Lista 5

Podstawy nauczania matematyki
EE I rok
Lista 5
(geometria)
Zad. 5.1. Na płaszczyźnie dany jest punkt A:
1) Narysuj kilka prostych przechodzących przez ten punkt, do których ten punkt należy. Ile jest takich
prostych?
2) Narysuj kilka okręgów przechodzących przez ten punkt. Gdzie leżą środki tych okręgów?
3) Narysuj kilka półprostych, których początkiem jest ten punkt. Ile jest takich półprostych?
Zad. 5.2. Na płaszczyźnie dane są dwa różne punkty A i B.
1) Ile prostych wyznaczają te punkty?
2) Narysuj kilka okręgów przechodzących przez te dwa punkty. Wyznacz zbiór środków wszystkich takich
okręgów.
Zad. 5.3. Używając cyrkla i linijki skonstruuj:
1) Prostą prostopadłą do danej prostej przechodzącą przez dany punkt nie leżący na tej prostej;
2) Symetralną odcinka o długości 12 cm;
3) Prostą równoległą do danej prostej przechodzącą przez dany punkt nie leżący na tej prostej;
4) Trójkąt równoboczny o boku długości 10 cm oraz oblicz jego obwód;
5) Trójkąt równoramienny o bokach długości 8 cm, 10 cm i 10 cm oraz oblicz jego obwód;
6) Trójkąt o bokach długości 9 cm, 10 cm i 11 cm oraz oblicz jego obwód;
7) Kwadrat o boku długości 10 cm oraz oblicz jego obwód i pole;
8) Prostokąt o bokach długości 10 cm i 8 cm oraz oblicz jego obwód i pole;
9) Dwusieczną danego kąta;
o
o
o
o
o
10) Kąt o mierze 90 , 60 , 45 , 30 , 15 ;
o
11) Romb o boku długości 10 cm i kącie ostrym o mierze 60 ;
o
12) Równoległobok o bokach długości 10 cm, 7 cm i kącie ostrym o mierze 30 .
Zad. 5.4. Używając cyrkla, linijki, ekierki i kątomierza skonstruuj:
1) Prostą prostopadłą do danej prostej przechodzącą przez dany punkt nie leżący na tej prostej;
2) Prostą równoległą do danej prostej przechodzącą przez dany punkt nie leżący na tej prostej;
o
o
o
3) Kąt o mierze 20 , 40 , 5 ;
o
4) Równoległobok o bokach długości 10 cm, 7 cm i kącie ostrym o mierze 50 ;
o
5) Romb o boku długości 10 cm i kącie ostrym o mierze 70 ;
6) Trapez o podstawach długości 10 cm, 12cm i wysokości 8 cm oraz kątach przy dłuższej podstawie o
o
o
miarach 40 i 70 .
Zad. 5.5. Wyznaczyć obraz trójkąta ABC o bokach długości AB=12 cm, BC=10 cm i AC=9 cm:
1) w symetrii osiowej względem prostej przechodzącej przez punkt C i środek boku AB;
2) w symetrii środkowej względem dowolnego punktu należącego do zewnętrza tego trójkąta;
®
3) w translacji o wektor u długości 11 cm, który jest równoległy do dwusiecznej kąta CAB;
4) w jednokładności J 3D oraz J -2D gdzie punkt D jest:
a) środkiem odcinka AB;
b) dowolnym punktem należącym do zewnętrza tego trójkąta;
d) D=B.
Zad. 5.6. Na ile obszarów dzieli płaszczyznę:
a) jedna prosta;
b) okrąg;
c) łamana zamknięta;
d) łamana zamknięta z jednym węzłem?
Zad. 5.7. Na ile, co najmniej (co najwyżej) obszarów dzielą płaszczyznę:
a) dwie proste;
b) dwa okręgi;
c) dwie półproste o wspólnym początku?
Które z otrzymanych obszarów są ograniczone, a które nieograniczone? Które są wypukłe, a które niewypukłe?
Zad. 5.6. Zbadaj, czy każdy:
a) trójkąt;
b) czworokąt
jest figurą wypukła.
Zad. 5.7. Ile wynosi suma kątów wewnętrznych
a) trójkąta;
b) czworokąta;
b) pięciokąta? Odpowiedź uzasadnij.
Zad. 5.8. Zbadaj, czy istnieje trójkąt, w którym:
a) dwa kąty są proste;
b) dwa kąty są rozwarte.
Zad. 5.9. Miara stopniowa jednego z kątów wewnętrznych:
o
o
a) rombu wynosi 60 ;
b) równoległoboku wynosi 100 ;
o
o
c) trapezu równoramiennego wynosi 50 ;
d) trapezu prostokątnego wynosi 40 .
Oblicz miarę pozostałych kątów wewnętrznych czworokąta.
Zad. 5.10. Wskaż kilka osi symetrii:
a) prostej;
b) płaszczyzny;
c) półpłaszczyzny.
Zad. 5.11. Wskaż wszystkie osie symetrii:
a) odcinka niezerowego;
b) obszaru kąta wypukłego;
e) prostokąta;
f) deltoidu;
g) wycinka koła;
i) trójkąta równoramiennego;
j) trójkąta różnobocznego;
c) kwadratu;
d) rombu;
h) trójkąta równobocznego
k) półprostej.
Zad. 5.12. Dany trójkąt ABC należy przekształcić przez symetrię środkową tak, aby suma tego trójkąta i jego
obrazu w tym przekształceniu była równoległobokiem. Gdzie trzeba obrać środek symetrii? Ile rozwiązań ma to
zadanie? Zbadaj, kiedy otrzymana figura jest: a) rombem; b) prostokątem;
c) kwadratem.
Zad. 5.13. Które duże litery drukowane alfabetu łacińskiego mają:
a) środek symetrii;
b) osie symetrii.
Zad. 5.14. Mamy trzy patyczki o różnych długościach i układamy z nich trójkąt w taki sposób, aby patyczki te
były bokami trójkąta. Zbadaj:
a) czy zawsze można to wykonać,
b) kiedy zadanie nie ma rozwiązania,
c) w jaki sposób można empirycznie odkryć warunek trójkąta i na czym on polega.
Zad. 5.15. Zbadaj, czy istnieje kwadrat, którego pole wyraża się tą samą liczbą, co jego obwód. Ile jest takich
kwadratów?
Zad. 5.16. Obwód: a) kwadratu,
b) prostokąta wynosi 12.
Zbadaj, jakie może być jego pole, wyrażone liczbą naturalną.
Zad.5.17. Narysuj wszystkie prostokąty (o całkowitych długościach boków) o polu równym 8. Wyraź to
zadanie w języku arytmetyki i rozwiąż je.
Zad. 5.18. Zbuduj prostokąt o obwodzie 14.
1) Ile można zbudować takich prostokątów o całkowitych długościach boków?
2) Który z tych prostokątów ma najmniejsze, a który największe pole?
3) Czy jest taki prostokąt, którego przekątna wyraża się liczbą naturalną?
Zad. 5.19. Obwód trójkąta równobocznego jest liczbą naturalną.
1) Czy jego pole może być liczbą naturalną?
2) Zbadaj, kiedy długości boków tego trójkąta są liczbami naturalnymi.
Zad. 5.20. Zbadaj, jak podzielić „jednym cięciem”, tj. wzdłuż prostej, na dwie figury o równych polach:
a) kwadrat; b) prostokąt; c) romb;
d) koło;
e) równoległobok; f) trapez równoramienny.