąta
prostokątnego są równe 30˚ i
60˚, to jego
przeciwprostokątna jest dwa
razy dłuższa od
przyprostokątnej leżącej
naprzeciw kąta 30°.
 W trójkącie równobocznym
odległość punktu W ( punktu
przecięcia się wysokości) od
wierzchołka trójkąta jest równa
⅔ jego wysokości, od boku
tego trójkąta jest równa ⅓ jego
wysokości.
Czworokąty
 Suma miar kątów
wewnętrznych
dowolnego
czworokąta jest
równa 360°.
 W kwadracie
wszystkie boki są
równe i kąty
wewnętrzne są
proste.
Czworokąty
 W prostokącie
wszystkie kąty są
proste. Boki
prostokąta są parami
równe i równoległe.
 W rombie wszystkie
boki są równe.
Przekątne rombu
dzielą się na połowy i
przecinają się pod
kątem prostym.
Czworokąty
 W równoległoboku są dwie
pary boków równoległych.
Przekątne równoległoboku,
przecinając się, dzielą się na
połowy. Równoległobok, który
ma dwie pary boków różnej
długości, ma dwie różne
wysokości.
 W trapezie jest co najmniej
jedna para boków
równoległych. Boki równoległe
nazywamy podstawami
trapezu, a boki nierównoległe
nazywamy ramionami trapezu.
Czworokąty
 W trapezie
równoramiennym ramiona
mają równe długości, a kąty
przy podstawach mają
równe miary. W trapezie
wszystkie przekątne są
równe.
 W trapezie prostokątnym
jedno ramię jest
prostopadłe do podstaw.
 W deltoidzie dwie pary
sąsiednich boków są równe.
Przekątne przecinają się
pod kątem prostym i jedna
z nich dzieli drugą na
połowę.
Przykłady figur podobnych
 Dwa trójkąty podobne
mają odpowiednie
kąty równe i
odpowiednie boki
proporcjonalne.
 Dwa prostokąty są
podobne, jeśli ich
odpowiednie boki są
proporcjonalne.
 Korzystałyśmy z wyszukiwarki
internetowej:
1. www.google.pl
2. www.mozillafirefox.pl