Oszacowania kosmologiczne - dot. Naszej

Mirosław Kwiatek
Zadanie
Jaka jest masa Naszej Galaktyki jeśli Słooce krążące w odległości 0,66 promienia Galaktyki
obiega jej centrum w czasie 250 mln lat a promieo Galaktyki wynosi 50 tys. ly? Ile gwiazd o
masie Słooca (2*1030) zawierad może ta Galaktyka?
Z III prawa Keplera:
T2 4π2
R3 = GM
stąd:
4π2R3
4π2[0,66*5*104*3*107*3*108]3
M = GT2 = (6,67*10-11)*[(2,5*108)*(3*107)]2
(1 rok ma ok. 3*107 sekund)
4π2[29,7*1019]3
4π2*26198*1057
M = (6,67*10-11)*[7,5*1015]2 = (6,67*10-11)*56,25*1030 = 2757*1038
M ≈ 2,8*1041 kg
2,8*1041 / 2*1030 ≈ 1011 = 100*109 = 100 mld
Załóżmy teraz, że „gęstośd powierzchniowa” dysku Galaktyki jest taka sama na zewnątrz
orbity Słooca jak i wewnątrz niej:
Mcałk
ρ*πR2
1
1
=
2 =
2=
M
ρ*π(0,66R)
0,66 0,4356
stąd:
M
2,8*1041
Mcałk = 0,4356 = 0,4356 = 6,4*1041 kg
Jest to 6,4*1041 / 2*1030 ≈ 3,2*1011 mas Słooca czyli ok. 320 mld gwiazd
Wg. tablic jest to 7*1011 mas Słooca (razem z galaktycznym „halo”)
oraz 200 – 400 mld gwiazd.
Oszacowad promieo Wszechświata przy założeniu, że Wszechświat rozszerza się z
km/s
prędkością światła a stała Hubble’a wynosi 60 Mpc
1 parsek ≈ 3 lata świetlne
więc
1 megaparsek = 3*106 ly
1 rok ma ok. 3*107 sekund
Prawo Hubbla: ν = Hr (prędkośd oddalania się galaktyk jest proporcjonalna do odległości
ν
między nimi ). Stąd: r = H . Jeśli prędkośd będzie maksymalną możliwą to i odległośd będzie
c
też maksymalną możliwą a więc gdy ν = c to r = R czyli promieo Wszechświata Rx = H
Rx =
300000
60 Mpc = 5000 Mpc = 5 Gpc = 5G(3ly) = 15Gly = 15 mld lat świetlnych.
Stąd wynika i wiek Wszechświata – tablicowy = 13,7 mld lat
Aby podad w metrach można podstawid H w Hz: 2,2*10-18 [1/s]. Wtedy R = 1,36*1026 m
(w tablicach: 1,2*1026 a stała Hubbla = 72 )
Oszacowad ile galaktyk podobnych do Naszej Galaktyki zawiera Wszechświat?
Średnia gęstośd Wszechświata wynosi 9,5*10-27 kg/m3 (kilka nukleonów w 1 m3).
Najdalsze galaktyki są odległe o 13 mld ly (Obliczony wiek Wszechświata to 13,7 lat).
Obliczona masa Naszej Galaktyki wynosi 6,4*1041 kg.
Masa Wszechświata M = ρ*(4/3)πR3 ≈ 4ρR3 = 4*(9,5*10-27)*[(13*109)(3*107)(3*108)]3
M = 38*10-27*[117*1024]3 = 3,8*10-26*[1,17*1026]3 = 3,8*1,6*[1026]2
M = 6,1*1052 kg
(byłoby 6,4 bez wcześniejszego przybliżenia π=3)
6,1*1052 / 6,4*1041 ≈ 1011 Galaktyk czyli 100 mld
(Tablice podają tylko, taki właśnie, rząd wielkości liczby galaktyk „dużych”)
Tak więc liczba gwiazd we Wszechświecie: 100mld*(200-400)mld
Oszacowad ile nukleonów zawiera Wszechświat
Średnia gęstośd Wszechświata wynosi 9,5*10-27 kg/m3. Masa protonu (≈ neutronu) wynosi
1,67*10-27 kg. Obliczony promieo Wszechświata: 1,2*1026 m.
W 1 m3 zawiera się więc
9,5*10-27 / 1,67*10-27 = 5,7 nukleonów
Objętośd Wszechświata ≈ R3 tak więc liczba nukleonów:
R3/5,7 = (1,2*1026)3/5,7
= (1,23/5,7)*1078 = 3*10-1*1078 = 3*1077 (tablice: rzędu 1077)