ROZWIĄZANIA

Zestaw 17
ROZWIĄZANIA
GIMNAZJUM
Na okręgu umieszczono 2010 punktów białych i 1 punkt czerwony.
Rozpatrujemy wszystkie możliwe wielokąty o wierzchołkach w tych punktach.
Których wielokątów jest więcej: mających czerwony wierzchołek, czy
mających tylko białe wierzchołki? Odpowiedź uzasadnij.
1.
Więcej jest wielokątów mających czerwony wierzchołek. Wyobraźmy sobie, że
utworzyliśmy wszystkie wielokąty mające tylko białe wierzchołki i jest ich 𝑛.
Tworzymy teraz wielokąty z czerwonym wierzchołkiem w ten sposób, że do
każdego istniejącego wielokąta „białego” dokładamy czerwony wierzchołek. W
ten sposób z białych trójkątów robimy biało-czerwone czworokąty, z
czworokątów pięciokąty itd. Postępując w ten sposób otrzymamy 𝑛
białoczerwonych wielokątów, a przecież musimy jeszcze doliczyć trójkąty, które
mają dwa wierzchołki białe i jeden czerwony i dlatego wielokątów z czerwonym
wierzchołkiem będzie więcej.
Boki prostokąta mają długości 10 i 24. Przekątną podzielono ten
prostokąt na dwa trójkąty. Oblicz odległość środków okręgów wpisanych w te
trójkąty.
2.
Poprowadźmy przez środki okręgów (punkty 𝐴 i 𝐵) cztery proste równoległe do
boków prostokąta, jak na rysunku powyżej. Odległość punktów 𝐴 i 𝐵 policzymy
stosując twierdzenie Pitagorasa do trójkąta prostokątnego 𝐴𝐵𝐶. Aby poznać
jego wymiary obliczymy promień okręgu wpisanego w trójkąt o
przyprostokątnych 24 i 10.
Wyprowadzimy najpierw wzór na długość promienia okręgu wpisanego w
trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 𝑎 i 𝑏 oraz przeciwprostokątnej 𝑐.
Popatrz na rysunek:
Czworokąt 𝐴𝐸𝐷𝐹 jest kwadratem, bo kąt 𝐴 oraz katy 𝐸 i 𝐹 (kąty między
promieniem a styczną) są proste, a więc odcinki 𝐴𝐹 i 𝐴𝐸 są równe promieniowi
okręgu wpisanego. Odcinki 𝐹𝐶 i 𝐶𝐺 są równe z twierdzenia o odcinkach
stycznych. Podobnie odcinki 𝐸𝐵 i 𝐵𝐺.
Zachodzi więc równość:
𝑏−𝑟+𝑎−𝑟=𝑐
z której wynika, że
Przekątną prostokąta policzymy z twierdzenia Pitagorasa: ma ona długość 26.
Stosując wyprowadzony wzór obliczymy, że 𝑟 = 4. Trójkąt 𝐴𝐵𝐶 ma więc
przyprostokątne długości 2 i 16, a odcinek 𝐴𝐵 ma długość √260 .
3. Do dwóch okręgów stycznych zewnętrznie w punkcie 𝐴 poprowadzono
wspólną styczną 𝐵𝐶 (punkty 𝐵 i 𝐶 są punktami styczności). Udowodnij, że
odcinki 𝐴𝐵 i 𝐴𝐶 są prostopadłe.
- Punkty 𝑆 i 𝑇 są środkami naszych okręgów. Punkt 𝐴 leży na odcinku 𝑆𝑇, bo
styczna do obu okręgów przechodząca przez punkt 𝐴 tworzy z promieniami 𝑆𝐴
i 𝑇𝐴 kąty proste, które w sumie dają 180o
- Trójkąty 𝑆𝐴𝐵 i 𝐴𝑇𝐶 są równoramienne (wiadomo dlaczego), kąty przy
podstawie jednego z nich oznaczam przez α, a drugiego przez β
- Styczna 𝐵𝐶 jest prostopadła do promieni 𝑆𝐵 i 𝑇𝐶.
- Obliczam miarę kąta 𝐵𝐴𝐶 z sumy kątów w trójkącie 𝐴𝐵𝐶:
∡𝐵𝐴𝐶 = 180° − (90° − 𝛼) − (90° − 𝛽) = 𝛼 + 𝛽
- Z kąta półpełnego 𝑆𝐴𝑇:
2𝛼 + 2𝛽 = 180°
𝛼 + 𝛽 = 90°