funkcja produkcji ces

FUNKCJA PRODUKCJI CES
Constant Elasticity of
Substitucjon
R. H. Solow, B. Minhas,
K. Arrow, H. B. Chenery
SMAC
Prof. dr hab. Grażyna Karmowska
Funkcja produkcji

zakłada stały współczynnik elastyczności
substytucji
e 1/ e
y  [( a1x1 )  (a2 x2 )  ...  (an xn ) ]
e
e
gdzie:
xi  0, i  1,.. n.
a1  ...  an
e  0, e  1
y – produkcja
X – środki produkcji
są dodatnie
Elastyczność substytucji
Dla funkcji dwuczynnikowej
df (k , l ) df (k , l ) k



dl
dk
l
df (k , l ) df (k , l ) l



dk
dl
k

Funkcja produkcji
V

 aK


 bL
Zmienne odniesione są do siebie
rozdzielne i addytywne
V

,K


,L
1    0
  0 stała


a:b parametry podziału, wyznaczają
podział produktu między czynniki
produkcji
Zakładając stałe przychody względem
skali:


q
gdzie:
 ak
b
V
K
q ; k
L
L
Funkcja jest jednorodna stopnia
pierwszego
f (k , l )   f ( k , l )
r

Jeżeli funkcja jest liniowa i jednorodna,
to elastyczność substytucji zawsze
jest:
1

1 
przy   0 wtedy i tylko wtedy, gdy
funkcją produkcji jest:
V

 aK


 bL
ELASTYCZNOŚĆ SUBSTYTUCJI
CZYNNIKÓW
Def. (J.R.Hicks)
K
K
d log 
d 
L L
L



 R
d log R
K
dR
gdzie :
dL
R
dK
Stąd funkcja produkcji CES ma postać:
 funkcji produkcji
V  (aK



 bL )
funkcja wydajności
q  (ak
gdzie:
V
K
q ; k
L
L

 b)

1


1

Parametr


dla:
  1 i   0
 0 i
 1
1

1
Produkcyjność krańcowa
1
V
 V 
 a 
K
K
1
V
V 
 b
L
L
Krańcowa stopa substytucji
1
RK

L
b  L 
  
aK 
w kategoriach k=K/L (kapitał na osobę) jest
równa relacji
w
1
b 
 k
 a
(relacji stawki płac do stopy zysku)
 1
W przypadku gdy


1   0
Oznaczając
1
1

1

1
1
aK   bL  V   constans
Izokwanty



 V  bL
K 
a


1





1



 V  aK
L
b


1
1







K
 K
 0,

0
2
L
L
2
K>0, L>0,

dopuszczalnym zakresem zmienności L
jest
V
0 L
b

Stąd produkcja na osobę, wyrażona
w jednostkach kapitału
1


q  (ak  b)

oraz przyrost krańcowy
1
q
q
 a 
k
k


1

Gdy q   to k  
Ze wzrostem kapitału produkcja na
osobę wzrasta nieograniczenie
W przypadku gdy   0
 0
aK


 bL
V

1

Lb V
zakres zmienności L